대수적 정수론
Algebraic Number Theory
1. 개요 및 역사
정수론을 연구하는 데에 광범위한 대수학의 방법들을 사용하는 분야이다. 정수론의 핵심 주제가 방정식의 정수해를 찾는 것이므로, 방정식의 성질을 연구하는 대수학이 끼어들 자리가 없다면 이상할 것이다. 다만 대수학이라는 것이 생각보다 골때리는 학문이니만큼,[1] 해석적 정수론에 비해 일반인이 접하기는 훨씬 힘들다.
약간 더 자세히 말하자면, 대수적 정수론은 방정식의 대수적 해를 이용한 대수적 확장(algebraic extension) 위에서의 정수의 성질을 탐구한다고 할 수 있다. 마치 고차방정식을 풀 때 복소수를 도입해서 해를 찾듯이, 정수집합에 방정식의 해들을 추가시켜 이들의 성질을 관찰하는 것. 예를 들어서, 페르마의 마지막 정리(Fermat's Last Theorem, 이하 FLT) 중 지수가 3인 경우
$$x^3 + y^3 = z^3$$
이 식은 3차 단위근 $$ \omega = e^{2 \pi i / 3}$$ [2] 을 동원해 다음과 같이 인수분해된다.$$\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3$$
여기서의 $$x, y, z$$는 모두 정수이므로, 인수 $$x+y,\,x+\omega y,\,x+{\omega}^2 y$$ 들은 모두 정수집합 Z에 $$ \omega $$를 추가한 아이젠슈타인 정수(Eisenstein Integer)라 불리는 다음 집합$$ Z\left[\omega\right] = \left\{a+b \omega : a, b\right.$$는 정수$$\left.\right\}$$
의 원소이다. 따라서 정수의 성질들을 모조리 끌어와 이 아이젠슈타인 정수에서 정수론을 펼치면 FLT 중 n=3인 경우를 공략할 수 있는 것이다. 수학자 오일러가 이 방법을 생각해 낸 후, 사람들은 수많은 디오판토스 방정식들이 사실은 이러한 류의 집합 - 대수적 정수(algebraic integer) - 위에서의 정수론 문제라는 것을 알게 되었다.하지만 대수적 정수들을 다루는 것은 처음 생각보다는 복잡했는데, 정수의 모든 좋은 성질이 다 옮겨오지는 않았기 때문이다. 그 대표적인 예로 소인수분해가 유일하지 않은 것이 있는데, 이는 대수적 정수 $$ \mathbb{Z}\left[ \sqrt {-5} \right] $$ 위에서 $$6 = 2 \cdot 3 = \left(1 + \sqrt{-5}\right)\left(1 - \sqrt{-5}\right) $$처럼 두 가지 서로 다른 분해가 존재하기 때문이다. 이는 많은 상황에서 예기치 못한 장애물이 되었다. 후에 수학자 라메(Gabriel Lame)가 지수가 일반적 홀수 소수일 때 [3], 위의 n=3인 경우와 비슷한 논리를 펼쳐 '이겼다! FLT 끝!' 을 외쳤지만, 아쉽게도 이 문제를 생각하지 않은 바람에 오류가 났었던 것. 이것을 해결하기 위해 쿰머(Ernst Kummer)가 '배수의 일반화'라고 볼 수 있는 아이디얼(ideal)의 개념을 창안하였고, [4] [5] [6] 이를 활용하여 소위 말하는 '정규소수'(regular prime)인 경우의 증명을 완성하긴 했지만, FLT의 해결과는 거리가 멀었다.
대수학이 제대로 정립된 힐베르트(David Hilbert) 이후 대수적 정수론은 다시 다른 국면을 맞게 된다. 현대수학자들은 대수학 외에도 대수기하학과 표현론 등 정신줄 놓는 수학들을 자유자재로 사용하여, 방정식의 정수해에 대해 모든 것을 밝혀 낼 기세로 전진하였다. 예로 1983년에 팔팅스(Gerd Faltings)가 증명한 모델의 가설(Mordell's conjecture)은 '변수가 2개인 $$F\left(x,y\right) = 0$$ 꼴의 대부분의 방정식은 유한한 유리수해를 가진다'는 어마어마한 내용을 말하고 있다. [7] 20세기의 정수론은 이러한 것들과 더불어 조화해석학에서 온 모듈러 형식(modular form), 타원곡선, 해석적 정수론의 L-함수, 이 모든 것이 합쳐진 모듈러성 정리의 증명 - 즉 FLT의 증명! - 으로 정상을 찍었다고 할 수 있겠다. 물론 그 뒤에 랭글랜즈 프로그램 같은 정말이지 말도 안되는 숙제들을 남겨놓기는 했지만.
여담으로, 위에서 보듯이 페르마의 마지막 정리가 대수적 정수론의 발전에 상당한 영향을 주었다는 것을 알 수 있다.
2. 특징
학습할 때의 느낌은 해괴망측한 개념들이 판을 친다고 얘기할 수 있다. 뭐 대수학 관련 과목들이 안 그렇겠냐만은, 사람에 따라서는 대수기하학보다 심하다는 얘기도 있다. 다만 대수학적 사고 방식에 극도로 익숙한 사람이 그런 개념들을 내면화할 수 있으면, 충분히 아름답게 느껴질 수도 있다. 옆 동네처럼 밑도 끝도 없는 적분과 부등식, 몇 겹으로 튀어나오는 자연로그 ($$\ln\ln\ln\ln x$$ 같은...) 등이 수없이 나오지 않는다는 것은 사람에 따라 장점이 될 수도.
대수적 정수론은 초등정수론에서 배운 여러가지 대수적인 내용을 훨씬 더 일반화시킨다. 르장드르 기호는 아틴 사상이 되고, 페르마의 $$4n+1$$ 정리는 $$\mathbb{Q}\left(i\right)$$라는 체 위에서 어떤 소수가 split한지 inert한지의 문제로 바뀐다. 이렇게 초등정수론하고 연관성을 찾아가면서 공부한다면 대수적 정수론을 공부하는 데 도움이 될 수 있다.
대수적 정수론에서 해석적 정수론적 방법론을 쓸 때가 있다. 데데킨드 제타함수나 아틴 L- 관련 내용인데, 여기에서 나오는 Chebotarev's density theorem은 대수적 정수론 전체에서 매우 중요한 정리로 쓰인다. 그리고 analytic continuation이란 문제는 Tate thesis같은 여러가지 매우 중요한 결과를 낳았고, 이는 랑글랜드 프로그램으로 발전한다. 따라서 대수적 정수론 안에서 해석적 방법은 상당히 중요한 위치를 차지한다.
대수적 정수론에 대해서 더 알고 싶은 사람은 대수적 정수론/심화 참조
3. 교재들
보통 Cassels와 Frohlich가 엮은 'Algebraic Number Theory'가 바이블로 꼽히는데, Serre나 Tate 등의 대가들이 직접 쓴 내용들이 포함되어 있기 때문이다. 다만 10년 동안 절판되었어서 구하기는 꽤나 힘들다. 대수적 정수론에선 같은 이론에 접근하는 다른 관점들을 익혀두는 것도 상당히 도움이 되므로, Neukirch-'Algebraic Number Theory', Lang-'Algebraic Number Theory', Milne-'Class Field Theory' 등을 같이 보는 것이 보통이다. 특히 Neukirch의 제타함수 서술은 Hecke의 방법을 따르고 있어서 Tate's Thesis와 보완적으로 볼 수 있다. Milne의 교재는 온라인으로 공짜로 다운받을 수 있다.
물론 이상은 대학원 수준의 전공 내용을 위한 교재들이고, 입문용으로는 적절한 책을 골라 읽으면 된다. (...) 빠지기 쉬운 p-adic 부분은 Serre의 'A Course in Arithmetic' 정도로 보충해주자. 이 책은 나중에 나올 개념들까지 모조리 포괄하고 있으므로, 고급과정을 위한 필독도서로 꼽힌다.
대수적 정수론이 나름 딱딱한 과목에 속하는만큼, 바로 이론을 공부하기보다는 분야의 맛보기와 배경설명을 겸한 책으로 시작하는 것도 좋을 것이다. Borevich와 Shafarevich의 'Number Theory'가 유명하긴 하지만, 이 책은 현재까지 절판되어서(...) 학교도서관에 있기를 기도하자.
[1] 물론 대수적 정수론에 사용되는 학부/대학원 수준에서[2] 혹은 $${\omega}^2 + \omega + 1 = 0$$의 근. 고등학교에서 흔히 오메가라고 하는 그거다. [3] FLT는 지수가 소수와 4일 때만 증명하면 충분함을 알 수 있다.[4] 현대대수학의 그 아이디얼 맞다. 학부 대수학을 배웠어도 이러한 배경을 보통 모르는 것이 사실.[5] 아이디얼을 엄밀히 정의한 것은 보다 나중의 데데킨트(Richard Dedekind)의 업적이긴 하다.[6] 아이디얼의 어원은 플라톤의 그 이데아 이론이 맞다. 쿰머가 이를 정의할 때 "이상적 수"(獨 ideale Zahl 英 ideal number 韓 이상수)라고 칭했고 후에 '수'(Zahl) 부분이 떨어진 것.[7] 물론 여기서 '대부분의'가 뭔지 정의하기는 정말 어려우므로 생략하도록 한다. 여담으로, FLT의 방정식들은 이 '대부분의' 방정식에 들어가므로, 팔팅스의 정리는 FLT의 해가 유한하다는 것을 말해준다.