변곡점
變曲點 / inflection point
1. 정의
어떤 함수의 볼록성과 오목성이 바뀌는 점. 예를 들어 어떤 함수가 변곡점 이전에서는 경사(기울기)가 점점 급해지는 추세였다면 변곡점이 지난 후에는 경사가 점점 완만해지게 된다. (물론 이 반대도 성립한다)
[image]
위 그림은 $$y=x^3-3x^2 $$ (파란색 곡선)과 $$y=1-3x $$ (빨간색 직선)을 나타낸 것. x=1을 경계로 x<1일 때는 함수의 기울기가 감소하는 추세였다면 x>1일 때는 점점 증가하고 있으므로 x=1은 이 함수의 변곡점이다. 변곡점에서의 접선인 $$y=1-3x $$는 함수를 완전히 꿰뚫고 있다. [1]
두 번 미분가능한 함수의 경우, 변곡점에서 도함수의 증감이 바뀌며. 이계도함수의 값이 0이 된다. 이 때 주의해야 할 점은 $$f''(x)=0 $$인 지점이라고 꼭 변곡점이라고 할 수는 없다는 것이다. 예를 들어 $$f''(x)=(x-1)^4$$ 의 경우 $$f''(1)=0$$ 이지만 함수 $$y=f(x)$$ 는 $$x=1$$ 에서 변곡점을 가지지 않는다 ($$x=1$$ 양쪽의 $$f''$$ 의 부호가 같다).
고등학교 과정에서는 "함수 $$f$$ 가 미분가능한 점 $$x$$ 에서 $$f''(x)=0$$ 이고 $$f''$$ 의 $$x=0$$ 좌우에서의 부호가 반대이면 $$x$$ 는 변곡점이다"라고 하는데, 이 명제의 역 (conversion)인 "$$x$$ 가 변곡점이면 $$f''(x)=0$$ 이고 $$f''$$ 의 $$x=0$$ 좌우에서의 부호가 반대이다"는 '''거짓'''이다. 실제로 모평에서 이런 낚시가 나왔었다. 어떤 점 $$x$$ 에서 $$f''(x)=0$$ 가 아니더라도 $$x$$ 의 좌우에서 $$f''$$ 부호가 반대이면 변곡점이다. 도함수가 미분불가능해도 변곡점은 나온다는 소리. 이 경우의 가장 대표적 예시는
[math(\displaystyle \mathit{f}\,(x) \equiv \begin{cases}
x^2& x > 0 \\
\\
-x^2 & \displaystyle \mathrm{elsewhere}
\end{cases} )]
[1] 함수가 위로 볼록일때는 접선이 함수 위에 있고, 아래로 볼록 일때는 접선이 함수 아래에 있는데, 이 내용과 변곡점의 정의를 생각해보면 변곡점에서의 접선은 함수를 꿰뚫는 다는것을 알 수 있다.
함수가 아닌 일반적인 평면곡선의 경우에도 국소적으로 함수 형태로 보았을 때 변곡점으로 나타나는 점들을 곡선의 변곡점이라 정의할 수 있는데, 이렇게 특정된 변곡점들이 좌표에 의존하지 않고 곡선에 고유하게 결정되기 때문이다. 미분기하의 매끄러운 곡선의 경우 곡률의 부호가 바뀌는 지점, 다항식으로 정의되는 대수곡선의 경우 접선이 접점에서 홀수 중복도(multiplicity)를 가지는 점이 변곡점이 된다.
2. 기타
비유적 용법으로, 신문 등 각종 대중 매체에서도 가끔 볼 수 있는 말인데, 무언가 중대한 전환점이 와 증감 추세가 바뀌었을 때 주로 쓰인다. 즉, 이 점이 온다고 해도 바로 형국이 전환되지는 않는다. 형국이 전환되는 점으로 서술하려면 (동의어는 아니지만) '임계점'으로 써야 옳다.
다만 표준국어대사전에도 '변곡점'은 수학 분야 어휘로만 실려 있을 뿐, 이런 용법은 개제되어 있지 않으며, 타 한자문화권에서도 이런 의미로는 쓰지 않는 한국식 한자어다. 네이버 뉴스 라이브러리 기준으로, '변곡점'이라는 어휘가 수학 이외 용법으로 처음 사용된 것은 1978년 12월 19일자 매일경제 기사가 처음이며, 그 전에는 수학적 의미로 단 2차례 검색될 뿐이다.
피식대학 임플란티드 키드가 자주 사용하는 용어 중 하나이다.
[2] 실제로는 미분 가능하다($$f''(x) = 2\, \mathrm{sgn}\, x$$).