위상 공간
위상공간(topological space, 位相空間)
1. 개요
위상 공간은 위상수학에서 다루는 대상으로, 집합만 주어지면 만들 수 있는 아주 일반적인 개념이다.[1] 그러나 실제로 응용할 때에는, 여러 가지 공리들을 더 추가하여 쓴다. 달리 말해, 최소한의 공리만으로는 아주 쓸모 없다.
2. 정의
집합 $$X$$의 부분집합들의 모임 $$\mathcal{T}$$가 다음의 공리들을 만족할 때, 이를 위상공간이라고 한다.
→세번째 조건은 이렇게 바꿀 수도 있다.* $$\emptyset,\,X\in \mathcal{T}$$
* $$\left\{A_{\alpha}:\alpha\in I\right\}\subset \mathcal{T}$$에 대해, $${\displaystyle \bigcup_{\alpha\in I}A_{\alpha}}\in \mathcal{T}$$
* $$A,\,B\in \mathcal{T}$$에 대해, $$A\cap B\in \mathcal{T}$$이다.
예를 들어, 집합 $$X$$에 대해,* 임의의 유한개의 $$A_{\alpha}\in\mathcal{T}\left(\alpha\in\left\{1,2,3,...,m\right\}\right)$$에 대하여, $${\displaystyle \bigcap_{\alpha=1}^{m}A_{\alpha}\in\mathcal{T}}$$
- $$\left\{\emptyset,X\right\}$$은 위상 공간이다.이 위상 공간을 비이산 위상(Indiscrete topology)이라고 한다.
- $$X$$의 부분집합을 모두 모으면 위상 공간이다. 이 위상 공간을 이산 위상(Discrete topology)이라고 한다.
주의할 것은 열린 집합인 동시에 닫힌 집합(= '''열린닫힌집합''', clopen set)일 수도 있고 열린 집합도 아니고 닫힌 집합이 아닐 수도 있다. 예를 들면 정의상 전체집합과 공집합은 항상 열린 집합인 동시에 닫힌 열린닫힌집합(clopen set) 이고, 실수선에서의 보편적인 위상에 대해 [0,1)은 열려 있지도 닫혀 있지도 않은 집합이다.
해석학의 열린 집합, 닫힌 집합 개념은 위상수학에서의 열린 집합, 닫힌 집합의 특수한 경우이므로, 비교해보는 것이 위상 공간의 개념과 여러 공리들의 이해에 도움이 될 수 있다. 다만, 해석학에서 다루는 실수 공간은 조건이 너무 좋은 위상 공간이라서 서로 다른 개념을 구분하는 것에는 실패할 수도 있다.
3. 기저와 부분기저
$$X$$의 부분 집합들의 모임 $$\mathcal{B}$$가 기저(basis)라 함은 다음을 만족하는 것이다.
이는 다음과 동치이다. 이 정의가 보통의 기저의 정의와 직관적으로 더 유사하기에 이를 정의로 쓰기도 한다.* $$\bigcup \mathcal{B}=X$$
* $$U,\,V\in \mathcal{B}$$, $$a\in U\cap V$$에 대해 $$W\in \mathcal{B}$$가 존재하여 $$a\in W\subset U\cap V$$이다.
$$X$$의 부분 집합들의 모임 $$\mathcal{S}$$가 부분기저(subbasis)라 함은 다음을 만족하는 것이다.* $$\mathcal{T}=\left\{\bigcup \mathcal{U}:\mathcal{U}\subset \mathcal{B} \right\}$$[3]
가 위상이다.
부분기저가 주어지면 유한 교집합을 통해, 기저를 만들고 기저의 임의의 합집합을 통해 위상을 만들 수 있다.* $$\left\{{\displaystyle \bigcap_{i=1}^{n}}U_{i}:U_{i}\in \mathcal{S}\right\}$$가 기저이다.
실수의 보통 위상은 $$\left\{ \left(a,\, b\right):a<b\right\} $$을 기저로 갖고, $$\left\{ \left(a,\,+\infty\right):a\in R\right\} \cup\left\{ \left(-\infty,\, a\right):a\in R\right\} $$을 부분기저로 갖는다.
"임의의 열린 집합"이란 말을 "기저의 임의의 원소"로 바꿔도 성립한다. 부분기저로는 수렴과 연속 정도만 판정할 수 있다. 이 때문에 기저와 부분기저 개념이 의미가 있는 것이다.
4. 연속함수
위상 공간 $$X, Y$$와 함수 $$f:X\to Y$$에 대해 임의의 $$Y$$의 열린 집합 $$U$$의 역상(inverse image)이 $$X$$의 열린 집합일 때, $$f$$를 연속함수라고 한다. $$ε-δ$$ 논법을 이용한 실수에서 실수로의 연속성의 정의는 위의 정의의 특수한 경우라는 것을 쉽게 알 수 있다.
4.1. 위상동형사상(Homeomorphism)
위상 공간 $$X, Y$$가 위상동형사상 관계(homeomorphic)에 있다는 것은 $$f:X\to Y$$가 존재하여 아래의 조건들을 만족한다는 것이며 이 때 함수 $$f$$를 위상동형사상이라 한다.
연속함수가 열린 집합의 역상을 열린함수로 보내는 함수이므로 위상동형사상은 함수 자신과 그 역함수가 모두 열린 집합을 열린 집합으로 보내고 이는 닫힌 집합에 대해서도 마찬가지다.* $$f$$가 전단사(bijection)
* $$f$$가 연속함수
* $$f^{-1}$$가 연속함수
이 때문에 $$X$$와 $$Y$$의 열린 집합 사이에도 일대일대응이 생기게 되고 X와 Y는 열린 집합을 바탕으로 정의되는 모든 위상적 성질이 완전히 동일한 대상이 되는 것이다. 따라서 어떤 두 위상공간이 위상동형관계에 있다는 것을 보일 수 있다면 한 쪽에 대해서 분석함으로서 반대 쪽에 대해 완벽히 같은 사실이 성립한다는 사실을 할 수 있다.
흔히 도넛과 컵이 찰흙으로 찌그러트리면 같아진다는 것은 둘이 이 위상동형관계에 있다는 사실을 의미한다.
5. 내부, 폐포, 경계, 극한점
부분 집합 $$A\subset X$$에 대해 다음을 다음과 같이 정의한다. 위상이 $$\mathcal{T}$$로 주어졌다고 하자.
- 내부(interior)
$$A^{\circ}:=\bigcup\left\{ U\in \mathcal{T}:U\subset A\right\} $$
위상공간의 정의에 따라서 이는 열린 집합이다. 그리고, 이는 $$A$$에 포함되는 열린 부분집합 중 가장 큰 것이다. 정의에 따라서, $$a\in A^{\circ}\leftrightarrow \exists a\in U\in \mathcal{T} \quad U\subset A$$이다. $$a\in A^{\circ}$$를 내점이라 한다.
책에 따라 $$\mathrm{Int}A$$라는 표기를 쓰기도 한다.
- 폐포(closure)
$$\overline{A}:=\bigcap\left\{ F\supset_{\text{closed}}A\right\} $$
위상공간의 정의에 따라서 이는 닫힌 집합이다. 그리고, 이는 $$A$$를 포함하는 닫힌 집합(supserset) 중 가장 작은 것이다. 정의에 따라서, $$a\in \overline{A}\leftrightarrow \forall a\in F\subset_{\text{closed}} \quad F\cap A\ne \emptyset$$이다.
- 경계(boundary)
$$\partial A:=\left\{ a\in X:\exists U\in \mathcal{T}, a\in U,U\cap A\ne\emptyset,\, U\cap A^{c}\ne\emptyset\right\} $$[4]
- 집적점(accumulation point), 극한점(limit point), 폐포점(closure point)
$$x$$가 $$A$$의 집적점이라 함은 $$x$$를 포함하는 임의의 열린집합 $$U$$에 대하여 $$(U- \left\{ x \right\})\cap A\ne \emptyset $$를 만족하는 것이다.
그 때, κ=2가 되는 2-집적점이 극한점이고, κ=1이 되는 1-집적점이 폐포점이다.
- 유도집합(derived set) : 극한점(limit point, accumulation point)들의 모임
$$A':=\left\{ a\in X:\forall U\in \mathcal{T}\quad\left\{ a\right\} \subsetneq U\cap A\right\} $$
* $$\overline{A}^{c}=\left(A^{c}\right)^{\circ}$$
* $$\overline{\overline{A}}=\overline{A}$$
* $$\left(A^{\circ}\right)^{\circ}=A^{\circ}$$
* $$\overline{A\cup B}=\overline{A}\cup\overline{B}$$
* $$\overline{A\cap B}\subset\overline{A}\cap\overline{B}$$
$$\overline{\left(0,\,1\right)\cap \left(1,\,2\right)}=\emptyset \subsetneq\left\{1\right\}=\overline{\left(0,\,1\right)}\cap\overline{\left(1,\,2\right)}$$* $$\bigcup\overline{A_{\alpha}}\subset\overline{\bigcup A_{\alpha}}$$
[math({\displaystyle \bigcup_{n\in N}}\overline{\left[n^{-1},\,1\right]}=\left(0,\,1\right]\subsetneq\left[0,1\right]=\overline{{\displaystyle \bigcup_{n\in N}}\left[n^{-1},\,1\right]})]* $$A^{\circ}\cap\partial A=\emptyset, \overline{A}=A^{\circ}\cup\partial A$$
* $$\partial A=\emptyset\leftrightarrow\overline{A}=A=A^{\circ}$$
6. 곱공간
위상 공간들의 모임 $$\left\{X_{\alpha}:\alpha\in I\right\}$$를 생각하자. $$\left\{X_{\alpha}\right\}$$의 위상을 보존하면서 $${\displaystyle \prod_{\alpha\in I}}$$에 줄 수 있는 위상은 두 가지가 있다.
사영함수(prohjection) $$\pi_{\beta}:{\displaystyle \prod_{\alpha\in I}}X_{\alpha}\to X_{\beta}$$를 $$\pi_{\beta}\left(\left(x_{\alpha}\right)_{\alpha\in I}\right)=x_{\beta}$$로 정의한다.
* 상자 위상
$$\left\{ \prod U_{\alpha}:U_{\alpha}\subset_{\text{open}}X_{\alpha}\right\} $$를 기저로 하는 위상.
곱위상은 $$\pi_{\beta}$$를 연속함수로 만드는 가장 약한 위상이다.* 곱위상
$$\left\{ \pi_{\alpha}^{-1}\left(U_{\alpha}\right):U_{\alpha}\subset_{\text{open}}X_{\alpha}\right\} $$를 부분기저로 하는 위상.
위상공간의 유한곱에서는 곱 위상과 상자 위상이 같다. 그러나 무한곱에서는 그렇지 않고, 상자 위상이 더 강한 위상이다.. 예를 들어, $$R^{\omega}$$의 부분집합 $${\displaystyle \prod_{i\in N}}\left(0,1\right)$$은 상자 위상에서 열린 집합이지만, 곱 위상에서는 그렇지 않다.
7. 공리
최소한의 공리에 분리성, 가산성(counterablity), 콤팩트성(compactness)에 대한 공리들을 추가하여 더 좋은 공간을 구분해보자. $$X$$의 위상이 $$T$$로 주어졌다고 하자.
7.1. 분리 공리들
분리 공리는 서로 겹치지 않는 두 집합을 얼마나 잘 분리해낼 수 있는 지에 대한 공리이다. $$\text{T}$$의 아랫첨자로 수를 넣어 구분하며, 더 잘 분리해낼 수록 높은 수가 주어진다.
이하에서 $$A\perp B$$은 $$A\cap B=\emptyset$$을 뜻하며, $$\left\{a\right\}\perp B$$를 $$a\perp B$$와 같이 적기로 한다.
7.1.1. T₁ 공간
서로 다른 두 점 $$a,\,b\in X$$에 대해, $$a\in U\subset_{\text{open}}X$$, $$b\in V\subset_{\text{open}}X$$가 존재하여 $$a\notin V$$, $$b\notin U$$이다.
7.1.1.1. 성질
위상공간 $$X$$가 $$\text{T}_{1}$$성을 만족하는 것은 $$X$$에 포함된 임의의 한원소집합(singleton) $$\{a\}$$가 닫힌 집합인 것과 동치이며, 이는 해당 위상 공간이 쌍대 유한 위상(finite complement topology, cofinite topology)보다 섬세하다는 것과 동치이다.
후술할 $$\text{T}_{3}$$, $$\text{T}_{3\frac{1}{2}}$$, $$\text{T}_{4}$$가 $$\text{T}_{1}$$성을 전제로 하는 것은 한원소집합이 닫힌 집합임을 보장함으로써 $$\text{T}_{4} \Rightarrow$$[5]$$\text{T}_{3\frac{1}{2}} \Rightarrow \text{T}_{3} \Rightarrow \text{T}_{2} \Rightarrow \text{T}_{1}$$의 상관관계를 명확하게 해 준다.
7.1.2. T₂ 공간
하우스도르프(Hausdorff) 공간이라 하기도 한다. 이 공리부터 쓸만한 위상공간이 된다. 콤팩트성 공리와 같이 쓰이면 아주 좋은 조건이 된다.
일반적으로는 유일성과 관련된 공간이다. $$\text{T}_{2}$$공간에서는 수렴하는 수열의 극한이 유일하게 존재한다. $$\text{T}_{2}$$공간이 아니라면 수렴값이 여러개인 수열도 존재한다.
서로 다른 두 점 $$a,\,b\in X$$에 대해, $$a\in U\subset_{\text{open}}X$$, $$b\in V\subset_{\text{open}}X$$가 존재하여 $$U\perp V$$이다.
7.1.2.1. 성질
하우스도르프 공간에서는 연속함수에 관련된 정리
하우스도르프 공간을 공역으로 하는 연속함수는 조밀집합에서만 같음을 확인하면 두 함수가 같다는것을 보장받을 수 있다. 딱 보면 알겠지만, 실수에서 실수로 정의된 연속함수가 유리수점에서만 값이 같으면 서로 같은것을 보장받을 수 있는 것을 일반적인 위상공간까지 확장한 것이다.하우스 도르프 공간으로 가는 두 연속함수가 정의역의 조밀집합에서의 함수값이 같으면 두 함수는 같다.
7.1.3. T₃ 공간
$$\text{T}_{1}$$성을 만족하는 위상공간 $$X$$가 $$\text{T}_{3}$$ 혹은 정칙(regular)라 함은, 다음을 만족하는 것이다.
$$a\in X$$, $$B\subset_{\text{closed}} X$$에 대해, $$a\perp B$$이면, $$a\in U\subset_{\text{open}}X$$, $$B\subset V\subset_{\text{open}}X$$가 존재하여 $$U\perp V$$이다.
7.1.3.1. 성질
7.1.4. T₃½ 공간
$$\text{T}_{1}$$성을 만족하는 위상공간 $$X$$가 $$\text{T}_{3\frac{1}{2}}$$ 혹은 완전 정칙(completely regular)라 함은, 다음을 만족하는 것이다.
$$a\in X$$, $$B\subset_{\text{closed}} X$$에 대해, $$a\perp B$$이면, 연속함수 $$f:X\to \left[0,\,1\right]$$가 존재하여 $$f\left(a\right)=0, f\left(B\right)=\left\{1\right\}$$이다.
7.1.4.1. 성질
7.1.5. T₄ 공간
$$\text{T}_{1}$$성을 만족하는 위상공간 $$X$$가 $$\text{T}_{4}$$ 혹은 정규(normal)라 함은, 다음을 만족하는 것이다.
$$A,\,B\subset_{\text{closed}} X$$에 대해, $$A\perp B$$이면, $$A\subset U\subset_{\text{open}}X$$, $$B\subset V\subset_{\text{open}}X$$가 존재하여 $$U\perp V$$이다.
7.1.5.1. 성질
* 우리손 보조정리(Urysohn Lemma)
정규공간$$X$$의 만나지 않는 두 닫힌 부분집합 $$A$$,$$B$$에 대해, 연속함수가$$h:X \to\mathbb{R}$$ 이 $$h(x)=0(x\in A)$$ 이고$$h(x)=1(x\in B)$$ 를 만족하는것이 존재한다.
* 티체의 확장정리(Tietze Extension Theorem)
정규공간의 닫힌 집합에서 정의된 연속함수는 전체공간의 연속함수로 확장가능하다.
7.2. 가산성 공리들
7.2.1. 제 1가산 공리
모든 점에서 가산국소기저를 갖는다.
7.2.2. 제 2가산 공리
'''가산 공간(counterable space)'''이라 함은 다음을 만족하는 것이다.
가산기저를 갖는다.
7.2.3. 린될레프의 공리
$$X$$가 '''린될레프 공간(Lindelof space)'''이라 함은 다음을 만족하는 것이다.
$$O\subset T$$가 $$K\subset\bigcup O$$이라면, $$O$$의 '''가산''' 부분집합 $$O'$$이 존재하여 $$K\subset\bigcup O'$$이다.
7.2.4. 분리 가능성 공리
$$X$$가 '''분리 가능 공간(separable space)'''라 함은 다음을 만족하는 것이다.
'''가산''' 부분집합 $$D\subset X$$가 존재하여$$\overline{D}=X$$
7.3. 콤팩트성의 변형 공리들
7.3.1. 콤팩트(Compact)
콤팩트 집합은 임의의 열린덮개가 '''유한''' 부분 열린덮개를 가지는 집합이다. 유한성 조건은, 열린 집합들의 유한 교집합이 열린 집합이라는 공리와 함께 쓰이는 경우가 많다.
콤팩트 공간은, 자신이 콤팩트 집합인 공간이다.$$X$$의 위상이 $$T$$로 주어졌다고 하자. $$K\subset X$$가 콤팩트 집합라 함은 다음을 만족하는 것이다. $$O\subset T$$가 $$K\subset\bigcup O$$라 면, $$O$$의 '''유한''' 부분집합 $$O'$$이 존재하여 $$K\subset\bigcup O'$$이다.
$$X$$가 콤팩트 집합일 때, $$X$$는 콤팩트 공간이라 한다.
7.3.1.1. 관련된 정리들
- 르베그 수 보조정리(Lebesgue number lemma)
콤팩트 거리 공간 $$X$$의 임의의 열린덮개 $$O$$에 대해, $$\delta>0$$[6]
이 존재하여 임의의 부분집합 $$S\subset X$$의 직경[7]이 $$\delta$$보다 작으면 $$U\in O$$가 존재하여 $$S\subset U$$이다.
7.3.2. 점렬 콤팩트(sequentially compact)
임의의 수열은 수렴하는 부분열을 갖는다.
7.3.3. 극한점 콤팩트(limit point compact)
임의의 무한집합 $$A\subset X$$는 극한점을 갖는다.
7.3.4. 국소 콤팩트(locally compact)
- 점에서의 국소 콤팩트
$$p\in X$$에서의 국소 콤팩트성
열린 집합 $$U$$, 콤팩트 집합 $$K$$가 존재하여 $$p\in U\subset K$$이다.
- 전체에서의 국소 콤팩트
임의의 $$p\in X$$에서 국소 콤팩트면, $$X$$는 국소 콤팩트이다.
7.3.5. 관련된 정리들
- 하우스도르프 국소 콤팩트 공간에 한 점 $$\infty$$을 추가하여 위상을 적절히 주면, 하우스도르프 콤팩트 공간이 되고 기존의 공간을 부분공간으로 갖는다. 이를 한점 콤팩트화(one point compactification)이라 한다. 이때 적절한 위상이란, locally compact space를 X라고 두면, 임의의 점 p를 추가해 Y = X U {p}라고 두자.
(1) X에서 open set인 집합
(2) p를 포함하는 임의의 집합 O 중, Y - O 가 X에서 compact한 집합
으로 준다.
이때 Y를 one-point compactification of X라고 하며, 이 공간은 자명하게 compact하다
( 임의의 오픈 커버에 대해서 p 포함하는 오픈셋 하나 아무거나 잡으면, 남은 집합이 콤팩트니까 그걸 유한개로 채우면 끝)
간단한 예를 들어, 실수공간에서 한 점을 추가하면 그 공간은 2차원 공간에서의 단위원(S1, x^2 + y^2 = 1) 과 위상동형(homeomorphic)이다.
아주 직관적으로는 R이랑 open interval이랑 같은데 그 open interval을 고리모양으로 원처럼 말아넣고, 끝에 한점 찍어서 원으로 만드는거랑 비슷하다. 비슷하게, 2차원 실수공간은 3차원 공간에서 단위구와 동치이며, 모든 n에 대해 그 성질이 성립한다. 대충, n+1차원 공간에서 (0,0,...,0,1)에서 n차원 공간으로 n+1차원 구면상의 자기자신을 제외한 다른 점과 직선으로 연결한 다음에, 그 점 끝이 n차원 공간과 만나는 지점을 잡아주면 homeomorphism을 잡을 수 있다. 그니까, n차원 공간의 모든 무한대를 하나로 묶어서 n+1차원으로 만든 셈. stereographic projection을 구글링해보면 더 자세한 이야기를 들을 수 있다.
compact하지 않은 공간을 compact하게 만드는 방법에는 이외에도 여러 가지가 있다. one point는 그 중 minimal 한 방법으로, 최소한의 점을 추가해 공간을 compact하게 만드는 것. 이외에도, Stone - Cech compactification 등 여러 가지 정리가 있다.
- 거리 공간에서 콤팩트성, 점렬 콤팩트성, 극한점 콤팩트성은 모두 동치이다. 거리공간이 아닌 경우 반례가 종종 성립하는데, 위상수학을 공부하는 학생이라면 이 반례들을 제대로 외워두길 바란다. 보통 자주 나오는 예시는, I^I(I = [0,1] 에 대해 I로 product를 건 것, 즉, f : [0,1] → [0,1] 인 함수공간, topology는 product topology) 와 같은 것들이다.
7.4. 포함 관계
8. 연결 공간
9. 예시
단순히 '위상 공간'이라는 것만으로 다룰 수 있는 것들은 한정되어 있다. 그렇기 때문에 조금 더 특수하고 추가적인 구조를 가지고 있는 예시들이 자주 쓰인다.
9.1. 거리 공간
집합 $$X$$의 거리함수 $$d$$를 생각하자. $$x\in X$$, 실수 $$r>0$$에 대해 $$B_{r}\left(x\right)=\left\{ y\in X| d\left(x,y\right)<r\right\} $$라 할 때 $$B_{r}\left(x\right)$$들의 집합을 부분기저로 하는 위상 공간을 거리 공간(metric space)라 한다. 거리 공간은 아주 좋은 공간인데 모든 거리 공간은 $$\text{T}_{4}$$이며 거리 공간에서는 가산 콤팩트(countable compact)와 콤팩트가 동치이다.[8] 또한 콤팩트와 totally bounded이고 complete인 것이 동치이다.
반대로, 위상이 정해지면 어떤 공간의 거리를 부여할 수 있기도 하다. 대표적인 예로, normal space이며 second countable space이면 거리를 부여할 수 있다는, urysohn's metrization theorem이 있다. 거리를 부여하는 방법은, 그다지 직관적이지는 않다. countable basis를 가지므로 각각에서 점 하나를 고른 뒤, x1,x2,... 로 순서를 붙인 후 같은 basis에 포함되느냐, 아니냐로 거리를 결정하는 방식.
이외에도, sminorv metrization theroem 등 여러 가지의 거리화 정리가 있다.
9.2. 다양체
국소적으로 유클리드 공간과 위상동형인 공간을 다양체(manifold)라 한다. 여기 위상수학적인 성질[9]뿐만 아니라 미분구조까지 주게 되면 미분다양체가 된다.
유클리드 공간은 위상 공간이며 그 중에서도 거리 공간이고, 동시에 미분다양체이다.
다양체에 관한 자세한 설명은 해당 항목 참조.
9.3. 위상군
위상 공간에 대수적 구조까지 주게 되면 위상군이 된다. 구체적으로 말하면, 위상공간 $$X$$가 군이고, 연산 $$X\times X\to $$와 역원 $$X\to X$$가 연속함수일 때 $$X$$를 위상군(topological group)이라 한다. $$X$$가 미분다양체이기까지 하면 리군이 된다.
9.4. 함수 공간
위상 공간 $$X, Y$$가 있을 때, $$X$$에서 $$Y$$로 가는 함수들의 집합 또한 위상 공간으로 다룰 수 있다.