쌍곡선
1. 개요
hyperbola · 雙曲線
기하학에 등장하는 도형의 일종으로,
으로 정의한다. 위에서 해당 정점을 '''초점(foci[1])'''이라 한다.
여담으로, 다른 원뿔곡선인 포물선과 원, 타원은 알고 있었던 사람이 있었겠지만, 쌍곡선은 거의 기하와 벡터 과목을 배우면서 처음 접하는 경우가 많아 생소한 느낌이 많이 드는 도형일 것이다.
2. 상세
2.1. 쌍곡선의 방정식
아래는 하위 문단의 내용을 요약한 표이다.
- 초점이 $$\boldsymbol{x}$$축 위에 있는 경우: $$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $$
- 그래프
[image]
- 조건: $$|\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}|=\textsf{const.}$$
- 초점의 좌표: $$\mathrm{F}( \sqrt{a^{2}+b^{2}},\,0) $$, $$\mathrm{F'}( -\sqrt{a^{2}+b^{2}},\,0) $$
- 주축의 길이: $$\displaystyle 2a $$
- 점근선: $$\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x$$
- 쌍곡선 위의 점 $$(x_{1},\,y_{1})$$을 지나는 접선의 방정식: $$\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 $$
- 특정한 기울기 $$m$$의 접선의 방정식: $$\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 $$
- 초점이 $$\boldsymbol{y}$$축 위에 있는 경우: $$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 $$
- 그래프
[image]
- 조건: $$|\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{PF'}}|=\textsf{const.}$$
- 초점의 좌표: $$\mathrm{F}( 0,\,\sqrt{a^{2}+b^{2}}) $$, $$\mathrm{F'}( 0,\,-\sqrt{a^{2}+b^{2}}) $$
- 주축의 길이: $$\displaystyle 2b $$
- 점근선: $$\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x$$
- 쌍곡선 위의 점 $$(x_{1},\,y_{1})$$을 지나는 접선의 방정식: $$\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 $$
- 특정한 기울기 $$m$$의 접선의 방정식: $$\displaystyle y=mx \pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}} $$
2.1.1. 유도
'''[1] 초점이 $$\boldsymbol{x}$$축 위에 있는 경우'''
[image]
그림과 같이 꼭짓점이 $$\mathrm{A}(a,\,0)$$, $$\mathrm{A'}(-a,\,0)$$이고, 초점이 $$\mathrm{F}(c,\,0)$$, $$\mathrm{F'}(-c,\,0)$$인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 $$ |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| $$는 일정한 값을 가져야 하며, 점 $$\mathrm{P}$$가 $$\mathrm{A}$$에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 $$\overline{\mathrm{AA'}}=2a$$여야 함을 알 수 있다.(참고로 $$\overline{\mathrm{AA'}}$$를 '''주축의 길이'''라 한다.) 따라서 아래와 같이 쓸 수 있다.
$$\displaystyle (\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}})^{2}=4a^{2} $$
[1] 쌍곡선이므로 복수형인 foci이다.
$$\displaystyle 2x^{2}+2y^{2}+2c^{2}-4a^{2}=2\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}} $$
$$\displaystyle (c^{2}-a^{2})x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2}) $$
$$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 $$
$$\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x\sqrt{1-\frac{a^{2}}{x^{2} }} $$
$$\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x$$
'''[2] 초점이 $$\boldsymbol{y}$$축 위에 있는 경우'''
[image]
그림과 같이 꼭짓점이 $$\mathrm{A}(0,\,b)$$, $$\mathrm{A'}(0,\,-b)$$이고, 초점이 $$\mathrm{F}(0,\,c)$$, $$\mathrm{F'}(0,\,-c)$$인 쌍곡선을 고려하자. 쌍곡선의 정의에 따라 $$ |\overline{\mathrm{FP}}-\overline{\mathrm{F'P}}| $$는 일정한 값을 가져야 하며, 점 $$\mathrm{P}$$가 $$\mathrm{A}$$에 있을 때를 생각하면, 이 값은 곧 주축의 길이인 $$\overline{\mathrm{AA'}}=2b$$여야 함을 알 수 있다. 따라서 위에서 다뤘던 논법과 유사하게 쌍곡선의 방정식을 유도할 수 있으며, 여기선 결과만을 적는다:
$$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1 $$
$$\displaystyle y=\pm \frac{b}{a} x$$
2.1.2. 일반형
쌍곡선 방정식의 일반형은 아래와 같이 나타난다.
$$\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0 \quad $$ (단, $$AB<0$$)
2.2. 반비례 관계의 그래프와의 관계
반비례 관계의 그래프 $$y=ax^{-1}$$을 고려해보자. 여기서 $$a$$는 상수이다. 이 함수는 $$\pi/4$$[2]만큼의 회전변환을 통하여 위의 쌍곡선의 표준형으로 나타낼 수 있다.
$$\pi/4$$만큼의 회전변환을 기술하는 행렬은
$$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} \cos{\dfrac{\pi}{4}} & -\sin{\dfrac{\pi}{4}} \\ \\ \sin{\dfrac{\pi}{4}} & \cos{\dfrac{\pi}{4}} \end{bmatrix} =\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned} $$
[2] $$45 \degree$$
$$ \begin{aligned} \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} x'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x - y) \\ y'&=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(x + y) \end{aligned} $$
$$ x'^2-y'^2=-2xy $$
$$ x'^2-y'^2=-2a $$
$$ \dfrac{x'^2}{2a}-\dfrac{y'^{2}}{2a}=-1 $$
이번엔 두 곡선이 교점$$(x_0, y_0)$$에서 어떻게 접하는지 알아보자. 두 곡선의 기울기를 각각 $$m_1, m_2$$라고 하자. 쌍곡선 함수를 음함수의 미분을 통해 접선의 기울기를 구하면 아래와 같다.
$$ \begin{aligned} \dfrac{2x}{2a}-\dfrac{2y}{2a}\dfrac{dy}{dx}=0 \\ \therefore m_1=\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x}{y} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} m_2=\dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{a}{x^2} \end{aligned} $$
$$ \begin{aligned} m_1m_2=-\dfrac{a}{x_0^2}\dfrac{x_0}{y_0}=-\dfrac{a}{x_0y_0} \end{aligned} $$
따라서 반비례 관계의 그래프는 쌍곡선을 회전변환 시킨 곡선으로 쌍곡선의 한 종류이며, 회전하기 전의 쌍곡선과 회전한 후의 쌍곡선은 교점에서 직교한다.
2.3. 쌍곡선과 직선
2.3.1. 쌍곡선과 직선의 위치 관계
우리는 임의의 직선
$$\displaystyle y-mx-n=0 $$
3의 과정에서 판별식의 부호에 따라 다음을 얻는다:
- 판별식의 부호가 양이다 : 쌍곡선과 직선은 두 점에서 만난다.
- 판별식이 0이다 : 쌍곡선과 직선은 접한다.(즉, 쌍곡선과 직선은 한 점에서 만난다.)
- 판별식의 부호가 음이다 : 쌍곡선과 직선은 만나지 않는다.
2.3.2. 쌍곡선의 접선
2.3.2.1. 쌍곡선 위의 점에서의 접선
이 문단에서는 쌍곡선 위의 점 $$(x_{1},\,y_{1})$$에서 접선의 방정식을 구해볼 것이다.
'''[1] 초점이 $$\boldsymbol{x}$$축 위에 있는 경우'''
우선 우리는 음함수의 미분법을 이용하여, 접선의 기울기를 구하자:
$$\displaystyle \frac{2x}{a^{2}}-\frac{2y}{b^{2}} \frac{dy}{dx} =0 \,\to\, \frac{dy}{dx}=\frac{b^{2}x}{a^{2}y} $$
$$\displaystyle y-y_{1}=\frac{b^{2}x_{1}}{a^{2}y_{1}}(x-x_{1}) $$
$$\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=1 $$
위와 같은 방법으로 우리는 접선의 방정식이
$$\displaystyle \frac{xx_{1}}{a^{2}}-\frac{yy_{1}}{b^{2}}=-1 $$
2.3.2.2. 특정한 기울기의 접선
우리가 구하는 직선의 방정식을 $$y=mx+n$$으로 놓자. 그리고, 이것을 쌍곡선 방정식에 대입하고, $$x$$에 대한 이차 방정식을 만든다. 그 후, 해당 이차 방정식이 중근을 갖으면, 즉, 판별식이 0이 되면 직선과 쌍곡선은 접하므로 그것을 이용하면 된다.
'''[1] 초점이 $$\boldsymbol{x}$$축 위에 있는 경우'''
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
$$\displaystyle n=\pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}}$$
$$\displaystyle y=mx \pm \sqrt{a^{2}m^{2}-b^{2}}$$
이 경우엔 다음을 만족시켜야 한다.
$$\displaystyle n=\pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}}$$
$$\displaystyle y=mx \pm \sqrt{b^{2}-a^{2}m^{2}}$$
3. 기타 성질
4. 기타
- 물리학에서, 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족하면, 쌍곡선 운동을 하게 된다.
- 쌍곡선 함수가 이 쌍곡선과 관련되어 있다.
- 특수 상대성 이론에서 쌍곡선 기하학이 사용된다.
4.1. 비유적 표현
서로 만나지 않으면서 가까운 곳에서 출발해 멀어지는 쌍곡선의 특징에 착안해 '○○의 쌍곡선'과 같이 비유적 표현에 종종 사용된다. 대표적으로 '희비쌍곡선'이란 표현이 있다. 비슷한 시간이나 장소에서 발생/존재하지만 전혀 다른 방향으로 진행하는 속성을 가진 것을 비유한다.한아름 안고 백화점 나오는 손, 뒤따르는 거지의 '''쌍곡선'''
이곳에는 이 사회에서 반듯이 존재해 잇는 도회의 '''쌍곡선'''이 흐르고 잇는 것이엇다. 보라! 백화점 앞에 자선남비와 굉장히 높은 빌딩 문간에 헌 누덕이 잠자리와, 물건을 사가지고 가는 사람에게 매달이는 어린 거지를. 그곳에는 다 각각 다른 인생의 명암이 있는 것이엇다. 이러케 생각하고 보니 네온싸인과 이루미네슌[3]
도 빈부귀천의 '''쌍곡선'''이 흘으는 것 같앗다.-
5. 관련 문서
[3] 일루미네이션(illumination)