비례·반비례
1. 개요
멱함수의 일종으로, 두 변수가 있을 때 한 변수가 2배, 3배 되면 다른 한 변수도 2배, 3배 되는 경우 그 두 변수는 (정)비례 관계에 있다고 한다. 반면 한 변수가 2배, 3배 될 때 다른 변수가 $$1 \over 2$$배, $$1 \over 3$$배 된다면 두 변수는 반비례 관계에 있다고 한다.
식으로 나타내자면 $$a$$가 상수일 때 $$y=ax$$를 만족시키는 경우 두 변수 $$x, y$$는 정비례 관계에 있고, $$\displaystyle y=\frac{a}{x}=ax^{-1}$$를 만족시키는 경우 $$x, y$$는 반비례 관계에 있다. 간혹 분수만 나오면 무조건 반비례라고 써버리는 사람도 있는데, 분모가 비례상수일 경우는 정비례다. 다시 말해, 비례상수 그 자체는 비례·반비례 여부에 아무 영향을 주지 않는다. 예를 들어 $$\displaystyle y=\frac{x}{2}={1 \over 2}{x}$$는 비례 관계이다. 단, 하나의 예외로 비례상수가 0일 경우 비례·반비례 관계가 무너진다.[1]
2. 정의
2.1. 정비례
두 변수 $$x, y$$가 '''정비례'''한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 $$f$$에 대하여 $$y=f\left(x\right)$$를 만족시킨다는 뜻이다.
이 정의를 이용해 정비례하는 함수 $$f$$를 묘사하는 식을 구할 수 있다. $$x\neq 0$$일 때, $$\displaystyle g\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)}{x}$$라 정의하자. 그러면 0이 아닌 임의의 $$k, x$$에 대하여 $$g\left(kx\right)=g\left(x\right)$$가 성립하므로, 0이 아닌 임의의 $$x$$에 대해서 $$g\left(x\right)$$는 일정한 값을 갖는다. 그 값을 상수 $$a$$라 하자. 그러면 0이 아닌 임의의 $$x$$에 대해서 $$f\left(x\right)=ax$$를 만족시킨다. 그런데 정의에 의해 $$f\left(0\right)=0$$이다. 따라서 임의의 $$x$$에 대해 $$f\left(x\right)=ax$$이다. 즉 정비례 관계의 함수는 일차함수이다.임의의 $$k, x$$에 대하여 $$f\left(kx\right)=kf\left(x\right)$$
비례관계의 정의는 역함수를 정의할 때 사용되기도 한다. 가령 지수함수를 $$f\left(x\right)=x$$에 대칭시키면 로그함수가 튀어나온다.
2.2. 반비례
두 변수 $$x, y$$가 '''반비례'''한다고 함은 다음을 만족시키는 함수 $$f$$에 대하여 $$y=f\left(x\right)$$를 만족시킨다는 뜻이다.
즉, 반비례 함수는 분수함수이다.0이 아닌 임의의 $$k, x$$에 대하여 $$\displaystyle f\left(kx\right)=\frac{f\left(x\right)}{k}=k^{-1}f\left(x\right)$$이다.
이때, 반비례 함수를 부정적분하면 자연로그가 나오며[2], 1에서 자연로그의 밑 [math(e)]까지 정적분을 하면 1이 나온다.
반비례 함수의 그래프는 쌍곡선이다. 이 식을 이용해 쌍곡선의 방정식으로 변형시킬 수 있다.
반비례 관계의 항 중 분모가 자연수인 항을 모조리 더한 것을 '조화급수'라고 하며 여기서 자연로그를 뺀 부분을 모두 더하면 오일러-마스케로니 상수를 구할 수 있다.
3. 비례의 기호 ∝
비례하는 함수 $$y=kx$$($$k$$는 상수)를 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$y \propto x$$
순서를 바꾸어 $$x \propto y$$와 같이 쓸 수도 있다.
마찬가지로 반비례하는 함수 $$y=\dfrac{k}{x}$$($$k$$는 상수)는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$y \propto \dfrac{1}{x}$$