아인슈타인 방정식
Einstein Field Equation
일반 상대성 이론 문서 참고. 문서를 읽어보면 알겠지만, 아인슈타인은 등가원리 및 특수상대론의 가정, 일부 기존 이론의 확장 등 몇가지의 순수한 수학, 물리적 고찰만으로 이 방정식을 유도해냈다(!)
아인슈타인 방정식을 푼다는 것은, 위 방정식을 열심히 풀어서 $$g_{\mu\nu}$$, 즉 시공간에 대한 정보를 얻어내는 것이다. 아인슈타인 방정식 자체는 간단하게 한 줄로 표현되지만, 그 속에는 수많은 아인슈타인 축약과 각종 편미분 등이 들어가있으므로 해석적 해를 구하는 건 불가능에 가깝고,[1] 물리적으로 유의미한 조건들을 줘서 해를 찾아내고, 또 그런 해들이 일부 알려져 있다.
그리고, 여기서 얻어진 방정식의 해(즉, 계량 텐서)의 특징을 분석하면 그 시공간이 어떤 기하학적 구조를 가지고 있는지에 대한 정보를 이끌어낼 수 있다. 대표적인 예로 슈바르츠실트 해는 블랙홀의 특이점 등에 대한 정보를 주고, 역사적으로도 블랙홀의 이론적 예견 및 발견에 큰 영향을 끼쳤다.
아인슈타인이 방정식을 발표한 바로 다음 해인 1916년에 발표된 해로, 발견자의 이름을 따 슈바르츠실트 계량이라는 이름이 붙었다.[2] (민코프스키 계량과 같은 자명한 근을 제외하면) 아인슈타인 방정식의 첫 엄밀해라고 알려져 있다. 구대칭 형태의 물질(중력원)이 만들어내는 중력장을 기술하는 해로, 아래에서 설명하겠지만 이런저런 다양한 조건들을 줘서 방정식을 최대한 근사시켜서 얻어낸 결과지만, 블랙홀, 빛의 중력 적색편이, 중력 렌즈, 행성의 근일점의 세차운동 등 기존 뉴턴 중력이론으로 설명할 수 없었던 많은 사실들을 예견하고 검증받아서 역사적으로 굉장히 중요한 해 중 하나이다. 현대에도 (일부 보정항이 들어가긴 하지만) '''상대적으로 느리게 회전하는, 그리고 대전되지 않은 천체'''들의 거동을 파악할 때 유용하게 쓰이고 있다.[3]
뉴턴 중력이론에서 예측하는 자유낙하 속도와 일반상대성이론에서 r의 함수인 대각 계량텐서($$ g_{ij} = k_{i}(r) \delta_{ij}$$)에 대한 측지선 방정식의 해를 정규직교기저의 성분으로 나타내어 도출한 고전적 자유낙하 속도를 같도록 하여 슈바르츠실트 해를 구할 수 있다.
우선 진공 조건에서, 아인슈타인 방정식을 최대한 간단히 만들기 위해 다음과 같이 가정한다.
$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 0$$
4차원 시공간을 가정하고 있다는 점에 주의하면서($$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = \delta^{\mu}_{\mu} = 4$$), 축약을 하면
$$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R = R - 2R = 0 \Rightarrow R = R_{\mu\nu} = 0$$
즉, 아인슈타인 방정식은 $$R_{\mu\nu} = 0$$라는 간단한 꼴로 정리된다.
한편, 계량 텐서가 개략적으로 어떤 꼴을 가질지 예측해보자. 시공간은 구형 대칭이라는 걸 가정했으므로, 계량 텐서도 구면 좌표계에서의 좌표꼴 $$(r, \theta, \phi, t)$$에 대한 무언가의 함수로 보는 편이 타당하다. 또한, 시공간은 시간 불변이라는 조건에서, 시간 반전 변환$$(r, \theta, \phi, t) \rightarrow (r, \theta, \phi, -t)$$하에서도 계량 텐서는 불변이라는 사실도 알 수 있다. 여기서, 시간 반전 변환하에서 $$\frac{\partial x^{i}}{\partial t} (i = 1,2,3)$$의 부호가 바뀌지만,[4] 시간 반전하에서 시공간이 변하지 않으므로(= 계량 텐서가 변하지 않으므로) 이 값은 0이 되어야 함을 알 수 있다. 즉,
$$g_{\mu 4} = 0, \mu = 1,2,3$$
같은 논리를 구형 대칭 조건하에서 각 변수 $$r, \theta, \phi$$의 반전에 따라 적용하면, 다음과 같은 결론을 얻는다.
$$g_{\mu\nu} = 0, \mu \neq \nu$$
즉, 계량 텐서는 대각선 성분만 가지며,[5] 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ds^2 = g_{11}dr^2 + g_{22}d\theta^2 + g_{33}d\phi^2 + g_{44}dt^2 $$
여기서 구면대칭이라는 조건을 생각하면, $$dr^2, dt^2$$항에 관계되는 계량텐서 성분 $$g_{11}, g_{44}$$가 각각 $$r$$만의 함수가 되어야 된다. 즉,
$$g_{11} = \lambda(r), g_{44} = v(r)$$
로 둘 수 있다. 한편, 반경의 길이가 $$r$$인 구면 상에서의 기하는
$$dl^2 = r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)$$
로 나타내어진다는 점에서, $$g_{22}, g_{33}$$의 값이 바로 결정된다. 즉,
$$g_{22} = r^2, g_{33} = r^2\sin^2 \theta$$
여기까지 알아낸 계량 텐서의 개형을 행렬로 나타내면 다음과 같다.
$$g_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \lambda(r) \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && r^2 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && r^2\sin^2 \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && v(r) \end{array} \right) $$
시공간의 대칭성 조건만으로 이렇게까지 계량 텐서를 특정지을 수가 있었다. 이제 남은 일은 이 계량 텐서를 직접 아인슈타인 방정식에 넣어서 남은 $$\lambda, v$$의 값을 확정짓는 것뿐이다. 우선, 리치 텐서를 계산하기 위해 크리스토펠 기호를 계산한다. 크리스토펠 기호의 정의
$$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha})$$
에 따라 계량 텐서를 넣어서 계산하면, 크리스토펠 기호의 각성분은 다음과 같이 계산된다.
$$\Gamma^{1}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \lambda'/2\lambda \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && -r/\lambda \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -r\sin^2 \theta/\lambda \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && -v'/2\lambda \end{array} \right) $$
$$\Gamma^{2}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 1/r \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -\sin \theta \cos \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) $$
$$\Gamma^{3}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \\ 1/r \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) $$
$$\Gamma^{4}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && v'/2v \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ v'/2v \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) $$
여기서, 미분기호 '는 $$r$$에 대한 미분이다. 한편으로, 리치 텐서 $$R_{\mu\nu}$$와 크리스토펠 기호 $$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$$의 관계는 다음과 같다.
$$R_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu, \lambda} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda, \nu} + \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\Gamma^{\lambda}_{\lambda\rho} - \Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\rho}$$
아인슈타인 방정식 $$R_{\mu\nu} = 0$$에 위 관계식을 이용하여 아까 계산해뒀던 크리스토펠 기호 성분들을 전부 넣으면 다음과 같은 관계식이 도출된다.
$$4\lambda' v^2 - 2r\lambda v v'' + r \lambda' v v' + r \lambda v'{}^2 = 0 $$
$$r\lambda' v + 2\lambda^2 v - 2\lambda v - r\lambda v' = 0$$
$$-2r\lambda v v'' + r \lambda' v v' + r \lambda v'{}^2 - 4 \lambda v v' = 0$$
왠지 막장같아 보이는 식이지만, 첫 번째 식에서 세 번째 식을 빼면 다음과 같은 결과를 얻는다.
$$4v(\lambda' v + \lambda v') = 0 \Rightarrow \lambda' v + \lambda v' = 0 \Rightarrow \lambda v = const$$
여기서 $$\lambda v = C_{1}$$라고 두고, 이 결과를 두 번째 식에 대입하면, 놀랍게도 $$v$$를 소거할 수 있다. $$C_{1}$$값을 두 번째 식에 계산해서 잘 정리하면,
$$r\lambda' = \lambda(1-\lambda)$$
를 얻는다. 이 미분방정식은 일반해로
$$\lambda(r) = \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)^{-1}$$
을 갖는다. 여기서 $$C_{2}$$는 임의의 상수이다, 또한, $$\lambda v = C_{1}$$로부터,
$$v(r) = C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)$$
을 얻는다. 여태까지 계산한 결과를 종합하면, 계량 텐서는
$$ds^2 = \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 + C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right) dt^2 $$
로 나타낼 수 있다. 여기서 $$C_{1}, C_{2}$$의 구체적인 값은 아인슈타인 방정식 자체로는 구할 수 없고, 고전 이론으로의 근사(뉴턴 중력 이론)를 써서 구할 수밖에 없다.[6]
먼저, 중력원으로부터 충분히 먼 공간, 즉 $$r \rightarrow \infty$$일 때, 시공간은 중력장의 영향을 거의 받지 않아 거의 휘지 않는다고 생각할 수 있다. 즉, 중력원으로부터 충분히 먼 공간에선 이 계량은 '휘지 않은' 민코프스키 계량으로 근사할 수 있다고 말할 수 있다. 즉, $$r \rightarrow \infty$$면 $$C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right) dt^2 \rightarrow -c^2dt^2$$이므로,
$$C_{1} = -c^2$$
이다. 한편으로, 약한 중력장에서 뉴턴 중력이론으로 근사할 때
$$g_{44} \simeq 1 + \frac{2\Phi}{c^2} = 1 - \frac{2MG}{c^2r}$$
이라는 사실을 상기하면,
$$C_{2} = -\frac{c^2}{2GM}$$
라는 사실을 알 수 있다. 즉, 우리가 찾고자 했던 계량 텐서는
여기서 흔히 $$r_{s} = \frac{2GM}{c^2}$$를 정의해서,
$$ds^2 = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 -c^2 \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) dt^2 $$
라고 표기한다. 이때의 $$r_{s}$$를 '''슈바르츠실트 반경(Schwarzschild radius)'''이라고 하며, 이 값의 의미는 나중에 설명하겠다.
라이스너-노르드스트룀 해는 회전하지 않고, 대전된 구면기하상의 시공간을 기술하는 해이다. 슈바르츠실트 해와 더불어 굉장히 역사가 깊은 아인슈타인 방정식의 엄밀해 중 하나이다.
아래의 유도 과정에서는 위에서 설명한 슈바르츠실트 해의 유도과정 등을 일부 이용한다.
우선 민코프스키 계량을 생각하자. 구면좌표계에서의 민코프스키 계량의 행렬식 값은
$$g = g_{\mu}^{\mu} = g_{00}g_{\phi\phi}g_{\theta\theta}g_{tt} = -r^4 \sin^2 \theta$$
으로 나타내어진다. 여기서 약한 중력장 하에선 모든 계량이 민코프스키 계량에 근사한다는 점을 생각하면, 우리가 구하려고 하는 라이스너-노르드스트룀 해도 동일하게
$$g \simeq -r^4 \sin^2 \theta$$
로 나타낼 수 있다. 여기서 $$g_{\phi\phi}g_{\theta\theta}$$의 값이 $$r^4 \sin^2 \theta$$이므로,
$$g_{00} = -(g_{tt})^{-1}$$
로 둘 수 있다. 여기서 위에서 구한 슈바르츠실트 해의 개형과 비교해보면, 우리가 구하고자 하는 해는 슈바르츠실트 해의 조건에 '대전된 전하'라는 조건만 덧붙인 셈이므로, 이미 구한 슈바르츠실트 해에 전하량과 관련된 적당한 보정항을 넣어서 우리가 원하는 해에 근사시킬 수 있다.
이 보정항이 구체적으로 어떤 형태를 가지게 될지 생각해보자. 일단 거리 $$r$$과 전하량 $$q$$가 어떤 방식으로든 보정항에 들어가야 함은 자명하다. 여기서 슈바르츠실트 해의 경우를 생각해보자. 민코프스키 계량의 경우($$\eta_{00} = 1$$)와 비교해서 $$-\frac{2GM}{c^2 r}$$이라는 '보정항'이 들어갔다고 볼 수도 있으므로($$g_{00} = 1-\frac{2GM}{c^2 r}$$), 여기에 착안하면 전하량에 관련된 보정항에도 광속 $$c$$와 중력상수 $$G$$가 들어가야 될 것 같다. 즉, 이 보정항을 식으로 정리하면,
$$g_{compliment} = kq^{n}r^{m}c^{p}G^{s}$$
의 형태를 띠게 됨을 알 수 있다. 여기서 $$k$$는 적당한 비례상수이고, $$n,m,p,s$$는 적당한 비례 지수이다. 이 보정항을 $$g_{00}$$에 추가하면, 우리가 찾고자 하는 계량은
$$g_{00} = 1 - \frac{2GM}{c^2 r} + kq^{n}r^{m}c^{p}G^{s}$$
이 될 것이다. 대충 적당한 조건을 덧붙여서 급조해낸 것 같아 보이는 해이지만, 놀랍게도 이 해의 형태는 단순한 근사값이 아니라 아래서 정량적으로 구하는 해와 형태가 정확히 일치한다. 여기서 몇가지 정성적인 추론을 해보자.
$$g_{tt} = A(r), g_{rr} = B(r), g_{\theta\theta} = r^2, g_{\phi\phi} = r^2 sin^2{\theta}$$
로 놓는다. 이들을 이용하면 크리스토펠 기호, 리만 텐서, 리치 텐서, 스칼라 곡률, 아인슈타인 텐서를 A(r), B(r)과 그 고계도함수의 조합으로 나타낼 수 있다. 이들을 정규직교기저를 이용하여 $$g_{ij} = \eta_{ij}$$인 기저 $$e_{i}$$에 대한 성분들로 나타내어 아인슈타인 방정식의 좌변을 완성한다. 정규직교기저에 대한 에너지-운동량-스트레스 텐서의 성분은 일반적인 평평 공간에서 관측한 에너지 밀도, 운동량 밀도, 스트레스 텐서와 같다. r = 0 에 위치한 전하 Q에 대한 평평 공간의 에너지 밀도 등은 맥스웰 방정식에서 쉽게 도출할 수 있으므로, 이들을 대입하여 아인슈타인 방정식의 우변을 구성하여 앞에서 구한 좌변과 연결하여 A(r), B(r) 에 대한 미분방정식을 풀면 라이스너-노르드스트룀 해를 구할 수 있다.
1. 개요
알베르트 아인슈타인이 1915년에 발표한 방정식으로, 일반 상대론의 근간을 이루는 방정식이다. 방정식의 좌변은 시공간의 기하학적 정보, 즉 시공간이 얼마나 휘어져있나를 나타내고, 우변은 물질(에너지)의 분포를 나타낸다. 즉 직관적으로, 아인슈타인 방정식은 물질(에너지)의 분포가 시공간의 휨에 어떻게, 얼마나 영향을 끼치는가를 나타낸다.$$\displaystyle R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}, G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R$$
기하학적 양: $$R_{\mu\nu}$$ = 리치 텐서, $$R$$ = 스칼라 곡률, $$g_{\mu\nu}$$ = 계량 텐서, $$G_{\mu\nu}$$ = 아인슈타인 텐서,
물리학적 양: $$\Lambda$$ = 우주 상수, $$T_{\mu\nu}$$ = 에너지-스트레스 텐서, $$G$$ = 중력 상수
2. 유도 과정
일반 상대성 이론 문서 참고. 문서를 읽어보면 알겠지만, 아인슈타인은 등가원리 및 특수상대론의 가정, 일부 기존 이론의 확장 등 몇가지의 순수한 수학, 물리적 고찰만으로 이 방정식을 유도해냈다(!)
3. 특수해
아인슈타인 방정식을 푼다는 것은, 위 방정식을 열심히 풀어서 $$g_{\mu\nu}$$, 즉 시공간에 대한 정보를 얻어내는 것이다. 아인슈타인 방정식 자체는 간단하게 한 줄로 표현되지만, 그 속에는 수많은 아인슈타인 축약과 각종 편미분 등이 들어가있으므로 해석적 해를 구하는 건 불가능에 가깝고,[1] 물리적으로 유의미한 조건들을 줘서 해를 찾아내고, 또 그런 해들이 일부 알려져 있다.
그리고, 여기서 얻어진 방정식의 해(즉, 계량 텐서)의 특징을 분석하면 그 시공간이 어떤 기하학적 구조를 가지고 있는지에 대한 정보를 이끌어낼 수 있다. 대표적인 예로 슈바르츠실트 해는 블랙홀의 특이점 등에 대한 정보를 주고, 역사적으로도 블랙홀의 이론적 예견 및 발견에 큰 영향을 끼쳤다.
3.1. 슈바르츠실트 해(Schwarzschild metric)
아인슈타인이 방정식을 발표한 바로 다음 해인 1916년에 발표된 해로, 발견자의 이름을 따 슈바르츠실트 계량이라는 이름이 붙었다.[2] (민코프스키 계량과 같은 자명한 근을 제외하면) 아인슈타인 방정식의 첫 엄밀해라고 알려져 있다. 구대칭 형태의 물질(중력원)이 만들어내는 중력장을 기술하는 해로, 아래에서 설명하겠지만 이런저런 다양한 조건들을 줘서 방정식을 최대한 근사시켜서 얻어낸 결과지만, 블랙홀, 빛의 중력 적색편이, 중력 렌즈, 행성의 근일점의 세차운동 등 기존 뉴턴 중력이론으로 설명할 수 없었던 많은 사실들을 예견하고 검증받아서 역사적으로 굉장히 중요한 해 중 하나이다. 현대에도 (일부 보정항이 들어가긴 하지만) '''상대적으로 느리게 회전하는, 그리고 대전되지 않은 천체'''들의 거동을 파악할 때 유용하게 쓰이고 있다.[3]
3.1.1. 슈바르츠실트 해의 유도
3.1.1.1. 추측
뉴턴 중력이론에서 예측하는 자유낙하 속도와 일반상대성이론에서 r의 함수인 대각 계량텐서($$ g_{ij} = k_{i}(r) \delta_{ij}$$)에 대한 측지선 방정식의 해를 정규직교기저의 성분으로 나타내어 도출한 고전적 자유낙하 속도를 같도록 하여 슈바르츠실트 해를 구할 수 있다.
3.1.1.2. 정확한 풀이
우선 진공 조건에서, 아인슈타인 방정식을 최대한 간단히 만들기 위해 다음과 같이 가정한다.
- 시공간은 구형으로 대칭이다. 즉 시공간을 회전하거나, 좌우반전을 해도 변함이 없다.
- 시공간은 시간에 따라 변하지 않는다. 즉, 계량의 모든 성분들이 시간에 의존하지 않는다.
- 진공 상태를 가정한다. 즉, 에너지-스트레스 텐서를 0으로 둔다.
- 우주 상수항은 0으로 가정한다.
$$R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g_{\mu\nu}R = 0$$
4차원 시공간을 가정하고 있다는 점에 주의하면서($$g^{\mu\nu}g_{\mu\nu} = \delta^{\mu}_{\mu} = 4$$), 축약을 하면
$$g^{\mu\nu}R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}g^{\mu\nu}g_{\mu\nu}R = R - 2R = 0 \Rightarrow R = R_{\mu\nu} = 0$$
즉, 아인슈타인 방정식은 $$R_{\mu\nu} = 0$$라는 간단한 꼴로 정리된다.
한편, 계량 텐서가 개략적으로 어떤 꼴을 가질지 예측해보자. 시공간은 구형 대칭이라는 걸 가정했으므로, 계량 텐서도 구면 좌표계에서의 좌표꼴 $$(r, \theta, \phi, t)$$에 대한 무언가의 함수로 보는 편이 타당하다. 또한, 시공간은 시간 불변이라는 조건에서, 시간 반전 변환$$(r, \theta, \phi, t) \rightarrow (r, \theta, \phi, -t)$$하에서도 계량 텐서는 불변이라는 사실도 알 수 있다. 여기서, 시간 반전 변환하에서 $$\frac{\partial x^{i}}{\partial t} (i = 1,2,3)$$의 부호가 바뀌지만,[4] 시간 반전하에서 시공간이 변하지 않으므로(= 계량 텐서가 변하지 않으므로) 이 값은 0이 되어야 함을 알 수 있다. 즉,
$$g_{\mu 4} = 0, \mu = 1,2,3$$
같은 논리를 구형 대칭 조건하에서 각 변수 $$r, \theta, \phi$$의 반전에 따라 적용하면, 다음과 같은 결론을 얻는다.
$$g_{\mu\nu} = 0, \mu \neq \nu$$
즉, 계량 텐서는 대각선 성분만 가지며,[5] 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ds^2 = g_{11}dr^2 + g_{22}d\theta^2 + g_{33}d\phi^2 + g_{44}dt^2 $$
여기서 구면대칭이라는 조건을 생각하면, $$dr^2, dt^2$$항에 관계되는 계량텐서 성분 $$g_{11}, g_{44}$$가 각각 $$r$$만의 함수가 되어야 된다. 즉,
$$g_{11} = \lambda(r), g_{44} = v(r)$$
로 둘 수 있다. 한편, 반경의 길이가 $$r$$인 구면 상에서의 기하는
$$dl^2 = r^2(d\theta^2 + \sin^2 \theta d\phi^2)$$
로 나타내어진다는 점에서, $$g_{22}, g_{33}$$의 값이 바로 결정된다. 즉,
$$g_{22} = r^2, g_{33} = r^2\sin^2 \theta$$
여기까지 알아낸 계량 텐서의 개형을 행렬로 나타내면 다음과 같다.
$$g_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \lambda(r) \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && r^2 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && r^2\sin^2 \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && v(r) \end{array} \right) $$
시공간의 대칭성 조건만으로 이렇게까지 계량 텐서를 특정지을 수가 있었다. 이제 남은 일은 이 계량 텐서를 직접 아인슈타인 방정식에 넣어서 남은 $$\lambda, v$$의 값을 확정짓는 것뿐이다. 우선, 리치 텐서를 계산하기 위해 크리스토펠 기호를 계산한다. 크리스토펠 기호의 정의
$$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda\alpha}(g_{\nu\alpha, \mu} + g_{\mu\alpha, \nu} - g_{\mu\nu, \alpha})$$
에 따라 계량 텐서를 넣어서 계산하면, 크리스토펠 기호의 각성분은 다음과 같이 계산된다.
$$\Gamma^{1}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \lambda'/2\lambda \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && -r/\lambda \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -r\sin^2 \theta/\lambda \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && -v'/2\lambda \end{array} \right) $$
$$\Gamma^{2}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 1/r \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && -\sin \theta \cos \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) $$
$$\Gamma^{3}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 1/r \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \\ 1/r \;\; && \cot \theta \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) $$
$$\Gamma^{4}_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && v'/2v \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ v'/2v \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \end{array} \right) $$
여기서, 미분기호 '는 $$r$$에 대한 미분이다. 한편으로, 리치 텐서 $$R_{\mu\nu}$$와 크리스토펠 기호 $$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}$$의 관계는 다음과 같다.
$$R_{\mu\nu} = \Gamma^{\lambda}_{\mu\nu, \lambda} - \Gamma^{\lambda}_{\mu\lambda, \nu} + \Gamma^{\rho}_{\mu\nu}\Gamma^{\lambda}_{\lambda\rho} - \Gamma^{\rho}_{\mu\lambda}\Gamma^{\lambda}_{\nu\rho}$$
아인슈타인 방정식 $$R_{\mu\nu} = 0$$에 위 관계식을 이용하여 아까 계산해뒀던 크리스토펠 기호 성분들을 전부 넣으면 다음과 같은 관계식이 도출된다.
$$4\lambda' v^2 - 2r\lambda v v'' + r \lambda' v v' + r \lambda v'{}^2 = 0 $$
$$r\lambda' v + 2\lambda^2 v - 2\lambda v - r\lambda v' = 0$$
$$-2r\lambda v v'' + r \lambda' v v' + r \lambda v'{}^2 - 4 \lambda v v' = 0$$
왠지 막장같아 보이는 식이지만, 첫 번째 식에서 세 번째 식을 빼면 다음과 같은 결과를 얻는다.
$$4v(\lambda' v + \lambda v') = 0 \Rightarrow \lambda' v + \lambda v' = 0 \Rightarrow \lambda v = const$$
여기서 $$\lambda v = C_{1}$$라고 두고, 이 결과를 두 번째 식에 대입하면, 놀랍게도 $$v$$를 소거할 수 있다. $$C_{1}$$값을 두 번째 식에 계산해서 잘 정리하면,
$$r\lambda' = \lambda(1-\lambda)$$
를 얻는다. 이 미분방정식은 일반해로
$$\lambda(r) = \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)^{-1}$$
을 갖는다. 여기서 $$C_{2}$$는 임의의 상수이다, 또한, $$\lambda v = C_{1}$$로부터,
$$v(r) = C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)$$
을 얻는다. 여태까지 계산한 결과를 종합하면, 계량 텐서는
$$ds^2 = \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 + C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right) dt^2 $$
로 나타낼 수 있다. 여기서 $$C_{1}, C_{2}$$의 구체적인 값은 아인슈타인 방정식 자체로는 구할 수 없고, 고전 이론으로의 근사(뉴턴 중력 이론)를 써서 구할 수밖에 없다.[6]
먼저, 중력원으로부터 충분히 먼 공간, 즉 $$r \rightarrow \infty$$일 때, 시공간은 중력장의 영향을 거의 받지 않아 거의 휘지 않는다고 생각할 수 있다. 즉, 중력원으로부터 충분히 먼 공간에선 이 계량은 '휘지 않은' 민코프스키 계량으로 근사할 수 있다고 말할 수 있다. 즉, $$r \rightarrow \infty$$면 $$C_{1} \left( 1 + \frac{1}{C_{2}r} \right) dt^2 \rightarrow -c^2dt^2$$이므로,
$$C_{1} = -c^2$$
이다. 한편으로, 약한 중력장에서 뉴턴 중력이론으로 근사할 때
$$g_{44} \simeq 1 + \frac{2\Phi}{c^2} = 1 - \frac{2MG}{c^2r}$$
이라는 사실을 상기하면,
$$C_{2} = -\frac{c^2}{2GM}$$
라는 사실을 알 수 있다. 즉, 우리가 찾고자 했던 계량 텐서는
$$ds^2 = \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 -c^2 \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) dt^2 $$
임을 알 수 있고, 이렇게 구한 계량을 '''슈바르츠실트 계량(Schwarzschild metric)'''이라고 한다.$$g_{\mu\nu} = \left( \begin{array}{rrrr} \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right)^{-1} \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && r^2 \;\; && 0 \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && r^2\sin^2 \theta \;\; && 0 \\ 0 \;\; && 0 \;\; && 0 \;\; && \left( 1 - \frac{2GM}{c^2 r} \right) \end{array} \right) $$
여기서 흔히 $$r_{s} = \frac{2GM}{c^2}$$를 정의해서,
$$ds^2 = \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\theta^2 + r^2 \sin^2 \theta d\phi^2 -c^2 \left( 1 - \frac{r_{s}}{r} \right) dt^2 $$
라고 표기한다. 이때의 $$r_{s}$$를 '''슈바르츠실트 반경(Schwarzschild radius)'''이라고 하며, 이 값의 의미는 나중에 설명하겠다.
3.1.2. 슈바르츠실트 해와 블랙홀
3.2. 라이스너-노르드스트룀 해(Reissner–Nordström metric)
라이스너-노르드스트룀 해는 회전하지 않고, 대전된 구면기하상의 시공간을 기술하는 해이다. 슈바르츠실트 해와 더불어 굉장히 역사가 깊은 아인슈타인 방정식의 엄밀해 중 하나이다.
3.2.1. 라이스너-노르드스트룀 해의 유도
아래의 유도 과정에서는 위에서 설명한 슈바르츠실트 해의 유도과정 등을 일부 이용한다.
3.2.1.1. 추측
우선 민코프스키 계량을 생각하자. 구면좌표계에서의 민코프스키 계량의 행렬식 값은
$$g = g_{\mu}^{\mu} = g_{00}g_{\phi\phi}g_{\theta\theta}g_{tt} = -r^4 \sin^2 \theta$$
으로 나타내어진다. 여기서 약한 중력장 하에선 모든 계량이 민코프스키 계량에 근사한다는 점을 생각하면, 우리가 구하려고 하는 라이스너-노르드스트룀 해도 동일하게
$$g \simeq -r^4 \sin^2 \theta$$
로 나타낼 수 있다. 여기서 $$g_{\phi\phi}g_{\theta\theta}$$의 값이 $$r^4 \sin^2 \theta$$이므로,
$$g_{00} = -(g_{tt})^{-1}$$
로 둘 수 있다. 여기서 위에서 구한 슈바르츠실트 해의 개형과 비교해보면, 우리가 구하고자 하는 해는 슈바르츠실트 해의 조건에 '대전된 전하'라는 조건만 덧붙인 셈이므로, 이미 구한 슈바르츠실트 해에 전하량과 관련된 적당한 보정항을 넣어서 우리가 원하는 해에 근사시킬 수 있다.
이 보정항이 구체적으로 어떤 형태를 가지게 될지 생각해보자. 일단 거리 $$r$$과 전하량 $$q$$가 어떤 방식으로든 보정항에 들어가야 함은 자명하다. 여기서 슈바르츠실트 해의 경우를 생각해보자. 민코프스키 계량의 경우($$\eta_{00} = 1$$)와 비교해서 $$-\frac{2GM}{c^2 r}$$이라는 '보정항'이 들어갔다고 볼 수도 있으므로($$g_{00} = 1-\frac{2GM}{c^2 r}$$), 여기에 착안하면 전하량에 관련된 보정항에도 광속 $$c$$와 중력상수 $$G$$가 들어가야 될 것 같다. 즉, 이 보정항을 식으로 정리하면,
$$g_{compliment} = kq^{n}r^{m}c^{p}G^{s}$$
의 형태를 띠게 됨을 알 수 있다. 여기서 $$k$$는 적당한 비례상수이고, $$n,m,p,s$$는 적당한 비례 지수이다. 이 보정항을 $$g_{00}$$에 추가하면, 우리가 찾고자 하는 계량은
$$g_{00} = 1 - \frac{2GM}{c^2 r} + kq^{n}r^{m}c^{p}G^{s}$$
이 될 것이다. 대충 적당한 조건을 덧붙여서 급조해낸 것 같아 보이는 해이지만, 놀랍게도 이 해의 형태는 단순한 근사값이 아니라 아래서 정량적으로 구하는 해와 형태가 정확히 일치한다. 여기서 몇가지 정성적인 추론을 해보자.
- 전하량은 질량과 다르게 음의 값을 가질 수 있다. 하지만 전하량의 부호를 반전시킨다고 보정항의 부호가 바뀔 리는 없으므로(= 전하의 극성에 따라 시공간의 휨 정도가 바뀔 리는 없으므로), $$n$$은 짝수여야 한다.
- 전하량이 커지면 커질수록 시공간에 주는 영향이 커져야 한다. 바꿔 말하면, 보정항의 값이 커지면 커질수록 계량의 값 자체도 커져야 된다. 즉, k의 값은 양수이다.
3.2.1.2. 정확한 풀이
$$g_{tt} = A(r), g_{rr} = B(r), g_{\theta\theta} = r^2, g_{\phi\phi} = r^2 sin^2{\theta}$$
로 놓는다. 이들을 이용하면 크리스토펠 기호, 리만 텐서, 리치 텐서, 스칼라 곡률, 아인슈타인 텐서를 A(r), B(r)과 그 고계도함수의 조합으로 나타낼 수 있다. 이들을 정규직교기저를 이용하여 $$g_{ij} = \eta_{ij}$$인 기저 $$e_{i}$$에 대한 성분들로 나타내어 아인슈타인 방정식의 좌변을 완성한다. 정규직교기저에 대한 에너지-운동량-스트레스 텐서의 성분은 일반적인 평평 공간에서 관측한 에너지 밀도, 운동량 밀도, 스트레스 텐서와 같다. r = 0 에 위치한 전하 Q에 대한 평평 공간의 에너지 밀도 등은 맥스웰 방정식에서 쉽게 도출할 수 있으므로, 이들을 대입하여 아인슈타인 방정식의 우변을 구성하여 앞에서 구한 좌변과 연결하여 A(r), B(r) 에 대한 미분방정식을 풀면 라이스너-노르드스트룀 해를 구할 수 있다.
[1] 아인슈타인 방정식을 풀어해치면 10개(머리를 좀 쓰면 6개)의 연립 비선형(...) 편미분방정식(.....)이 나온다. 슈뢰딩거 방정식과 같은 '''선형''' 편미분방정식도 각종 변수분리, 경계조건 등 열심히 조작을 해줘야 극히 일부의 모델들에 대해 해석적인 해를 구할 수 있다는 걸 생각하면...[2] 여담으로, 슈바르츠실트는 이 해를 발견한 후 몇 개월 지나지 않아 제1차 세계 대전 중에 전사했다고 한다.[3] 이 덕분에 슈바르츠실트 방정식에 의해 유도되는 블랙홀은 슈바르츠실트 블랙홀이라고 불리게 된 계기가 된다. 슈바르츠실트 블랙홀은 매우 낮은 전하량과, 매우 낮은 각속도량을 지닌 블랙홀로 '''전체적인 규모와 비교할 경우''' 각속도량과 전하량이 0에 근사되는 블랙홀을 의미한다. 만약 각속도량이 유의미한 수준이라면 커-블랙홀이라 불리며, 전하량이 유의미하다면 라이스너-노드스톰 블랙홀, 둘 다 유의미하다면 커-뉴먼 블랙홀이라는 별도 분류로 분리되게 된다. 자세한 건 블랙홀 참조.[4] $$\frac{\partial x^{i}}{\partial t} \rightarrow \frac{\partial x^{i}}{\partial (-t)}$$라고 생각해보자.[5] 어떻게 보면 특정 좌표계에서 '대칭성'이라는 조건을 줘서 얻게 되는 당연한 결과라고 볼 수도 있다. 다만 일반적으로 특정 좌표계에서 대칭성이 깨지는 경우는 대각성분이 아닌데도 계량이 0이 아닐 수도 있는데, 대표적인 예는 회전하는 블랙홀을 기술하는 '커 계량(Kerr metric)'이다.[6] 물론 이는 순전히 수학적 모델을 현실 세계의 현상과 연관짓기 위한 작업이다. 본질적으로는 이 시점에서 아인슈타인 방정식을 푼 거나 다름없다.