복소로그함수
1. 개요
복소해석학에서 로그함수의 진수를 복소수로 확장한 것이다. 간단히 말하면 복소 자연로그 $$w = \log z$$는 $$z = e^w$$의 역함수로 정의되고, 일반적 로그함수는 몫 $$\log_{a} b = (\log b)/(\log a)$$로 정의될 수 있다. 다만, 이 역함수를 $$z\ne0$$인 모든 복소수에서 항상 잘 정의되게 하는 것이 불가능하기 때문에, 사용 시 약간의 주의가 필요하다.
2. 초등적 관점
우선 오일러의 공식과 복소수의 극형식을 이용해, $$z = e^w$$ ($$z \neq 0$$)이 되는 복소수 $$w$$를 모두 구해보면 다음과 같다. 복소수 $$z$$의 편각을 $$\theta$$라 하면 다음이 성립하므로
$$ \displaystyle z = |z|(\cos \theta + i \sin \theta) = e^{\log |z| + i \theta}$$
해 하나를 $$w = \log |z| + i \theta$$로 찾을 수 있다. 역으로 만약 $$w=x+iy$$가 $$z=e^w$$를 만족시킨다면,$$ \displaystyle e^w = e^x (\cos y + i \sin y) = |z|(\cos \theta + i \sin \theta)$$
에서 $$(x,y) = (\log |z|, \theta + 2n \pi)$$의 해를 얻는다.복소 자연로그를 다가함수(multivalued function)로 보는 입장에서는 이들 수 모두가 로그의 값이 된다. 편각에 대해서 쓰는 $$\arg z$$라는 표기는 $$\theta + 2\pi i$$ 중 어떤 것도 될 수 있는 각으로 쓰인다.
이 다가함수를 일반 함수로 생각하려면 이 편각 중에서 정확히 하나를 골라 줘야 하는데, 보통 다음의 과정을 걸친다. 우선, 좌표평면에서 원점을 출발한 반직선 $$l$$ 하나를 정해 정의역에서 제외하고, 이를 '''분지 절단'''(branch cut)이라고 한다. 이 $$l$$이 원점에서 $$\alpha$$의 일반각으로 뻗어 있다고 하면, 정의역 $$\mathbb{C} \setminus l$$ 위에서 편각이 구간 $$(\alpha-2\pi, \alpha)$$에 속하게 유일하게 결정할 수 있다. 이렇게 선택된 함수를 일반적으로는 다가함수의 '''분지'''(branch)라 한다.
로그함수의 '''주 분지'''(principal branch)는 이 분지들 중에서 $$\alpha = \pi$$인, 즉 음수인 반직선으로 분지 절단을 했을 때 나타나는 분지를 의미한다. 이 분지에 대한 범위 [math((-\pi,\pi])]로 고정된 편각을 $$\mathrm{Arg}$$, 이 범위에서 정의된 로그함수를 따로 $$\mathrm{Log}$$라 표기한다.
이렇게 직선을 잘라내는 이유는 정의역 위에서 편각이 연속적으로 변하게 만들어야 하기 때문이다. 예로 주 분지에서 $$z = -1 + \epsilon i$$ ($$\epsilon>0$$)를 따라 접근하는 극한은 $$\mathrm{Log}(z) \rightarrow i\pi$$가 되지만, $$z = -1 - \epsilon i$$를 따라 접근하면 $$\mathrm{Log}(z) \rightarrow -i\pi$$가 되기 때문이다. 원점을 중심으로 한 바퀴 돌 때마다 편각이 $$2\pi$$씩 증가하기 때문에, 돌지 못하도록 직선을 잘라준다고 이해하면 편하다.
한편, $$\Re(z) < 0$$일 경우 $$\mathrm{Log}(z) = \mathrm{Log}(|z|) + i\pi$$가 성립하므로 실수부를 취한 $$(\Re \circ \mathrm{Log})$$는 $$y$$축 대칭함수(Even function)이다.
3. 복소해석학에서의 관점
영역 내에서 연속인 복소로그함수가 존재한다면 미분가능하고[1], 그 미분은 $$1/z$$이 되어야 함을 증명할 수 있다. 역으로 영역 내에서 $$1/z$$의 원시함수가 존재한다면 이는 (복소로그함수)+(상수)의 형태로 나타난다. 한편 정칙함수의 원시함수가 존재할 필요충분조건은 영역 내의 임의의 닫힌 고리 위에서 선적분이 0인 것인데, 고리 위에서 $$\mathrm{d}w/w$$의 선적분 값은 일반적으로 $$2 \pi i$$*(원점을 도는 횟수)로 주어진다.
이를 종합하면, $$z=1$$을 포함하는 열린 영역 $$U \subset \mathbb{C} \setminus 0$$에 원점을 포함하는 고리가 없을 때, $$U$$ 위에서의 복소로그함수의 분지는 다음의 복소선적분으로 유일하게 존재한다.
$$ \displaystyle \log z=\int_{\gamma}\frac{\mathrm{d}w}{w}\quad(\gamma:[0,1]\rightarrow U,\,\gamma(0)=1,\,\gamma(1)=z) $$
역으로 $$U$$ 내부에 원점을 한 바퀴 이상 도는 고리가 있다면, $$U$$ 위에서 연속인 복소로그함수는 존재하지 않는다.일반적인 다가함수의 분지는 열린 집합 $$U$$에서 다가함수와 일치하는 연속함수로 정의되고, 위의 분지는 여기서 $$U$$를 $$\mathbb{C} \setminus l$$로 택한 특수한 경우이다. 예를 들자면, 분지 절단으로 원점에서 뻗어나가는 직선이 아니라 아무 모양의 곡선을 잘라내도 문제는 없고, 이 때 편각의 의미는 정의역 $$U$$ 위에서만 이동할 때에 일반각이 변한 정도로 해석할 수 있다. 역으로 다가함수를 정확히 이해하려면 이들 분지들을 모두 붙인 리만 곡면(Riemann Surface)으로 생각해야 하고, 특히 복소로그함수의 리만곡면은 $$y = e^z$$인 $$(y,\,z) \in \mathbb{C}^2$$의 집합으로 생각할 수 있다.