피타고라스 세 쌍
1. 개요
피타고라스 정리는 직각삼각형의 빗변의 제곱이 밑변의 제곱과 높이의 제곱의 합과 같다는 것이다. 즉 밑변을 $$a$$, 높이를 $$b$$, 빗변을 $$c$$라고 놓으면 $$a^2+b^2=c^2$$이라는 부정방정식[1]이 된다. 여기서 $$a, b, c$$의 해를 자연수로 한정한다.[2] 이제 가능한 해들을 나열해 보면
$$\{3,4,5\}$$
$$\{6,8,10\}$$
$$\{5,12,13\}$$
$$\{9,12,15\}$$
$$\{8,15,17\}$$
등이 있다. 이러한 목록들을 '''피타고라스 세 쌍(Pythagorean triple)'''이라고 부른다. 여기서 $$\{6,8,10\}$$같은 경우 해들이 2를 공약수로 가지는데 공약수를 1만 가지는 경우만 생각하자. 이런 경우를 만족하는 해를 '''원시 피타고라스 세 쌍(Primitive Pythagorean triple)'''이라고 부른다.
흔히 '피타고라스 수'라고 곧잘 불리는데, 사실 이것은 '수'도 아니고 수 1개만으로는 의미를 갖지도 않는다.[3][4]
원시 피타고라스 세 쌍 $$a,b, c$$에서 $$\displaystyle (a, b, c)= \left (st, \dfrac{s^2-t^2}{2}, \dfrac{s^2+t^2}{2} \right) $$의 형태로 나타낼 수 있음이 알려져 있다. (단, $$s$$, $$t$$는 서로소인 홀수이며, $$s>t$$)
한편 원시 피타고라스 세 쌍에서 가장 큰 값인 $$c$$는, 두 제곱수의 합 정리와 연관지어 생각할 수 있다.
2. 구성
편의상[5] 집합의 기호는 피타고라스의 이름 앞글자에서 따온 $$\pi$$의 변형자인 $$\varpi$$[6]로 한다.
피타고라스 세 쌍은 무한집합이며 여기서는 앞 10항까지의 원소 집합을 나열한다. 이 10항 중 $$\varpi_3, \varpi_6$$을 제외한 원소는 원시 피타고라스 세 쌍이다.
- $$\varpi_1 = \{3,4,5\}$$
- $$\varpi_2 = \{5,12,13\}$$
- $$\varpi_3 = \{6, 8, 10\}$$
- $$\varpi_4 = \{7, 24, 25\}$$
- $$\varpi_5 = \{8, 15, 17\}$$
- $$\varpi_6 = \{9, 12, 15\}$$
- $$\varpi_7 = \{9, 40, 41\}$$
- $$\varpi_8 = \{11, 60, 61\}$$
- $$\varpi_9 = \{13, 84, 85\}$$
- $$\varpi_{10} = \{16, 63, 65\}$$
한편 피타고라스 세 쌍은 환이 되지 못하는데, 가령 원소 집합 두 개만 취해서[7] 곱집합을 만들면 피타고라스 세 쌍이 되지 못한다.
3. 찾는 방법
1. 실수 부분과 허수부분이 모두 정수인 $$a+ bi$$를 정한다.
2. 복소수 $$z=x + yi=(a+ bi)^2$$에 대해서 $$|z|$$를 구한다. (단, $$x$$, $$y$$는 실수)
3. $$\{|x|,|y|,|z|\}$$는 피타고라스 세 쌍이다.
이 때 $$xyz=0$$이더라도 만족은 하지만 이때 세 쌍이 자연수로만 이루어질 수 없으므로 이 경우를 제외한다.
예를 들면 다음과 같다.
$$2+5i$$에 대해서 $$z=-21 +20i$$, $$|z|^2=841$$이므로 $$|z|=29$$
따라서 $$\{20,21,29\}$$는 피타고라스 세 쌍이다.
위 경우에는 원시 피타고라스 세 쌍을 찾았지만 항상 그런 것은 아니다. 예를 들어, $$3+i$$로 $$\{6, 8,10\}$$을 찾을 수 있다.
4. 기타
자연수 집합을 둘로 분할해서 각 분할이 피타고라스 세 쌍을 부분집합으로 가지지 못하게 만들수 있을까라는 100달러짜리 문제가 있었고 7825에서부터 안된다는 것이 밝혀졌는데 4색정리마냥 컴퓨터를 동원해 푼 결과였고 그 결과 나온 증명은 무려 200TB에 달한다.
피타고라스 세 쌍으로 만든 모든 삼각형은 특수각이 나오지 않는다. 특수각의 정의에 무리수가 들어가기 때문이다. 이 경우 각도기로 직접 측정해서 어림값을 구하든가, 혹은 역삼각함수에다 넣고 계산 노가다를 해야 한다.
[1] 디오판토스 방정식의 한 종류이다.[2] 자연수로 한정하지 않는 경우는 따로 삼각함수라고 칭한다.[3] 이런 '집합을 원소로 갖는 집합'을 집합족(Family of sets)이라고 한다.[4] 이렇게 된 것은 학생들이 집합에 대한 개념도 아직 제대로 서지 못한 상태에서 '집합의 집합'을 이야기하기에는 학습적 부담이 크기 때문으로 보인다(엉성하게 가르쳤다간 '집합족의 원소'와 '부분집합'을 헷갈리는 사태가 생긴다...).[5] 피타고라스 세 쌍을 나타내는 공식적인 기호가 정의돼 있지 않다.[6] 정자인 $$\pi$$를 쓰지 않는 이유는 원주율, 삼투압, 소수 계량 함수 등 다른 용례가 많기 때문.[7] 같은 원소여도 마찬가지이다.