1의 거듭제곱근/세제곱근

1. 개요

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1의 세제곱근에 대한 문서이다. 고1 1학기 교육과정의 '복소수' 파트에서 기본적으로 삼차방정식 $$x^3=1$$ 또는 $$x^3=-1$$을 통해 배우며 이를 통해 복소수의 중요한 성질을 확인할 수 있다. 고1 교육과정에서는 소문자 오메가 $$\omega$$ 로 표기한다.[1]
일반적으로 실수계수 삼차방정식에 허근이 존재한다면 '''반드시 2개의 허근이 존재'''하며, 그 둘은 반드시 켤레복소수이다. 그리고, 두 허근을 흔히 $$\omega$$와 $$\overline \omega$$으로 표기한다. 그런데, $$x^3=1$$에서는 특별하게도 $$\overline \omega = \omega^2 = \dfrac{1}{\omega} = -1-\omega$$를 만족시키며, 다양하게 변화된 관계식이 만들어진다. 단, $$\omega$$는 임의의 삼차방정식의 허근으로도 쓰이기에, $$x^3=1$$의 허근이 아닐 수도 있으니, 어떻게 정의되었는지 명확하게 확인해야 한다.

2. x^3=1

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$$x^3-1=0$$의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면

$$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)=0$$

[1] 대문자 오메가 $$\Omega$$는 보통 지수방정식 $$xe^x =1$$의 실근 '오메가 상수'를 나타내는데 쓰인다.

이차방정식 $$x^2+x+1=0$$을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.

$$x=1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{-1\pm \sqrt 3i}{2}$$

$$x^3=1$$(또는 $$x^2+x+1=0$$)의 한 허근이 $$\omega$$이면 다른 허근은 켤레복소수이므로 $$\overline \omega$$로 표기한다.
허수지수함수를 이용해 $$\omega = {\rm cis}(2\pi/3) = e^{i\cdot{2\pi}/{3}}$$로도 표기할 수 있다.[2]

2.1. 성질

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• $$\omega=\dfrac{-1+\sqrt 3i}{2}\quad\rightarrow\quad\overline\omega=\dfrac{-1-\sqrt 3i}{2}$$
  • $$\omega^2=\left(\dfrac{-1+\sqrt 3i}{2}\right)^2=\dfrac{1-2\sqrt 3i-3}{4}=\dfrac{-1-\sqrt 3i}{2}=\overline\omega$$
  • $$\overline\omega^2=\left(\dfrac{-1-\sqrt 3i}{2}\right)^2=\dfrac{1+2\sqrt 3i-3}{4}=\dfrac{-1+\sqrt 3i}{2}=\omega$$

$$x^3=1$$의 한 허근이 $$\omega$$이면 다른 허근은 $$\overline \omega$$이므로

• $$\omega^3=1\quad\rightarrow\quad\omega^2=\dfrac{1}{\omega}\quad\rightarrow\quad\omega=\dfrac{1}{\omega^2}$$
• $$\overline\omega^3=1\quad\rightarrow\quad\overline\omega^2=\dfrac{1}{\overline\omega}\quad\rightarrow\quad\overline\omega=\dfrac{1}{\overline\omega^2}$$

$$x^2+x+1=0$$의 한 허근이 $$\omega$$이면 다른 허근은 $$\overline \omega$$이므로

• $$\omega^2+\omega+1=0\quad\rightarrow\quad\omega+1+\dfrac{1}{\omega}=0\quad\rightarrow\quad\omega+\dfrac{1}{\omega}=-1$$
• $$\overline\omega^2+\overline\omega+1=0\quad\rightarrow\quad\overline\omega+1+\dfrac{1}{\overline\omega}=0\quad\rightarrow\quad\overline\omega+\dfrac{1}{\overline\omega}=-1$$

$$\omega+\dfrac{1}{\omega}=\overline\omega+\dfrac{1}{\overline\omega}=-1$$이고 $$\left(\omega+\dfrac{1}{\omega}\right)^2=\left(\overline\omega+\dfrac{1}{\overline\omega}\right)^2=1$$이므로

• $$\omega^2+2+\dfrac{1}{\omega^2}=1\quad\rightarrow\quad\omega^2+\dfrac{1}{\omega^2}=-1$$
• $$\overline\omega^2+2+\dfrac{1}{\overline\omega^2}=1\quad\rightarrow\quad\overline\omega^2+\dfrac{1}{\overline\omega^2}=-1$$

이차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여

• $$\omega+\overline\omega=-1$$
• $$\omega\overline\omega=1\quad\rightarrow\quad \omega=\dfrac{1}{\overline\omega}\quad\rightarrow\quad \overline\omega=\dfrac{1}{\omega}$$

한편, 삼차방정식의 근과 계수의 관계에 의하여도 같은 결론을 도출할 수 있다.

• $$1+\omega+\overline\omega=0\quad\rightarrow\quad\omega+\overline\omega=-1$$
• $$1\cdot\omega\overline\omega=-(-1)\quad\rightarrow\quad\omega\overline\omega=1$$

절댓값(복소평면에서의 원점과의 거리)은 다음과 같다.

• $$|\omega| = \sqrt{\{\Re(\omega)\}^2 + \{\Im(\omega)\}^2} =\sqrt{\left(-\dfrac12\right)^2+\biggl(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\biggr)^2} = \sqrt{\dfrac14 +\dfrac34} =1$$[3]

켤레복소수 $$\overline\omega$$는 $$\omega$$를 실수축에 대하여 대칭이동한 것이므로 $$|\omega|=|\overline\omega|$$이다. 부호 함수를 취할 경우 $${\rm sgn}(\omega) = \omega$$가 성립한다.
또한, $$\{1,\,\omega,\,\overline\omega\}$$은 복소평면에서 원점을 중심으로 정삼각형을 그리며[4], 한 변의 길이는 $$\sqrt3$$이다.

2.2. 활용

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위의 성질을 활용하여 $$\omega$$에 관한 다양한 식의 값을 묻는 문제가 나오며, 아래 열거된 예 외에도 무궁무진하게 식을 만들 수 있다.

• $$\omega^2+\overline\omega^2=(\omega+\overline\omega)^2-2\omega\overline\omega=(-1)^2-2\cdot 1=-1$$
• $$\dfrac{\omega^2}{1+\omega}+\dfrac{\overline\omega}{1+\overline\omega^2}=\dfrac{\omega^2}{-\omega^2}+\dfrac{\overline\omega}{-\overline\omega}=-2$$

$$\omega^3=1$$이므로 음이 아닌 정수 $$k$$에 대하여

• $$\omega=\omega^4=\omega^7=\cdots=\omega^{3k+1}$$
• $$\omega^2=\omega^5=\omega^8=\cdots=\omega^{3k+2}=\overline\omega$$
• $$\omega^3=\omega^6=\omega^9=\cdots=\omega^{3k}=1$$

이 성질을 이용하면 다음과 같은 식의 값을 빠르게 구할 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \sum_{j=0}^{100}\omega^j &=(1+\omega+\omega^2)+(\omega^3+\omega^4+\omega^5)+\cdots+(\omega^{96}+\omega^{97}+\omega^{98})+\omega^{99}+\omega^{100}\\&=0+0+\cdots+0+\omega^{99}+\omega^{100}\\&=\omega+1\end{aligned}$$

조금 더 일반적인 차원에서, 음이 아닌 정수 $$k$$에 대하여

$$\displaystyle\sum_{j=0}^n \omega^j=\begin{aligned}\begin{cases}1\quad&\textsf{if}\;n=3k\\\omega+1\quad&\textsf{if}\;n=3k+1\\0\quad&\textsf{if}\;n=3k+2\end{cases}\end{aligned}$$

3. x^3=-1

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$$x^3=-1$$인 경우도 $$x^3=1$$인 경우와 비슷하다. $$x^3+1=0$$의 꼴로 이항한 뒤 인수분해하면

$$x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)=0$$

[2] 바꿔 말하면, $$\omega$$의 편각 $$\arg \omega$$이 $$2\pi/3$$이라는 이야기이다.

[3] 위의 $$\omega\overline\omega=1$$의 성질을 이용하면 절댓값이 $$|\omega|= \sqrt{\omega\overline\omega}=1$$임은 자명하다.

[4] 드 무아브르 공식에 의한 자명한 결과이다.

이차방정식 $$x^2-x+1=0$$을 근의 공식으로 풀면 최종적인 근은 다음과 같다.

$$x=-1\;\textsf{or}\;x=\dfrac{1\pm \sqrt 3i}{2}$$

참고로 $$x^3=1$$의 한 허근을 $$\omega$$라고 할 때, $$-1, -\omega, -\omega^2$$ 이 $$x^3=-1$$의 근이 된다.

4. 예제

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단순히 방정식 $$x^3=\pm 1$$만을 언급하는 문제는 쉬운 편이며, 다음과 같은 문제들을 풀 줄 알아야 한다. $$\omega$$에 관한 문제는 허근 $$\omega$$의 값을 직접 구해서 풀어도 수학적으로는 옳지만, 시간이 너무 오래 걸릴뿐더러 교육학적 의의에 따른 출제자의 의도와 거리가 멀다. 이런 문제들은 $$\omega$$의 정확한 값을 알지 못해도 문제에서 묻는 $$\omega$$에 관한 식의 값 자체는 대수적으로 구할 수 있음을 깨닫게 하는 것을 목표로 삼기 때문이다.

'''[문제]''' 삼차방정식 $$x^3+3x^2+3x+2=0$$의 한 허근을 $$\omega$$라 할 때, $$1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{40}$$의 값을 구하시오.

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인수분해하면 $$(x+2)(x^2+x+1)=0$$, 실근은 $$x=-2$$이고 허근 $$\omega$$에 대하여 $$\omega^2+\omega+1=0$$이 성립한다.
양변에 $$(\omega-1)$$을 곱하면 $$\omega^3-1=0$$에서 $$\omega^3=1$$

$$\begin{aligned}\therefore 1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{60}&=(1+\omega+\omega^2)+(1+\omega+\omega^2)+\cdots+\omega^{60}\\&=0+0+\cdots+0+\omega^3=1\end{aligned}$$

$$\begin{aligned}\therefore 1+\omega+\omega^2+\cdots+\omega^{60}&=(1+\omega+\omega^2)+(1+\omega+\omega^2)+\cdots+\omega^{60}\\&=0+0+\cdots+0+\omega^3=1\end{aligned}$$}}} }}}

5. 여담

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• 고1 1학기 과정이므로 수능 범위에 들어가지 않으며, 1학년 모의고사나 학교 시험에서만 중요하게 다룬다.
• $$x^3=1$$의 한 허근 $$\omega$$와 두 정수 $$a$$, $$b$$에 대해서 $$a+b\omega$$ 형태로 정의되는 수 체계를 아이젠슈타인 정수라고 부른다. 이는 페르마의 마지막 정리와도 연결이 되는데, $$n = 3$$인 경우의 식 $$x^3 + y^3 = z^3$$을 $$\left(x + y\right)\left(x + \omega y\right)\left(x + {\omega}^2 y\right) = z^3$$으로 표현할 수 있기 때문이다.
• 다색 복소평면을 볼 때 1의 세제곱근을 익혀두면 도움이 많이 되는데, 색도를 3등분한 것이 RGB와 딱 맞아떨어지기 때문. 즉 $$x^3 = 1$$ 기준 $$1$$은 빨간색, $$\omega$$는 녹색, $$\overline\omega$$는 파란색으로 외워두면 복소함수의 함숫값이 띠는 편각을 쉽게 읽을 수 있다.