부정방정식
不定方程式
Underdetermined system [1]
1. 개요
방정식 중 해가 하나 혹은 유한 개로 정해지지 않는 방정식의 통칭.
부정방정식의 부정(不定)은 '정할 수 없다'의 뜻으로, 마치 0으로 나누기에서 등장하는 $$0x=0$$의 해처럼 '해의 값을 하나로 정할 수 없는'의 의미이다. (다항방정식의 경우) 변수의 수가 방정식의 수보다 많으면 보통 해가 무한히 많이 나오게 되는데(항상 그렇지는 않다), 이들 해에 실수/정수 등의 제약조건을 줄 때 나오는 유한 개의 가능성들을 추려내는 유형의 문제들을 보통 일컫는다. 예시로 $$x+y=3$$ 같은 방정식의 경우 복소수해/실수해만을 보면 무한히 많은 해들이 있지만, $$x,y$$를 음이 아닌 정수로 한정하면 가능한 해집합은 $$(x,y)=(3,0),(2,1),(1,2),(0,3)$$으로 제한되는 식. $$x^2 + y^2 - 2y + 1 = 0$$ 같은 경우도 복소수해는 무한히 많지만 실수해로 제약을 주면 $$x^2+(y-1)^2=0$$에서 $$(x,y)=(0,1)$$로 한정된다. 중등 교과과정에 나오는 문제들은 얼추 디오판토스 방정식스러운 정수해 혹은 자연수해가 유한개인 유형과 실수해가 유한개인 유형 이렇게 둘로 크게 나뉜다고 보면 된다.
의외로 정확한 정의는 애매한 편인데, 사실 교과과정 이후에서는 '부정방정식'이라는 개념이 학술적으로 명확한 의미를 갖고 있지 않기 때문이다. 교과과정에서 섞어 놓고 있는 것은 디오판토스 방정식과 underdetermined system[2]의 개념인데, 엄밀하게 뜯어보면 교과과정의 것과는 둘다 명백한 차이가 있다. 다만 디오판토스 방정식이 '정수 부정방정식'이라는 이름으로 불리는 경우는 있다.
1.1. 정의에 대한 고찰
흔히 중등과정에서 부정방정식은 "해가 하나 혹은 유한 개로 정해지지 않지만, 조건을 주어 해를 한정하는 방정식" 정도로 소개되지만 이는 완전하지 못한데, 변수의 수가 방정식의 수보다 많아도 해가 없는 방정식들도 있기 때문이다. 단순한 예시로 $$x+y+z=0, 2x+2y+2z=1 $$ 등을 생각해 볼 수 있다. $$x^2 + y^2 + 1 = 0$$ 같은 경우는 복소수해는 무한히 많지만 실수해는 없는 케이스. 이런 시각에서 해 집합의 원소가 수가 아닌 집합임을 알 수 있다.
Underdetermined system of equations (혹은 system 혹은 equations)의 개념은 단순히 '''변수의 개수가 방정식의 개수보다 많은 연립방정식'''으로, 제일 심플하다. underdetermined system의 해는 무한히 많을 수도 있지만 하나도 없을 수도 있고(이 경우 inconsistent하다고 한다), 실수 위의 다항방정식의 경우 유한개의 해가 나올 수도 있다. 다만 이 경우에는 변수에 추가조건을 주어 해를 한정한다는 개념은 생각하지 않는다. 원칙적으로 방정식은 식 뿐만이 아니라 변수의 범위가 애초에 명확하게 잘 정의되어야 하고, 조건을 입맛대로 바꾸는 순간 다른 방정식이 되어버리기 때문.
해에 조건을 준다는 설정은 정수 부정방정식이라 불리는 디오판토스 방정식의 개념에서 따온 것인데, 사실 다항방정식 중 계수가 정수/유리수인 것만 생각해야 하는 디오판토스 방정식의 정의는 훨씬 제약이 심하다. 자세한 것은 문서 참고.
2. Underdetermined system
2.1. 선형 연립방정식의 경우
일차 연립방정식을 완벽히 분석할 수 있는 선형대수학에서는 $${\bf A x} = {\bf b} $$의 벡터와 행렬 꼴로 연립방정식을 나타낸다. 행렬 $${\bf A}$$의 행의 개수 $$m$$은 방정식의 개수이고, 열의 개수 $$n$$은 변수의 개수이므로, $$m<n$$일 때가 underdetermined가 되는 것.
- 동차식(homogeneous), 즉 $${\bf b} = {\bf 0} $$의 경우 항상 0이 아닌 해가 존재한다. 이 해의 집합은 영공간(null space) 또는 핵(kernel)이라 불리며 0이 아닌 부분벡터공간을 이룬다. 즉 무한히 많은 해가 항상 존재한다.
- 비동차식(nonhomogeneous), 즉 $${\bf b} \neq {\bf 0} $$인 일반적인 경우 정확히 두 가지 가능성이 있다.
(1) 무한히 많은 해가 있다. 이 때 해의 집합은 정확히 $${\bf x_0} + \text{ker}({\bf A})$$, 즉 (특수해)+(영공간) 으로 주어진다.
(2) 해가 하나도 없다. 이런 경우를 inconsistent system이라 부르기도 한다.
물론 (1), (2)를 구분하고 싶거나 정확한 영공간을 계산하고 싶다면 가우스 소거법 등을 활용해 어떤 식으로든 연립방정식을 풀어야 한다.(2) 해가 하나도 없다. 이런 경우를 inconsistent system이라 부르기도 한다.
2.2. 다항방정식의 경우
다항방정식의 경우도 해가 무한히 많은 경우와 해가 하나도 없는 경우가 둘 다 가능하다. 특수한 경우로 복소수 변수일 경우에는 해가 유한 개만 있는 경우는 없다는 사실을 증명할 수 있다. 엄밀하게 증명하려면 의외로 어려운데, 여기서부턴 일반적으로 대학 과정을 넘어선 대수기하학이 필요하기 때문이다. 대수기하학을 활용한다면 복소수 변수의 다항방정식 $$f_1(z_1, \cdots, z_n) = \cdots = f_m(z_1, \cdots, z_n)=0$$이 해가 없을 필요충분조건은 아이디얼 $$I = (f_1,f_2,\cdots, f_m) \subset \mathbb{C}[z_1, \cdots, z_n]$$이 1을 포함하면 된다는 걸 알 수 있다. (weak Nullstellensatz) 이건 그뢰브너 기저(Gröbner basis)를 구하는 Buchberger algorithm으로 확인할 수 있는 작업이므로, 복소수 범위에서는 inconsistency 판정이 비교적 쉽게 가능한 셈이다. inconsistent하지 않다면 항상 $$n-m$$ ((변수의 개수)-(방정식의 개수)) 만큼의 차원이 보장되므로, 이만큼의 매개변수로 해의 일부분을 나타낼 수 있다.
다만 실수로 넘어오면 사정이 아예 달라지는데, 일단 $$x^2+y^2=0$$처럼 해가 유한개인 경우가 생기는 등등 예외사항이 나올 뿐더러, 고전적인 대수기하학이 먹통이 되기 때문이다.