극형식

 

1. 개요
2. 활용
2.1. 복소평면
2.2. 함수
2.3. 대칭성


1. 개요

Polar form
대수학이나 함수론에서 사용하는 표현식이다.
복소 공간에서 복소수를 표현하는 방법으로 복소수의 절댓값과 편각의 크기를 사용하여 나타낸다. 예를 들어, 임의의 복소수 $$Z$$에 대하여 $$Z=a+bi$$일 때, 편각의 크기를 $$θ$$라고 한다면 $$Z$$의 극형식은 '''$$Z=|Z|(\cosθ+i\sinθ)$$'''가 된다.[1]

2. 활용


2.1. 복소평면

복소수를 평면 위의 점과 대응시켜 나타낸 것을 복소평면 또는 가우스평면이라 한다. 앞서 말한 복소수 $$Z$$에서 $$Z$$를 나타내는 점을 $$P(Z)$$, 또는 점 $$Z$$라 한다.

2.2. 함수

$$r=f(θ)$$ 또는 $$f(r,θ)$$로 새로운 함수를 정의해보자. $$r=1$$이면 2차원 상의 원이 만들어진다. 삼각함수 등 여러 다른 함수를 도입하면 아름다운 미술학과 수학의 조화를 접하게 된다 카더라(...).

2.3. 대칭성

  • 그래프 위에 놓인 $$(r,θ)$$에 대하여 $$θ$$가 $$-θ$$로 바뀌어도 변하지 않으면 극축에 대하여 대칭이다.
  • 그래프 위에 놓인 $$(r,θ)$$에 대하여 $$r$$이 $$-r$$로 바뀌거나 $$θ$$가 $$θ+π$$로 바뀌어도 같다면 극점에 대하여 대칭이다.
  • 그래프 위에 놓인 $$(r,θ)$$에 대하여 $$θ$$가 $$π-θ$$로 바뀌어도 같다면 수직선 $$θ=π/2$$에 대하여 대칭이다.

2.4. 드 무아브르 공식

극형식을 $$|Z|<θ$$로 나타내기도 한다. 벡터와 비슷하게 $$|Z|=1$$이고 편각이 $$θ$$인 복소수를 단위 복소수라 하고, $$e^{iθ}$$라고 쓴다. 이를 확장시키면 오일러의 공식이 나온다.

[1] 여기서 $$|Z|$$는 $$Z$$의 크기(magnitude)를 뜻한다.

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