일반 상대성 이론
1. 설명
Allgemeine Relativitätstheorie / General theory of Relativity
一般相對性理論
특수 상대성 이론은 서로 등속 직선 운동하는 계(system)에만 적용할 수 있다. 더욱 일반적인 상대적 운동을 가진 관측계에서의 기술을 위하여, 중력이라는 개념을 재해석한 것이 일반 상대성 이론이다. 일반 상대성 이론의 결론은 다음과 같이 대략 요약할 수 있다.
- 중력과 관성력은 본질적으로 같은 힘이다.[1]
- 중력과 관성력은 기하 구조(metric field)에 의해 매개된다. 다시 말해서, 세상에 기하학적 구조가 있는 이유, 모든 물체가 관성을 가지는 이유 (관성의 법칙), 그리고 모든 물체가 서로 잡아 당기는 이유(만유 인력의 법칙), 이 세가지의 현상을 통일한다. 뉴턴 물리학에서 완전히 독립적인 세가지의 공리로 주어진 것들을 하나의 공리로 묶었다. [2]
- 물체가 느끼는, 두 시각 사이에 흘러간 시간의 '총량'은 중력장과 물체 사이의 상호작용에 의해 결정되며, 따라서 공간의 각 부분마다 시간은 다르게 흘러간다. [3]
참고로, 시간 지연은 단순히 운동계의 시간이 더 느리게 간다는 의미를 가지고 있다. 따라서 뒤에 나오는 쌍둥이의 패러독스와는 의미가 전혀 다르다. 쌍둥이의 패러독스는 단순히 쌍둥이 둘 중 하나가 늙는다는 것이 아니다.[4][5]
질량이 큰 물체는 큰 중력이 있고 주변 공간은 휘어진다.[6] 이를 쉽게 이해하는 방법은 철로를 따라 달리는 기차를 생각하면 된다. 기차 자체는 그냥 직진만 할 뿐이다. 철로를 따라 그냥 직진을 해도 철로가 휘어져 있으면 결국 철로의 휘어진 길을 따라 이동하기때문에 멀리서 보면 마치 기차 스스로 핸들을 움직이는 것처럼 보인다. 빛도 마찬가지로 빛 스스로는 그냥 직진만 할 뿐이지만, 빛이 이동하는 공간이 휘어져있을 경우 그 공간을 따라 이동하는 빛은 멀리서 보면 빛이 휘어지는 것처럼 보인다. 아인슈타인이 이러한 주장을 한 후 나중에 빛이 중력을 가진 물체 옆에서 휘어지는 것이 증명되었다. 사실 빛까지 갈 필요도 없이 지구 주변을 공전하고 있는 달이나 인공위성들도 지구 주변의 휘어진 공간을 따라 계속 직진하고 있는 것이다. 지구의 엄청난 질량은 이미 달이 지구 주변의 휘어진 공간을 따라 계속 빙글빙글 돌게 만들고 있는 것이다. 태양을 공전하고 있는 지구도 태양에 의해 휘어진 공간을 이동하고 있는건 매한가지. 빛은 속도가 워낙 빠르기 때문에 이 휘어짐이 쉽게 측정되지 않는 것 뿐이다. 블랙홀 주변에서는 실제로 빛이 빛의 속도로 블랙홀 주변을 공전한다. 마치 인공위성처럼. 이 공간의 휘어짐을 다른 말로 바꾼게 중력이다. 우리가 지구 표면에 붙들려 있는 것도 결국 지구 주변의 공간이 휘어져 있기 때문인 것이다.
이종필 박사의 일반 상대성이론 오디오 강의 上
이종필 박사의 일반 상대성이론 오디오 강의 下
이종필 박사의 일반인을 위한 일반상대성 이론 강의[7]
2. 이론의 실험적 검증
아인슈타인은 특수상대론에 이어 '관성 기준틀뿐만 아니라 가속하는 모든 기준틀에서 성립'하는 이론을 정립하고자 하였다. 일반 상대성 이론의 기본 원리가 되는 등가원리를 기반으로 중력장을 기하학의 관점에서 재해석하게 된다.
2.1. 개기일식
아서 스탠리 에딩턴은 일반 상대성 이론에 의한 효과로 빛이 휘어짐을 보이기 위해 개기일식을 관측, 촬영하였다. 1919년 5월 29일에 행해졌다.
한 섬에 일식을 관찰하러 가서 같은 장소에 밤에 사진 한 장 찍고, 다음 날 일식이 일어날 때 사진을 찍었다. 두 사진에 태양 주위에 별의 위치가 다르다면 빛이 중력에 의해 휜다는 상대성이론이 증명되는 셈, 당시 기상이 나빠서 실험이 실패할 뻔했으나, 단 한 장의 사진이 무사히 찍혀서 실험에 성공했다고 한다.[8]
2.2. 중력파
중력파란 중력이 변화하면서 발생하는 파동 형태의 시공간 요동을 말한다. 아인슈타인 장방정식에서 도출되는 현상 중 하나로 이론이 발표될때부터 예측되었으나 실제로 관측되기는 너무나 어려울것으로 봤었다. 사실 일반적인 천체에서 나오는 중력파는 매우 매우 약하다. 수많은 물리학자들이 관측에 도전했으나 100여년 간 중성자별 사이의 상호작용 등 간접적인 발견에 머무른 상태였었다.
그러나, 2016년 2월 11일 오전 10시 30분[9]에 레이저 간섭계 중력파 관측소(LIGO) 연구진이 중력파를 직접 탐지하는 데 성공했다고 발표하였다. 이로써 100년 전 아인슈타인이 주장했던 이론이 사실로 밝혀진 것이다.연합뉴스 3보
2.3. 갈릴레오 프로젝트
실험을 다룬 Veritasium의 동영상
GPS 항목에서 언급하듯 일반 상대성 이론에 따라 GPS를 구성하는 위성들은 일반 상대성 이론에 따라 시간 오차가 나지 않게 하기 위해 추진기로 고도를 조절하여 위성에 작용하는 중력이 일정하게 하고, 이는 인공위성의 수명과 직결된다. 따라서, 역으로 말하면 위성이 공전함에 따라 고도가 바뀌면 시간이 흐르는 속도가 달라진다는 뜻인데, 이를 실증적으로 실험한 적은 없었다.
하지만, 유럽판 GPS인 GNSS를 구성하는 갈릴레오 프로젝트를 구성하는 위성 두 개가 발사를 실패하면서 하나는 대기권으로 재돌입하였으나, 하나는 최고점과 최저점의 고도가 9000km나 차이나는 타원 궤도를 돌게 되었고, 후자 위성에 장착된 시계를 읽으면서 시간의 흐름을 관찰한 결과, 시간이 다르게 흘렀음을 관찰할 수 있었고, 일반 상대성 이론을 재검증하는 결과가 나왔다. 9000km나 되는 고도 차이를 만들기 어려운 지구상에서 관찰할 수 있는 가장 정밀한 일반 상대성 이론 검증 실험이다.
2.4. 블랙홀
블랙홀은 일반상대론에서 예측하는 가장 극단적인 물체중 하나이다. 그러나 기본적으로 빛조차 빠져나오지 못하기 때문에 직접 관측은 거의 불가능했고, 간접적으로 존재만 알고 있었다.
하지만 2019년 4월 10일 EHT(Event Horizon Telescope, 사건의 지평선 망원경) 팀이 블랙홀의 실제 화상을 공개하고, 그 결과가 일반상대론과 잘 일치한다는 점을 들어 다시 한 번 일반상대론의 건재함을 증명하였다.
3. 핵심요약
특수 상대성 이론은 아인슈타인의 골머리를 앓게 한 몇 가지 문제를 가지고 있었다.
- 자와 시계의 문제.
- 관성계의 우월함.
- 태양계 자체의 운동이나 지구의 공전, 자전을 고려해봤을 때, 인간이 경험하고 있는 자연은 관성계에서의 기술이 아니다. 그럼에도 불구하고, 인간은 물리학을 세울 수 있었고 법칙을 알아낼 수 있었다. 이런 경험적인 고찰과 더불어 자연이 어느 특수한 관측계를 선호해야 할, 또는 그렇게 보아야 할 충분한 이유가 없다 [10]. 따라서 물리 법칙은 가속하는 관측계에서도 똑같이 기술되어야 한다.
- 그런데 위의 '자와 시계 문제'와 결부시켜 생각해보면 상황은 매우 복잡해진다. 가속되는 자(ruler)의 원자 배열이 힘(특히, 전자기력)을 받지 않는 자(ruler)의 원자 배열과 다를 것이고 얼마나 다른지 쉽게 기술할 수 없다. 왜냐하면 외부에서 자를 이루는 원자에게 가하는 전자기장의 크기가 제각각이기 때문이다 (반면, 관성계는 모두 0임을 전제). 즉, 가속되는 자의 거시적 거동은 단순히 좌표 변환 규칙으로 표현될 수 없고 동역학 법칙을 표현하는 미분방정식을 풀어서 그 해를 구해야 하는 문제인 것이다.
- 따라서 가속계를 포섭하기 위해서는 '자와 시계로 재는 좌표'를 포기하고 수학적으로 추상적인 좌표를 도입해야 한다 (또한 1번 문제도 자연스럽게 해결된다). 이 수학적으로 추상적인 좌표는 물리적인 의미를 전혀 가지지 않으므로 모든 물리 법칙은, 이런 좌표 의미에서, 수학적으로 가능한 모든 좌표계에서 동일하게 기술되어야 한다. 어렵게 말하면 물리법칙은 일반적인 좌표 공변성(General covariance)을 가져야 한다.
- 동시성의 문제.
- 이미 당대 저명한 수학자 앙리 푸앵카레가 언급한 바와 같이 공간적으로 떨어진 두 사건 사이의 시간적 순서는 물리적으로 본질적인 의미를 가지지 않음[11]을 아인슈타인은 이해하고 있었다. 특수 상대성 이론에서는 공간적으로 떨어져 있지만 서로에 대하여 정지한 시계들 사이에 빛 신호를 기준으로 '동시'를 규약했었다. 아인슈타인은 다름이 아니라 하필 빛을 기준으로 동시를 규약해야 할 충분한 이유가 없음을 알고 있었고, 동시란 개념을 완전히 없애려고 했다. 따라서 뉴턴 중력의 즉각적인 전파는 그의 이론에서 허용되지 않는 것이었다. 즉, 중력 역시 전자기장처럼 시공간상에 분포되어있는 장(field)으로 표현되어야 했다.
리만 기하학을 이해하려면 기하학에 대한 근본적인 관념들이 수정되어야 하는데, 미적분과 내적이 그것이다. 그런데 좌표 변환이 일반적인 좌표 변환으로 확장되는 것과 그에 맞추어 미적분과 내적이 수정되는 걸 보면 사실 그 형태가 '''미분 기하학''', 특히 '''리만 기하학'''[13]에서 연구된 것과 유사하다는 것을 알 수 있다. 여기에서 휘어진 시공간이 도입될 틈이 생긴 것이다.
한편 '''등가 원리'''의 요지는 중력과 가속도는 구분이 안 된다는 것이다.[14] 이 말을 더 자세히 하자면 자유 낙하하는 관찰자의 좌표계는 관성 좌표계와 같다는 것이다. 예를 들어 자유 낙하하는 엘리베이터 안에 있는 사람은 자신이 떨어지고 있는 것인지 아니면 우주 공간에 둥둥 떠 있는 것인지 알 수가 없다. 조석력 등 몇 가지 문제가 있는데, 이런 문제는 각 점마다 매우 좁은 영역에서 근사적으로 이런 등가 원리가 성립한다는 식으로 설명할 수 있다. 더 정확하게는 '''시공간의 모든 지점에서 적당한 좌표 변환에 의하여 국소적으로 비-중력 물리법칙이 특수상대성이론의 형태를 가지게 할 수 있다'''는 사실이다. 이 설명에서 중력이 슬그머니 빠졌다는 것을 기억하자. 이 등가원리의 역할[15]이 뭐냐면 천문학적으로 충분히 작은 영역에서 우리가 이미 알고 있는 물리학의 법칙들이 특수 상대성 이론의 형태를 가지는 근거를 마련하는 것이다.
이렇게 로렌츠 변환에서 불변이던 물리 법칙을 리만 기하학의 언어를 동원해 일반적인 좌표 변환에서도 불변이도록 바꾸면 희한한 일이 벌어진다. 이런 상황에서 벡터들 간의 내적은 보다 일반적인 내적으로 수정이 되어야 한다. 식으로는 다음과 같이 주어진다.
여기서 $$g_{ij}$$를 '''메트릭 텐서'''라고 부른다. 평평한 시공간에서 메트릭 텐서는 $$g_{00} = 1$$, $$g_{ii} = -1$$ ($$i = 1, 2, 3$$), $$g_{ij} = 0$$ ($$i \ne j$$)으로 주어진 것을 확인할 수 있을 것이다. 하지만 일반적인 시공간에서는 그렇다고 장담 못 한다. 평평하더라도 말이다. 당장 원통 좌표계나 구면 좌표계만 하더라도 메트릭 텐서는 저런 상수 꼴이 아니다. 휘어진 시공간에서는 말할 것도 없겠다. 심지어 메트릭 텐서는 일반적으로 '''시간에 대해서도 함수다'''. 이러한 성질들은 메트릭 텐서가 사실 '''시공간의 구조를 결정해 주는 물리량'''이라는 것을 말해 준다.
한편, 모든 물리 법칙들을 표현하는 식에는 벡터들이 항상 들어간다. 그리고 그 벡터들의 내적이 반드시 포함된다. 그렇지 않은 경우는 없다고 보면 된다. 따라서 모든 물리 법칙은 내적을 가지고 있다는 건데, 그 내적은 메트릭 텐서를 포함하고 있으므로 모든 물리 법칙에는 메트릭 텐서가 포함되어 있고 그 수학적인 표현을 보면 모든 물질이 메트릭 텐서와 최소 한 번은 결합되어 있다는 것을, 즉 엮여 있다는 것(coupling)을 볼 수 있다. 그런데 수학적으로 엮여있으면 일반적으로 두 물리량 간에 어떤 상호작용이 있다는 것을 의미한다. 이 말에 따르면 물질들과 메트릭 텐서는 상호작용을 한다는 것으로 쓸 수 있겠다. 한편 물리학에서 시공간에 대해 변화가 일어나는 물리량은 항상 그 물리량만의 동역학(dynamics)을 가진다. 메트릭 텐서도 예외일 수 없다. 그리고 그 동역학은 다른 것들과의 상호작용 또한 포함하는 식으로 완성된다. 따라서 메트릭 텐서는 시간과 공간에 대해 변하며, 어떻게 변하는가는 물질(의 분포)에 의하여 결정된다. 마치 전자기장이 전하-전류 분포에 의하여 결정되는 것처럼 메트릭 텐서도 물질 분포에 의하여 결정된다는 것이다. 그런데 앞서 말했듯이 메트릭 텐서는 시공간의 구조를 결정해 준다고 했었다. 결국 우리는 다음 결론을 얻는다.
'''물질의 분포가 시공간의 휘어짐을 결정한다'''
특수 상대성 이론의 로렌츠 불변성을 일반적인 좌표 변환에 대한 불변성으로 확장하였더니 이런 결과가 갑툭튀했다. 그리고 이러한 결과를 수학적으로 잘 계산하면 '''중력은 시공간의 휘어짐에 따른 결과이다'''라는 것을 '''유도'''할 수 있다. 위에서 맥스웰 방정식이 갑툭튀했던 것과 유사한 상황이다. 결론을 지어 말하자면 '''특수 상대성 이론의 일반화는 자동으로 중력을 포함한다'''. 즉, 왜 물질이 서로 끌어 당기는가 하는 이유가 완전히 설명된 것이다.
아인슈타인이 위대하다고 칭송 받는 이유가 바로 이것이다. 정말 최소한의 가정으로 삼라만상을 지배하는 물리 법칙들이 필연적인 이유를 갖는다는 것을 밝힌 것이다. 이러한 원리는 후대의 이론 물리학자들이 두고두고 써먹게 되며, 일반적인 게이지 장, 즉 양-밀스 장 이론도 이런 식으로 튀어 나오게 된다.
일반상대성이론을 가장 쉽게 설명하고 있는 영상 유튜브(한글자막)
4. 가정
일반상대성 이론은 가속운동계도 다룰 수 있도록 확장한 상대성 이론이다. 일반상대성 이론의 요지는, '''중력-가속도 등가'''이다(등가원리). 곧, 중력과 가속도는 구별할 수 없다는 뜻이다.
그런데 이 등가원리도 곧이 곧대로 받아들이기에는 문제가 너무 많다. 그중 몇 가지만 보자.
- 가속을 받는 물체와 나란한 (비관성)계에서 가속의 효과를 '장'으로 표현하자면, 그 크기가 우주 끝까지 가도 0이 되지 않는다. 반면 중력은 무한히 멀어질 수록 0으로 접근한다.[17]
- 중력에는 있는 조석력[18]이 비관성계에서는 어떻게 해도 나오지 않는다.
- 그냥 '중력과 가속도는 구별이 안 된다'라고 하는 건 모든 공간에서 그렇다라고 주장하는 걸 내포한다. 이를 축소시켜, '충분히(아주) 작은 영역에서' 중력과 가속도는 구별이 안 된다라고 주장하면 위의 문제들이 모두 해결된다.[19]
- 다 갖다 버리고, 그냥 관성질량과 중력질량이 같다고만 한다.[20]
물리학자들은 일반상대론이 물리학 이론들 중에서 가장 아름다운 이론이라고 평가하는데, 그 이유 중 하나가 바로 아주 간단하고도 대담한 몇몇 가정(특수상대론의 가정들+등가원리[23])들만 가지고 온 우주에 성립하는 법칙을 수학적으로 '유도해' 냈다는 점에 있다. 즉, 순수하게 인간의 논리적 사유만으로 자연의 거대한 법칙 중 하나가 덜컥 나왔다는 것이다. 예컨대 뉴턴의 운동법칙과 중력 이론, 맥스웰 방정식 등은 수많은 실험과 관찰에서 찾아낸 '패턴'으로 인간의 사유만으로 얻어진 산물은 아니었다.[24] 하지만, 아인슈타인은 쇼파에 털썩 앉을 때 들었던 그 아이디어[25]로부터, 그것도 관성질량과 중력질량이 같을 것 같다는 것 외엔 어떠한 실험적 데이터도 없이[26] 출발하여 전 우주를 지배하는 중력의 이론을 만들어낸 것이다. 그리고 우리가 알다시피 이 이론은 우리의 우주를 아주 잘 설명해 주고 있다. '''이는 인류 역사 상 단 한 번도 일어난 적이 없었던 사건으로, 인류 지성의 위대한 승리라고 할 만한 일이다.''' 이것만 봐도 일반상대론이 가장 아름다운 이론이라고 칭송받을 만하다는 걸 알 수 있다.[27] 그 이후로, 논리적 사유를 최대한 이용하여 물리 법칙을 이끌어내려는 시도가 여러 차례 있었으며, 그 결과로 나온 것 중에 디랙 방정식과 양자전자기역학[28], 그리고 초끈이론이 있다.
4.1. 등가원리: 시공간은 휘어져 있을 것이다
등가원리를 자세히 살펴 보자. 아인슈타인의 생각대로라면 사실 자유 낙하하는 물체는 자신이 낙하하고 있다는 것을 모를 것이다. 예를 들어 위에서 든 연구실을 다시 가져오되, 이번엔 연구실을 벽으로 둘러 싸 안에서 바깥을 아예 볼 수 없도록 만들었다고 하자. 이제 이 연구실을 공기저항 없이 지표면 근처에서 자유 낙하시키자. 그러면 이 연구실 안에서 일어나는 일은 연구실이 주변에 아무 것도 없는 텅 빈 우주 공간에 놓여 있을 때 일어나는 일과 전혀 다를 게 없다는 것이 아인슈타인의 등가원리인 것이다. 즉, 떨어지는 엘리베이터 안의 사람은 (엘리베이터가 다 닫혀 있을 때) 자신이 자유 낙하하고 있는 중인지 아니면 우주 공간에 떠 있는지 구분할 수 없다는 것이다.
가만 보면 이 역시 우리의 상식에 벗어나 보인다. 사실 우리는 떨어지는 것을 느낄 수 있다...고 생각하고 있다. 자유 낙하까진 아니더라도 바이킹이나 롤러 코스터 혹은 번지 점프 같은 걸 즐길 때 그 느낌은 지표면에 발을 붙이고 있을 때와 다르다. 그래서 우리는 낙하하고 있는 지 아닌 지를 알 수 있을 것 같다. 하지만 더 깊게 생각해 보면 그렇지 않다는 것을 알 수 있다. 우리가 지표면에 발을 붙이고 있을 때에는 내장 등의 조직들이 축 늘어져 있는 상태다. 그리고 우리 몸은 이런 상태에 익숙해져 있는 상태다. 이 상태에서 자유 낙하를 하면 그런 조직의 늘어짐이 풀릴 테고 우리는 그것을 느끼는 것이다. 하지만 이러한 풀림은 중력이 없는 공간에서도 그대로 생길 것이다. 즉, 자유 낙하를 할 때와 중력이 없는 공간에 놓여 있을 때 우리 몸이 느끼는 것은 완전히 똑같다.[29]
이 사실을 물리학적으로 이렇게 볼 수 있다. '''자유 낙하하는 물체의 좌표계는 관성 좌표계와 다를 게 없다'''는 것이다. 지표면에 붙어 있는 관찰자의 좌표계가 아닌, 자유 낙하하는 관찰자의 좌표계가 말이다. 이 논리대로라면 사실 지표면에 붙어있는 관찰자의 좌표계는 (관성력에 의한) 비관성 좌표계인 셈이다. 이 역시 우리의 상식에서 벗어나 보인다. 하지만 이러한 인식의 전환이 상대성 원리를 더 일반적인 케이스로 확장시키는 데 있어서 지대한 공헌을 해 준다.
여기에서 하나 재밌는 걸 볼 수 있다. 자유 낙하하는 실험실 안에서 벌어지는 일은 텅 빈 우주 공간 속에서 일어나는 일과 다를 게 없다고 했다. 그러면 이 안에서 레이저를 쐈을 때 그 빛은 직진할 것이다. 그런데 이걸 지표면에서 본다면 이야기가 달라진다. 안에서 봤을 때 빛이 직진하는 것으로 보이려면 바깥에서는 그 빛이 실험실과 같이 '낙하'하고 있어야 한다는 것을 알 수 있다. 즉, 빛이 휘어져서 진행하는 것으로 보일 것이다. 중력의 영향을 받지 않을 것으로 여겼던 빛은 등가원리를 놓고 봤을 때 어느 좌표계에서 봤을 때 휘어진다는 것이다. 그런데 이것은 가만 생각해 보면 그리 놀라운 게 아니다. 예를 들어 돌고 있는 회전 목마에 카메라를 설치해 놓고 그 카메라로 바깥에 서 있는 한 사람이 쏘는 레이저 빛을 촬영한다고 해 보자. 이 카메라에 촬영된 빛은 휘어져서 진행하는 것처럼 보일 것이다. (만약 주변에 아예 아무것도 없다면 영상만 봤을 때 카메라가 움직이고 있다는 것조차 모를 테니 정말 그렇게 보일 것이다.) 사실 이 현상과 중력에 의하여 빛이 휘어져 보이는 것은 다를 게 없는 현상이다. 둘 다 비관성 좌표계에서 빛을 본 것이기 때문에 벌어지는 현상이기 때문이다. 어쨌든 이 역시 상식과 어긋나 보이는 현상이긴 하지만...
진짜 이상한 것은 따로 있다. 앞서 등가원리에 따라 자유 낙하하는 실험실 안의 일은 팅 빈 우주 공간에 있을 때 벌어지는 일과 구분이 안 간다고 했었다. 만약 지표면이 무한히 넓고 평평하다면 이 말이 완전히 맞을 것이다. 하지만 실제 지구는 둥글고, 그로 인해 위에서 설명한 것이 완전히 맞아 떨어지지는 않는다. 조석력(tidal force)이 바로 그 원인이다. 다음 그림을 보자.
[image]
왼쪽 그림은 (오른쪽에 있는)다른 천체로 인해 해당 천체가 받는 중력을 표시한 것이다. 아이작 뉴턴의 중력 법칙에 따르면 중력은 거리의 제곱에 반비례한다. 따라서 위 그림의 세 화살표가 위치한 각 지점에서 중력의 크기는 각기 다 다를 것이다. 이러한 차이는 천체의 좌표계(천체와 나란히 움직이는 관찰자가 봤을 때의 좌표계)에서도 드러난다. 이는 오른쪽 그림처럼 구가 양 옆으로 쭈욱 잡아당겨지는 힘을 받는 것으로 나타날 것이다. 이것이 바로 조석력이다. 그리고 조석력은 관성 좌표계에서 나타나지 않는 것이다.
이걸 놓고 보면 등가원리가 틀린 것으로 보일 것이고, 보통 사람들이었다면 등가원리를 버렸을 것이다. 하지만 아인슈타인은 달라도 너무나도 달랐다. 그는 이렇게 또 한 번 발상의 전환을 시도했다. '''등가원리는 여전히 옳다. 다만 시공간이 휘어진 것이다.'''[30] 이러한 발상의 전환이 상대성 이론의 확장을 가능케 했던 것이다.
등가원리에 대한 대강의 설명은 끝났다. 이제 남은 것은 상대성 이론을 확장시키는 것이다.
5. 상대성 원리의 확장: 물질은 시공간을 구부려야 한다
상대성 이론으로 돌아가자. 한 가지 필요한 것이 있다. 먼저 바로 위에서 설명한 것들을 모조리 잊어 버리는 것이다. 심지어 중력이 존재한다는 것마저! 즉 지금 우리는 중력이란 게 있는지도 모른다고 친 상태다. 다만, 두 가지는 남겨 두자. 하나는 등가원리 그 자체인데, '중력'(자유 낙하) 같은 것 없이 이를 표현한다면 이렇게 표현할 수 있을 것이다. '어느 물리 시스템이든 적당한 좌표계가 존재하여 이 좌표계는 각 점의 (좁은) 근방에서 근사적으로 관성 좌표계와 같다.' 그리고 또 하나는 시공간이 휘어져 있을지도 모른다는 생각이다.[31] 이 두 가지를 가지고 상대성 이론을 확장시키자. 그리고 이렇게 했을 때 우리가 잊어 버렸던 중력이 어떻게 돌아오는가를 보도록 하겠다.
특수 상대성 이론에서는 관성 좌표계 간의 좌표 변환을 다뤘었다. 이때 이들 좌표계는 모두 시간축 + 직교 공간 좌표계로 기술되었다. 그런데 좌표 변환이라는 게 그런 것만 있진 않다. 예컨대 직교 좌표계에서 구면 좌표계로의 좌표 변환도 가능하다. 그리고 이러한 좌표 변환을 하고 나서 물리 법칙을 다뤄도 잘 쓰이고 있는 것을 우리는 잘 안다. 당장 쿨롱의 법칙으로 쌍극자 모멘트를 계산하려고 할 때에도 거의 항상 구면 좌표계에서 다루고 있지 않은가. 바로 여기에서 일반 상대성 이론이 출발한다. 일반 상대성 이론은 이러한 '''일반적인 좌표 변환에서도 물리 법칙들이 불변할 것'''을 요구한다.
먼저 일반적인 좌표 변환에 불변한다는 것이 무엇인지부터 따져 보자. 위에서 벡터는 다음과 같이 변환된다는 것을 설명했었다. 이제부터는 아인슈타인 합 규약을 사용하기 시작한다. 이 문서의 내용을 읽고 오는 것을 추천한다.
반변벡터를 위첨자로, 공변벡터를 아래첨자로[32], 또 새로운 좌표를 프라임 기호로 표현하자. 그럼 로렌츠 변환은 선형변환 이므로 아래와 같이 변환식을 쓸 수 있다.
$$X^\mu \to (X')^\mu = \frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu} X^\nu$$,
$$Y_\mu \to (Y')_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial (x')^\mu} Y_\nu$$.
여기서 $$A^\mu_\nu$$를 로렌츠 변환 행렬이라 하자. 그럼 로렌츠변환은 아래와 같이 쓸 수 있고,
$$A^\mu_\nu = \frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu}$$
따라서 아래와 같이 할 수 있다.
$$(A^{-1})^\nu_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial (x')^\mu}$$.
따라서 위 변환 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$X^\mu \to (X')^\mu = \frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu} X^\nu = A^\mu_\nu X^\nu$$,
$$Y_\mu \to (Y')_\mu = \frac{\partial x^\nu}{\partial (x')^\mu} Y_\nu = (A^{-1})^\nu_\mu Y_\nu$$.
이제 이것을 확장시키자. 일반 상대성 이론에서는 벡터라고 불리는 것들이 '''모든''' 좌표 변환 $$x^\mu \to (x')^\mu$$에 대해서 위와 같이 변환되는 것이어야 한다고 정한다. 로렌츠 변환에서만 성립하던 것을 그대로 일반화시킨 셈이다. 물론 2개 이상의 인덱스를 가지는 텐서에 대해서도 마찬가지로 로렌츠 행렬을 위와 같은 좌표 변환 행렬로 바꿔서 그 변환이 이루어진다고 보는 것이다.
이러한 확장을 하는 것은 좋은데, 그러면 기존의 특수 상대성 이론에서 기술되었던 이론들에 수정이 조금 가해져야 한다. 두 가지 정도를 들 수 있다.
첫째, 미적분을 바꿔야 한다. 특수 상대성 이론에서 $$x^\mu \to (x')^\mu$$의 좌표 변환이 일어날 때 미분 연산자 $$\frac{\partial}{\partial x^\mu}$$는 다음과 같이 변환된다.
$$\frac{\partial}{\partial x^\mu} \to \frac{\partial}{\partial (x')^\mu} = \frac{\partial x^\nu}{\partial (x')^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\nu} = (A^{-1})^\nu_\mu \frac{\partial}{\partial x^\nu}$$.
이로부터 미분 연산자는 마치 공변벡터처럼 변환된다는 것을 알 수 있다. 따라서 $$\frac{\partial B}{\partial x^\mu}$$, $$\frac{\partial V^\nu}{\partial x^\mu}$$ ($$B$$, $$V^\nu$$는 각각 스칼라와 벡터) 같은 것들은 각각 벡터와 텐서로 볼 수 있게 된다.
이제 위에서 설명했던 대로 이 변환을 관성 좌표계 간의 좌표 변환 만이 아닌 일반적인 좌표 변환에서도 성립하는 것으로 보자. 그러면 문제가 생긴다. $$\frac{\partial B}{\partial x^\mu}$$는 잘 변환이 된다는 것을 알 수 있고 따라서 별 문제는 없다. 문제는 스칼라가 아닌 물리량의 도함수의 변환이다. 다음을 보자.
$$\frac{\partial V^\nu}{\partial x^\mu} \to \frac{\partial (V')^\nu}{\partial (x')^\mu} = (A^{-1})^\alpha_\mu \frac{\partial (V')^\nu}{\partial x^\alpha} = \frac{\partial x^\alpha}{\partial (x')^\mu} \frac{\partial (V')^\nu}{\partial x^\alpha } = \frac{\partial x^\alpha}{\partial (x')^\mu} \frac{\partial}{\partial x^\alpha} \left( \frac{\partial (x')^\nu}{\partial x^\beta} V^\beta \right) \ne \frac{\partial x^\alpha}{\partial (x')^\mu} \frac{\partial (x')^\nu}{\partial x^\beta} \left( \frac{\partial V^\nu}{\partial x^\mu} \right)$$.
만약 $$\frac{\partial (x')^\nu}{\partial x^\beta}$$가 상수라면 위 식의 마지막 두 변은 일치했을 것이다. 하지만 일반적인 좌표 변환에서는 저 행렬이 상수가 아니다. 따라서 두 변은 같지 않고, 따라서 벡터의 도함수는 텐서처럼 변환이 되지 않는다. 즉, 텐서가 아니게 된다. 이것은 더 높은 인덱스를 가진 텐서의 도함수에서도 마찬가지다.
물리 법칙에 도함수가 반드시 필요하다는 것을 생각하면 이것은 반드시 고쳐야 할 문제이다. 이를 위해 아예 도함수 자체를 다른 것으로 교체해야 한다. 공변 도함수(covariant derivative)가 바로 그것인데, 이렇게 바꿔 쓰자는 것이다.
$$\partial_\mu A^\nu \to D_\mu A^\nu = \partial_\mu A^\nu + \Gamma^\nu_{\mu \lambda} A^\lambda$$,
$$\partial_\mu A_\nu \to D_\mu A_\nu = \partial_\mu A_\nu - \Gamma^\lambda_{\mu \nu} A_\lambda$$.
여기서 $$\Gamma^\nu_{\mu \lambda}$$는 Christoffel 기호인데, 일단 텐서는 아니라는 것을 직접 변환시켜 보는 것으로 확인해 볼 수 있다. 하지만 저렇게 텐서가 아닌 보통 도함수와 결합하여 텐서를 만들 수 있다. (인덱스 수가 더 높은 텐서의 도함수 같은 경우, 공변 도함수는 좀 더 복잡해진다. 그래 봤자 인덱스 하나 당 Christoffel 기호가 하나씩 더 붙는 것에 지나지 않지만.) 이런 식으로 특수 상대성 이론에서 쓰이던 도함수들을 전부 공변 도함수로 바꿔야 할 필요가 있다.
미분이 바뀌었으니 적분도 바뀌어야 할 것이다. 여러 가지 적분이 있지만 여기서는 4차원 적분만 다뤄 보겠다. 특수 상대성 이론에서 4차원 적분은 그 자체로 불변하는데, 다음 식으로부터 분명하다.
$$d^4 x \to d^4 x' = \left| \det{\frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu}} \right| d^4 x = \left| \det{A^\mu_\nu} \right| d^4 x.$$
이때 로렌츠 변환 행렬의 행렬식(determinant)는 항상 1 혹은 -1이다. 따라서 $$d^4 x' = d^4 x$$임을 알 수 있다. 이것은 특수 상대성 이론, 즉 좌표 변환이 관성 좌표계 간의 변환일 때의 이야기였다. 하지만 일반적인 좌표 변환의 경우, $$\left| \det{\frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu}} \right|$$는 항상 1이 아니다. 따라서 $$d^4 x'$$와 $$d^4 x$$는 일반적으로 같지 않다.
그런데 만약 어떤 텐서 $$g_{\mu \nu}$$를 이용하면 다음을 알 수 있다.
$$\sqrt{-\det{} g_{\mu \nu}} d^4 x \to \sqrt{-\det{} (g')_{\mu \nu}} d^4 x'$$
$$ = \sqrt{-\left( \det{\frac{\partial x^\alpha}{\partial (x')^\mu}} \right) \left( \det{g_{\alpha \beta}} \right) \left( \det{\frac{\partial x^\beta}{\partial (x')^\nu}} \right)} \left| \det{\frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu}} \right| d^4 x$$
$$ = \sqrt{-\det{} g_{\mu \nu}} d^4 x.$$
(여기서 행렬 $$\frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu}$$의 역행렬이 $$\frac{\partial x^\nu}{\partial (x')^\mu}$$이므로 이들의 행렬식이 서로 역수 관계임을 이용하였다.)
따라서 $$\sqrt{-\det{(g')_{\mu \nu}}} d^4 x' = \sqrt{-\det{g_{\mu \nu}}} d^4 x$$가 성립한다. 즉, $$\sqrt{-\det{g_{\mu \nu}}} d^4 x$$는 일반적인 좌표 변환에 대해서 불변이다. 이는 도함수에서 그랬던 것과 마찬가지로 특수 상대성 이론에서 쓰였던 모든 $$d^4 x$$를 $$\sqrt{-\det{g_{\mu \nu}}} d^4 x$$로 교체해야 한다는 것을 말해 준다. 여기서 마치 임의인 것처럼 쓰였던 텐서 $$g_{\mu \nu}$$가 있는데, 곧 이 텐서의 정체에 대해 (그리고 이 텐서의 행렬식이 항상 음수라는 것도) 설명할 것이다.
사실 이 새로운 텐서의 정체는 미적분 외의 또다른 수정에서 드러난다. 위에서 축약을 기하학적으로 내적으로 볼 수 있다고 했었고, 그 과정에서 $$\eta_{\mu \nu}$$가 쓰였었다. 이 텐서 $$\eta_{\mu \nu}$$는 시공간의 기하학적 구조를 결정지어 준다는 것 또한 위에서 설명된 내용이었다. 그런데 일반적인 좌표 변환과 시공간이 휘어진다는 사실을 고려한다면 $$\eta_{\mu \nu}$$가 그대로 있지는 못한다는 것을 짐작할 수 있다. 즉, 위에서 정의한 $$\eta_{\mu \nu} = 1 (\mu = \nu = 0)$$, $$\eta_{\mu \nu} = -1 (\mu = \nu = 1, 2, 3)$$, $$\eta_{\mu \nu} = 0 (\mu \ne \nu)$$를 만족하는 $$\eta_{\mu \nu}$$가 축약 혹은 내적에 계속 쓰이기는 어렵다는 것이다. 실제로 관성 좌표계 $$(x_0, x_1, x_2, x_3) = (ct, x, y, z)$$에서 시간+구면 좌표계 $$((x')_0, (x')_1, (x')_2, (x')_3) = (ct, r, \theta, \phi)$$로 변수 변환을 한다고 했을 때 두 벡터 $$A^\mu$$와 $$B^\mu$$의 축약은
$$A^\mu B_\mu = \eta_{\mu \nu} A^\mu B^\nu \to g_{\mu \nu} (A')^\mu (B')^\nu$$
로 변환되는데, 여기서 $$(A')^\mu = \frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu} A^\nu$$, $$(B')^\mu = \frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu} B^\nu$$이고 $$g_{\mu \nu}$$는 $$g_{00} = 1, g_{11} = -1, g_{22} = -r^2, g_{33} = -r^2 \sin^2{\theta}, g_{\mu \nu} = 0 \;\; (\mu \ne \nu)$$로 정의된다. 축약 같지 생겼는데, 분명 $$\eta_{\mu \nu}$$ 자리에 다른 것이 들어 갔다. 상수가 아닌 위치에 따라 축약이 바뀌는 것이다. 심지어 좀 이상한(...) 좌표 변환을 가하면 $$g_{\mu \nu}$$의 대각 성분이 아닌 값($$\mu \ne \nu$$인 $$g_{\mu \nu}$$)마저 0이 아니게 할 수도 있다. 더군다나 시공간이 더 이상 평평하지 않은 경우, 어떤 변환을 취하더라도 $$g_{\mu \nu}$$의 변환된 결과가 $$\eta_{\mu \nu}$$와 같지 않을 수도 있다. 다시 말해 일반적인 좌표 변환과 시공간의 휘어짐을 고려하면 $$\eta_{\mu \nu}$$에는 전혀 다른 무언가가 들어갈 수도 있다는 것이다. 그것을 흔히 $$g_{\mu \nu}$$로 표기하며, '''측지 텐서(metric tensor)'''라고 부른다.
다만 측지 텐서가 정말 아무거나 되는 것은 곤란하다. 그렇게 되면 특수 상대성 이론과 안 맞을 수도 있기 때문이다. 이미 $$\eta_{\mu \nu}$$가 전혀 다른 무언가로 교체된데다 어떠한 좌표에서도 측지 텐서가 $$\eta_{\mu \nu}$$와 같지 않을 수도 있다는데, 그런 걸 어떻게 기대할 수 있겠는가 싶겠지만 사실 가능하다. 답은 임의의 한 점에서 측지 텐서 $$g_{\mu \nu}$$가 매우 천천히 변하도록 좌표계를 잡는 경우를 생각하는 것인데, 그런 좌표는 각 점마다 항상 찾을 수 있으며, 근사적으로 측지 텐서가 상수이도록 할 수 있다. 여기에 대각화, 스케일 등의 변환을 더 추가하는 식으로 측지 텐서가 대각 성분만 가지며 그 성분이 1 또는 -1이도록 좌표계를 잡을 수 있다. 여기서 중요한 것은 -1의 개수인데, 만약 하나도 없다면 이 좌표계에서 벡터 간의 축약은 그야말로 $$\sum A_i B_i$$로 근사될 수 있어 n차원 유클리드 기하학이 되는 것이다.[33] 여기서 이러한 좌표계가 사실 상 위에서 설명한 $$\delta_{ij}$$라든가 $$\eta_{\mu \nu}$$와 같은 것으로 측지 텐서를 변형시킨다는 것을 알 수 있다. 그런데 등가원리를 생각해 보면 바로 이러한 좌표계에서 해당 점의 적당한 근방을 관성 좌표계처럼 잡을 수 있다는 것을 짐작할 수 있다. 등가원리는 다름 아닌 그런 좌표 변환이 모든 점에서 항상 가능하며, 그 점의 근방에서 측지 텐서가 $$\eta_{\mu \nu}$$와 같음을, 즉 특수 상대성 이론을 만족한다는 사실을 말해 준다. 즉, 등가원리는 관성 좌표계가 (근사적으로나마) 좌표 변환을 통해 나타날 수 있도록 시공간에 가해지는 제한인 셈이다. 이렇게 해서 '''등가원리를 통해 휘어진 시공간과 일반적인 좌표 변환을 고려하더라도 관성 좌표계라고 부를 수 있는 좌표계를 정한 것'''이다.
좌표 변환과 내적의 일반화와 확장을 이야기해 봤다. 상대성 이론을 확장시킨다는 것은 이런 것들을 필요로 한다는 것이다. 사실 이러한 것들, 즉 좌표 변환에 대해 $$A^\mu \to \frac{\partial (x')^\mu}{\partial x^\nu} A^\nu$$와 같이 변환하면서 측지 텐서 $$g_{\mu \nu}$$에 의한 내적(축약)을 갖는 대상들, 그리고 그 미적분학은 이미 수학에서 연구가 되어 있는 상태였다. 그것이 바로 '''미분 기하학''', 특히 '''리만 기하학'''이다. 아인슈타인의 친구 그로스만이 찾아냈다던 그 리만 기하학 말이다.[34] 다만 휘어진 (시)공간과 그 일반적인 좌표 변환을 우주에다 적용시킬 용자는 아인슈타인 이전에 단 한 명도 없었다. 그렇기에 사실상 잠들어 있었던 학문이었는데, 아인슈타인(그리고 그로스만)에 의하여 극적으로 부활한 것이다.
말이 나온 김에 미분 기하학을 좀 더 살펴 보자. 위에서 얻어진 측지 텐서로 위에서 언급한 미적분을 다시 살펴 보자. 도함수를 대체하는 공변 도함수에는 Christoffel 기호가 들어가 있다. 이때 기하학적으로 측지 텐서의 공변 도함수가 0이라는 것을 알 수 있는데, 이로부터 다음을 구할 수 있다.
$$\Gamma^\lambda_{\mu \nu} = \frac{1}{2} g^{\lambda \alpha} \left( \partial_\mu g_{\nu \alpha} + \partial_\nu g_{\mu \alpha} - \partial_\alpha g_{\mu \nu} \right)$$.
여기서 $$g^{\mu \nu}$$는 $$g_{\mu \nu}$$의 역행렬 쯤에 해당하는 것으로, 정확하게는 $$g_{\mu \nu} g^{\nu \lambda} = \delta_\mu^\lambda$$로 정해지는 텐서다. 이런 식으로 Christoffel 기호는 측지 텐서와 그 도함수로 표현이 된다.
또한 적분에서 어떤 텐서 $$g_{\mu \nu}$$를 도입했었는데, 사실 이 텐서가 바로 측지 텐서이다. 일반적으로 적분에는 이렇게 측지 텐서의 determinant가 들어가게 된다. 한 가지 특이 사항이 있는데, 위에서 설명한 등가원리에 따르면 측지 텐서는 한 좌표계(관성 좌표계)에서 (거의) $$\eta_{\mu \nu}$$인데, 그 determinant는 사실 -1이다. 그런데 좌표 변환을 하게 되면 측지 텐서의 determinant는 정확하게 좌표 변환에 해당하는 야코비안(Jacobian)의 제곱만큼 곱해지는 걸로 바뀐다. 따라서 어느 좌표계에서든 측지 텐서의 determinant는 음수이다. 제곱근 안의 마이너스 부호가 있는 이유는 바로 이것 때문이다.
아무튼 이렇게 해서 특수 상대성 이론에 맞던 물리 법칙을, 즉 관성 좌표계 간 좌표 변환에 대해 불변하던 물리 법칙을 일반적인 좌표 변환에 대해서도 그 모습이 불변하도록 수정할 수 있는 준비가 다 된 셈이다. 어차피 특수 상대성 이론과 잘 부합하는 물리 법칙들은 원하는 스칼라, 벡터, 텐서들 그리고 그것들의 도함수($$\partial_\mu$$ 같은 것들이 붙은 것)들을 잘 축약(내적)하여 스칼라로 만든 다음 적분한 것을 액션으로 취하여 얻어진 것이다. 예를 들어 전자기장은, 일단 소스(source)가 없을 때, 즉 $$j^\mu = 0$$일 때 그 액션이 다음과 같다는 것을 위에서 봤다.
$$S = \int \left( -\frac{1}{4\mu_0} \eta^{\mu \alpha} \eta^{\nu \beta} F_{\mu \nu} F_{\alpha \beta} \right) d^4 x = \int \left( -\frac{1}{4\mu_0} \eta^{\mu \alpha} \eta^{\nu \beta} (\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu) (\partial_\alpha A_\beta - \partial_\beta A_\alpha) \right) d^4 x$$.
이것은 관성 좌표계 간의 좌표 변환에서 불변인 값이다. 하지만 위에서 봤듯이 이 식은 일반적인 좌표 변환에 대해서 불변하지 않을 것이다. 다만 간단한 교체를 통해 위 식이 일반적인 좌표 변환에 대하여 불변이도록 수정이 가능하다는 것 또한 위에서 봤었다. 단지 도함수($$\partial_\mu$$)를 공변 도함수($$D_\mu$$)로, 축약에 쓰이는 텐서 $$\eta_{\mu \nu}$$를 보다 일반적인 측지 텐서 $$g_{\mu \nu}$$로, 4차원 적분 $$d^4 x$$를 $$\sqrt{-g} d^4 x$$로 바꾸면 된다. 여기서 $$g$$는 $$\det{g_{\mu \nu}}$$를 짧게 줄여 쓴 것이다. 이런 식의 수정을 가하면 위 액션은 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$S = \int \left( -\frac{1}{4\mu_0} g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} F_{\mu \nu} F_{\alpha \beta} \right) \sqrt{-g} d^4 x$$
$$ = \int \left( -\frac{1}{4\mu_0} g^{\mu \alpha} g^{\nu \beta} (D_\mu A_\nu - D_\nu A_\mu) (D_\alpha A_\beta - D_\beta A_\alpha) \right) \sqrt{-g} d^4 x$$.[35]
이렇게 해서 전자기학을 일반 상대성 이론에 맞도록 수정을 가했다. 입자가 받는 힘 또한 고려해야 하는 것일테지만 조금 어렵고 모호한 점이 있어서 생략하기로 한다. 이런 식으로 물질(전자기장을 포함)을 기술하는 일반적인 액션을 만들 수 있다. 이렇게 일반적인 좌표 변환을 해도 물리가 변하지 않는다고 (즉 상대성 원리가 적용된다고) 주장을 하기에 우리는 이 주장을 가리켜 '''일반 상대성 이론'''이라고 부르는 것이다.
이제 액션의 보다 일반적인 구조를 고찰해 보자. 그러고 보면 맥스웰 방정식을 유도할 때도 그랬고 액션에 들어갈 수 있는 것은 어떤 물리량을 가지고 만들어진 스칼라뿐이라는 것을 봤었다. 전자기장의 경우 $$A^\mu$$가 있다고 가정한 다음 이걸로 만들 수 있는 스칼라들을 고려했고 그렇게 해서 나온 전자기장의 라그랑지안이 바로 $$-\frac{1}{4\mu_0} F_{\mu \nu} F^{\mu \nu}$$였다. 그런데 이 식을 보면 축약이 들어가 있다. 사실 이미 벡터 $$A^\mu$$로 스칼라를 만들겠다는 것에서부터 축약이 필요하긴 했었다. 만약 스칼라인 물리량 $$\phi$$로 액션을 만든다면? 이때에는 단순히 $$\phi^2$$, $$\phi^4$$ 같은 축약이 없는 항들만으로도 충분해 보일 것이다. 하지만 물리적으로 의미 있는 양은 항상 시간과 공간에 대해 변하는 양이다.[36] 그리고 물리적으로 그 양을 기술한다는 것은 그 양이 시간과 공간에 대해 어떻게 변하는지도 같이 다뤄야 한다는 것이다. 이미 전자기학의 라그랑지안에는 $$A^\mu$$의 도함수가 들어 가 있지 않은가. 따라서 스칼라만 다룬다 하더라도 올바른 라그랑지안 안에는 그 스칼라의 도함수 $$\partial_\mu \phi$$가 반드시 포함되어 있어야 하며, 그러기 위해서는 역시 축약이 또 필요하다는 것을 알 수 있다. 결국 말하고 싶은 게 뭐냐면, '''물질을 다루는 액션 혹은 라그랑지안은 반드시 축약을 포함한다'''는 것이다. 이것을 다르게 표현하자면 '''물질을 다루는 라그랑지안에는 측지 텐서가 반드시 포함되어 있다'''는 것이다. 축약을 하면 반드시 측지 텐서를 곱해서 싹 더해야 했었고, 그걸 가리킨 것이다. 이미 물질은 측지 텐서와 엮여(coupling)있는 것인 셈이다. 그런데 앞서 말했듯이 측지 텐서에는 시공간의 구조, 즉 시공간이 어떻게 휘어져 있는가 하는 정보가 담겨 있다. 이 사실은 다음과 같은 중요한 사실을 암시한다. '''애초부터 물질은 시공간의 휘어짐에 대한 정보(측지 텐서)와 얽혀 있다.''' 그런데 전자기학의 경우에서 입자-장이 엮여 있는 액션 항이 있다면 반드시 장만의 액션 항이 필요하다는 것을 봤었다. 지금 우리는 물질-측지 텐서가 엮여 있는 액션 항을 가지고 있다. 그렇다면 올바른 액션은 측지 텐서만을 위한 액션 항을 포함해야 할 것이다. 한편 전자기학에서는 두 액션 항(입자-장 항, 장의 항)이 있다는 것이 입자의 분포가 곧 장의 모습을 결정지어 주는 것($$\partial_\mu F^{\mu \nu} = \mu_0 j^\nu$$)을 봤었다. 즉, 입자가 분포해 있으니 전자기장이 생겼다. 지금 우리는 물질-측지 텐서 항과 측지 텐서 항이 있어야 함을 안다. 결국 다음을 얻는다.
'''물질의 분포가 시공간의 휘어짐을 결정한다.'''
정리해 보자. 아까 우리는 일단 중력을 깡그리 잊어버리고 (아직 우리가 아는 그 중력이 나타났다고 말할 수는 없다) 물리 법칙이 일반적인 좌표 변환에 대해 불변하고 시공간이 평평하지 않을 수도 있다는 것[37], 그리고 등가원리(어떤 좌표계는 특수 상대성 이론에서 말하는 그 관성 좌표계로 볼 수 있다)[38]를 가정했었다. 그런데 이러한 '''몇 안 되는 가정들로부터 우리는 물질이 시공간을 필연적으로 휘어야 한다는 것을 도출해냈다'''. 저 위에서 말한 아인슈타인의 빛나는 업적이 바로 이것이다. 단순한 법칙들로 중대한 결과가 튀어 나온 것이다. 하지만 아직 측지 텐서가 어떻게 변할 것인가를 다루진 않았다. 어쩌면 시공간은 휘어져 있지 않을지도 모른다. 수학적으로 측지 텐서의 액션을 봐야 알 수 있을 것이다.
6. 아인슈타인-힐베르트 액션, 아인슈타인의 장방정식
먼저 위에서 설명한 액션을 이렇게 써 보자.
$$S = S_M + S_G$$.
$$S_M$$는 물질의 액션으로 사실 일반 상대성 이론을 몰랐으면 총 액션은 이거 하나만 있었을 것이다. 물론 우리는 이것에 대해 안다. 예를 들어 물질의 액션에는 전자기장의 액션만 있거나 다른 게 또 들어 가 있을 수도 있다. 어쨌든 지금 우리의 관심은 그 정체를 모르는 $$S_G$$이다. 이 항은 물론 시공간의 동역학만 다루는 항이다. 즉, 측지 텐서와 그 도함수로만 이루어진 스칼라로 구성된 항이다. 이게 이 항이 어떻게 생겼는가를 알아 봐야 한다.
측지 텐서와 그 도함수로 그럴 듯한 스칼라를 만드는 것은 사실 간단한 일이 아니다. 사실 측지 텐서의 공변 도함수는 항상 0이라는 것을 보일 수 있다. 따라서 측지 텐서의 (보통) 도함수가 들어간 전혀 다른 종류의 스칼라를 찾아야 한다. 사실 Christoffel 기호가 측지 텐서의 도함수로 구성되어 있다는 것을 보일 수 있는데, 문제는 이 기호가 텐서는 아니라는 점에 있다. (그래서 '텐서'가 아닌 '기호'로 불리는 것이다.) 다른 방법이 필요하다.
미친(...) 수학자들은 그 답을 이렇게 생각해 냈다. 벡터 $$A^\mu$$가 주어져 있을 때 그 공변 도함수 $$D_\mu A^\nu$$는 $$A^\mu$$와 그 도함수가 들어가 있다. 이는 $$D_\mu D_\nu A^\lambda$$에서도 마찬가지다. 하지만 $$D_\mu D_\nu A^\lambda - D_\nu D_\mu A^\lambda = (D_\mu D_\nu - D_\nu D_\mu) A^\lambda ( = [D_\mu, D_\nu] A^\lambda)$$는 오로지 $$A^\mu$$만 들어가 있고 그 도함수는 안 들어가 있다는 것을 알 수 있다. 더군다나 그 모양에서도 보이듯이 이 식은 $$A^\mu$$에 대해 선형이다. 따라서 위 식은 다음과 같이 표기할 수 있다.
$$(D_\mu D_\nu - D_\nu D_\mu) A^\lambda = R^\lambda_{\mu \nu \rho} A^\rho$$.
공변 도함수가 미분 연산자와 Christoffel 기호로만 이루어져 있으므로 이 새로운 값 $$R^\lambda_{\mu \nu \rho}$$는 Christoffel 기호와 그 도함수, 혹은 측지 텐서와 그 도함수로 구성되어 있는 것이다. 또한 $$D_\mu D_\nu A^\lambda$$와 $$D_\nu D_\mu A^\lambda$$ 둘 다 텐서라는 사실로부터 $$R^\lambda_{\mu \nu \rho}$$ 역시 텐서라는 것을 알 수 있다. 이 텐서를 가리켜 리만 텐서 혹은 곡률 텐서라고 부른다.[39] 사실 이 텐서는 시공간의 곡률에 대한 정보를 담고 있는 양이다.
좀 더 가 보자. 이제 이 텐서로 축약을 만들어 볼 것이다. 축약을 만드는 방법은, 마침 위 참자가 하나 있으므로 이 첨자와 $$\mu, \nu, \lambda$$ 중 하나와 엮어서 더하는 것이 있다. 그런데 계산을 해 보면 $$R^\lambda_{\mu \nu \lambda}$$는 항상 0임을 알 수 있다. 한편, 정의로부터 $$R^\lambda_{\mu \nu \rho} = -R^\lambda_{\nu \mu \rho}$$이므로 $$\mu$$나 $$\nu$$나 어느 것을 엮어도 결과는 부호 빼고 똑같을 것이라는 것을 알 수 있다. 따라서 사실 상 가능한 축약은 하나뿐이다. 이제 그 축약을 이렇게 정의하자.
$$R_{\mu \nu} = R^\lambda_{\mu \lambda \nu}$$.
이 텐서를 가리켜 리치 텐서라고 부른다. 이 텐서는 한편 $$R_{\mu \nu} = R_{\nu \mu}$$를 만족한다. 하나 더 해 보자. 이번엔 이 Ricci 텐서를 축약해 보자. 이렇게.
$$R = g^{\mu \nu} R_{\mu \nu}$$.
이 텐서를 가리켜 리치 스칼라라고 부른다.
앞에서 리만 텐서는 측지 텐서와 그 도함수들로만 구성되어 있다고 했었다. 그리고 그걸 축약해서 스칼라 하나를 만들어냈다. 사실 우리는 경험적으로 측지 텐서를 위한 라그랑지안이 측지 텐서의 일차 도함수의 제곱 혹은 이차 도함수까지만 포함되어 있기를 기대하고 있다.[40] 아니면 라그랑지안의 단순성도 괜찮다. 아무튼 이러한 요구사항 때문에 더 많은 스칼라는 필요하지 않고 다만 이 Ricci 스칼라만으로 우리가 원하는 라그랑지안을 구성하기에는 충분할 것이다.[41]
이제 준비물은 다 마련이 되었다. 전자기장을 다룰 때 했던 것처럼 라그랑지안에 들어갈 스칼라를 알았으면 액션을 다음과 같이 잡아야 한다는 것을 금방 할 수 있다. 물론 일반적인 좌표 변환을 고려해야 하기에 적분에는 $$\sqrt{-g}$$가 포함되어 있어야 한다는 것을 잊지 말자.
$$S_G = \int \left( \frac{c^4}{16 \pi G} R \right) \sqrt{-g} d^4 x$$.
여기서 부호는 위에서 그랬던 것처럼 액션이 최소가 되게 하기 위해 저렇게 잡은 것이고, $$G$$는 상수로, 나중에 고전적인 영역으로 근사를 취할 때 왜 그냥 $$G$$가 아니고 $$\frac{c^4}{16 \pi G}$$로 잡았는지를 알게 될 것이다. 아무튼 이렇게 해서 우리는 측지 텐서, 즉 시공간의 휘어짐을 다루는 액션을 얻었다. 이 액션이 그 유명한 '''아인슈타인-힐베르트 액션'''이다. 사실 힐베르트가 아인슈타인보다 일주일 정도 더 먼저 이 액션을 구했고 이를 아인슈타인과 상의하려 했으나 공교롭게도 그때 아인슈타인은 건강이 좋지 않아서 힐베르트를 만나지 않았고, 그 후 독립적으로 이 액션을 얻었다고 알려져 있다.
그런데 사실 스칼라로는 뭐 다른 것도 있지만 그냥 상수도 있다. 그래서 위 액션은 이렇게 수정되기도 한다.
$$S_G = \int \left( \frac{c^4}{16 \pi G} (R -2 \Lambda) \right) \sqrt{-g} d^4 x$$.
여기서 $$\Lambda$$는 어떤 상수이다. 이 상수가 그 유명한 '''우주 상수(cosmological constant)'''이다. 아인슈타인 최대의 실수로 불렸지만 나중에 가속 팽창을 설명하기 위해 화려하게 부활한 값이다. 그런데 이 값은 사실 물질 항에다 옮겨 넣을 수 있으며 이때 이 항은 물질의 진공 에너지를 의미하게 된다. 우리가 흔히 알고 있는 '''암흑 에너지(Dark energy)'''의 정체가 바로 이것이다. 따라서 우주의 진공이 어떤 실체를 가지느냐를 밝히는 것이 우주 상수 혹은 암흑 에너지의 정체를 밝혀줄 것이다.
이제 마무리를 해 보자. 액션을 구했으니 장방정식을 구해야 한다. 측지 텐서에 대한 변분을 취하면 장방정식을 얻을 수 있다. 그런데 물질(-측지 텐서 coupling) 액션 항에 측지 텐서에 대한 변분을 취하면 그 결과로 나오는 것이 물질의 에너지-운동량 분포, 혹은 더 정확하게 에너지-운동량 스트레스 텐서 $$T_{\mu \nu}$$가 나온다는 것이 알려져 있다. 한편, 아인슈타인-힐베르트 액션에 변분을 취하면 다음이 얻어진다.
$$-\frac{c^4}{8 \pi G} \left( R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R \right)$$.
변분법은 두 액션의 변분, 즉 $$T_{\mu \nu}$$와 $$-\frac{c^4}{8 \pi G} \left( R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R \right)$$의 합이 0임을 말해준다. 이를 정리하면 결국 다음을 얻는다.
$$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} g_{\mu \nu} R = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu}$$.
이것이 바로 그 유명한 '''아인슈타인 장방정식'''이다. 이 방정식은 최종적으로 '''물질의 (에너지) 분포가 시공간의 휘어짐을 결정한다'''라는 앞서 내렸던 결론을 수학적으로 확실하게 보여주는 것이다. 이 방정식 하나로 물질의 분포로부터 시공간의 모양을 알아낼 수 있다. 짧아 보이는 이 방정식을 푸는 것은 사실 무척 어렵다. 실제로 구해야 하는 것은 측지 텐서인데, 저 방정식을 측지 텐서와 그 도함수로만 표현하면 엄청나게 복잡해지며, 무엇보다도 저 방정식은 '''비선형 편미분방정식'''이다. 꽤 많은 특수해가 알려져 있긴 하지만 '''일반적인 물질 분포로부터 이 방정식을 푸는 방법은 아직 요원하다.'''
마지막으로 시공이 휘어졌다는 것이 고전역학에서 무엇과 매칭이 되는가를 알아 보겠다. 비선형 편미분 방정식이라고 했지만 사실 고전적인 영역(측지 텐서의 변화가 매우 작고 물질의 속도가 광속보다 작으며 물질의 분포가 별로 빽빽하지 않은 영역)에서 아인슈타인 장방정식은 충분히 간단하게 표현된다. 먼저 방정식을 조금 바꿔 써 보자. 방정식에 축약을 가하면 $$\frac{1}{2} R = \frac{8 \pi G}{c^4} g^{\mu \nu} T_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T^\mu_\mu$$를 얻게 되는데, 이걸 대입해서 정리한 다음, 인덱스 하나를 위로 올려 주면 ($$g^{\mu \nu}$$ 하나를 곱해 축약해 주면 된다) 다음을 얻는다.
$$R^\mu_\nu = \frac{8 \pi G}{c^4} \left( T^\mu_\nu - \frac{1}{2} \delta^\mu_\nu T^\lambda_\lambda \right)$$.
물질 분포가 점입자 하나라면 $$T^0_0 - \frac{1}{2} \delta^0_0 T^\lambda_\lambda = \frac{1}{2} \rho c^2$$으로 표현됨을 계산할 수 있는데, 여기서 $$\rho$$는 질량 M의 점입자에 대한 디랙-델타 함수 모양의 질량 밀도 함수이다. 이로부터 다음을 얻는다.
$$R^0_0 = \frac{4 \pi G \rho}{c^2}$$.
여기서 $$R^0_0$$는 다음과 같이 근사될 수 있다.
$$R^0_0 \approx \frac{1}{2} \nabla^2 g_{00}$$.
따라서 $$\nabla^2 g_{00} = \frac{8 \pi G \rho}{c^2}$$를 얻게 된다. 여기서 $$g_{00} = 1 + \frac{2\phi}{c^2}$$라고 표기하면 방정식은 다음과 같이 써진다.
$$\nabla^2 \phi = 4 \pi G \rho$$.
이것은 중력 퍼텐셜에 대한 미분 방정식으로, 이것을 풀면 $$\phi = -\frac{GM}{r}$$를 얻는다. 정확하게 뉴턴의 중력 법칙에서 얻어지는 퍼텐셜이다! 하지만 이것만으로는 부족하다. 아직 이것은 단지 측지 텐서 중 한 성분을 조금 다르게 표현한 것에 지나지 않는다.
이 식의 의미를 알려면 휘어진 공간에서 입자의 경로가 어떻게 결정되는지 봐야 한다. 이 입자는 위에서 다룬 질량 M인 입자보다 훨씬 가벼운 입자인데 (따라서 이 입자에 의한 시공간의 휘어짐은 생각하지 않겠다), 이 입자의 경로는 다음과 같이 주어지게 된다.
$$\frac{d^2 x^\mu}{d \tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha \beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} = 0$$.
사실 이 식은 측지선(geodesic) 방정식으로, 빛같이 질량이 없는 입자에 한한 것이긴 하지만 여기서 써도 크게 상관은 없을 것이다. 아무튼 고전적인 경우 입자의 속력은 느릴 것이고 이때 $$\mu = i = 1, 2, 3$$에 대하여 위 식은 다음과 같이 근사할 수 있게 된다.
$$\frac{d^2 x^\mu}{d \tau^2} + \Gamma^\mu_{\alpha \beta} \frac{dx^\alpha}{d\tau} \frac{dx^\beta}{d\tau} \approx \frac{d^2 x^i}{dt^2} + \Gamma^i_{00} c^2 \approx \frac{d^2 x^i}{dt^2} + \frac{c^2}{2} \left( \partial_i g_{00} \right) = \frac{d^2 x^i}{dt^2} + \left( \vec{\nabla} \left( \frac{c^2}{2} g_{00} \right) \right)_i = 0$$.
위에서 쓴 $$g_{00}$$의 다른 표기를 쓰면 다음을 얻는다.
$$\frac{d^2 \vec{x}}{dt^2} \approx -\vec{\nabla} \left( \frac{c^2}{2} g_{00} \right) = -\vec{\nabla} \phi = -\frac{GM}{r^3} \vec{r}$$.
이것은 정확하게 뉴턴의 만유인력 법칙이다. 이로부터 '''중력의 정체는 다름 아닌 시공간의 휘어짐'''이라는 결론을 얻을 수 있게 되었다! 이렇게 해서 우리는 맨 처음에 잊어버렸던 중력을 다시 이끌어내었다. 다시 강조하지만 물질에 의해 시공간이 휘어진다는 것과 중력이 사실은 시공간의 휘어짐이라는 이 모든 결과는 단지 물리 법칙이 일반적인 좌표 변환에 대해 불변이어야 한다는 것을 요구한 것만으로부터 얻어진 것이다. 즉, '''일반 상대성 이론은 필연적으로 중력을 내포할 수밖에 없다'''는 것이다.
이러한 놀라운 결과를 얻어내긴 했지만 위에서도 주석으로 언급했듯이 이 모든 것은 실험과 잘 맞아야 한다. 사실 시공간이 애초부터 휘어져 있지 않았을 수도 있는 것이니까.[42] 하지만 에딩턴 등의 실험에 의하여 빛이 정말로 휘어져서 온다든가 그 유명한 수성의 근일점 문제를 해결했다는 점이라든가 하는 검증을 통해 일반 상대성 이론과 그로부터 얻어진 중력 이론은 옳은 것으로 인정 받았고, 지금도 거시적인 규모에서 실험과 위배된 적이 없는 이론으로 굳건히 서 있다. 하지만 실험이 어떻게 됐든 이러한 사유는 전에 없던 획기적인 것이었고 이론가들의 가장 주요한 무기 중 하나로 우뚝 서게 된다. 오죽 했으면 (저 위에 있는 주석 내용이지만) 아인슈타인은 실험이 틀렸으면 어쩔 거였냐는 질문에 그래도 내 이론은 옳다고 했었을까.
7. 관련 문서
8. 교과서
- Misner, Thorne and Wheeler, "Gravitation" 1973
유명한 교과서이다. 책이 두꺼운 편이다.
- Landau and Lifshits, "The Classical Theory of Fields" 1987
- Hobson, Efstathiou and Lasenby, "General Relativity: An Introduction for Physicists" 2006
현대적이고 탄탄한 전개를 보여준다.
[1] 마치 전기력과 자기력이 광자에 의해 매개되는 동등한 힘이지만, 선택한 관성계에 따라 전기력과 자기력으로 보이는 것과 같다.중력과 관성력은 중력장에 의해 매개된다.[2] 심지어 뉴턴은 (유클리드) 기하학은 너무 당연해서 언급할 가치도 못느꼈다.[3] 다만, 공간적으로 떨어진 두 물체가 겪는 시간의 총량을 비교할 수단은 없다. 공간의 한 점에 다시 만났을 때 비교가 가능하며, 그제야 이동한 경로에 따라 시간이 다르게 흘러갔음을 알 수 있다. [4] 이것은 패러독스가 아니다. 둘 중 누가 늙었을지 결정할 수 없다는 의미에서 패러독스다. [5] 다만 진짜 패러독스는 아니다. 일반 상대성 이론까지 갈 필요도 없이 특수 상대성 이론에 따른 관점으로 구분 가능하다. [6] 이 '휘어짐' 때문에 일반 상대성 이론을 기술할 때 미분기하학이라는 노가다 그 자체를 이용해야 한다.[7] k-mooc에서 제공하는 강의로, 회원 가입 후 수강신청을 하면 누구나 수강은 가능하다. [8] 다만 고전적인 모델(평탄한 공간에서 빛이 직접 낙하)에서도 빛이 휜다는 결론이 나온다. 에딩턴은 당시 측정한 데이터 중 고전적인 추정치와 가까운 쪽을 파기하였다는 것이 나중에 드러났다.[9] 미국 동부시간(EDT) 기준. 한국시간(KST) 익일 0시 30분[10] 인식론적으로 말하면 충분 이유의 원리에 따라 관성계 우월성을 기각한 것.[11] 철수와 영희가 동시에 공원을 반대방향을 도는 것과 비슷한 문제들을 본적이 있을 것이다.[12] 사실 메타-물리학적 고찰에 가깝다[13] 정확하게 유사-리만 기하학이다.[14] 본래 등가 원리는 관성 질량과 중력 질량이 같다는 가정 하에서 출발한다. 만약 두 질량이 같으면, 중력가속도랑 같은 크기로 가속되는 가속계를 구성할 때 가속계 속의 모든 물체는 중력에 의해 가속되는 것과 구분이 불가능하다. 두 질량이 같다는 가정이 없다면 중력장 하의 물체는 가속되는 비관성계하의 물체와 구분할 수 있다. 예를 들어 보자. 만약 관성 질량 $$m_{intertia}$$가 중력 질량 $$m_{gravity}$$와 비례하지 않고 $$m_{intertia}=m_{gravity}^2$$의 관계를 가진다면 중력 질량이 큰 물체는 상대적으로 느리게 가속될 것이다. 이를 통해 가속되는 우주선인지 중력을 받고 있는지 알 수 있다. 두 질량의 관계를 살펴본 가장 유명한 실험이 갈릴레이의 '피사의 사탑 실험'이다. 이 실험이 그리 개념적으로 간단한 실험은 아니다… 실험은 쉬워도.[15] 등가원리는 단일한 언명으로 이루어져있지 않다. 위의 등기원리는 일부일 뿐[16] 비전공자들인 위키러들이 받을 혼동을 최소화하기 위해 원래 위첨자로 써야 할 인덱스들을 전부 다 아래 첨자로 썼고 그리스 문자로 썼어야 할 것들은 그냥 알파벳으로 썼다. [17] 이 내용은 란다우, 립쉬츠(Landau, Lipshitz)의 장의 고전 이론(The classical theory of field)에서 소개된 내용이다. 이 책 보면 한두 가지는 더 나온다.[18] 이는 어떤 관측자와 지구 중심 방향으로 나란히 떨어지는 다른 물체를 생각해 봄으로서 알 수 있다. 이 관측자가 떨어지면서 자기 옆에 있는 물체를 보면, 가만히 있지 않고(즉, 자신과 완전히 평행하게 떨어지지 않고) 관측자 옆으로 슬금슬금 가속을 받으며 움직이는 것을 알 수 있다. 이는 지구 중력장이 지구 중심을 향하는 방향으로, 평행한 방향이 아니라는 이유에 기인한다. 우주 스케일로 가면 크기가 있는 물체가 받는 중력에서 이 효과는 결코 무시할 수 없는 것이다. 참고로 블랙홀에 빨려들어가면 미친 듯이 가늘어지 는 것도 이 효과 때문.[19] 물리에 매우 익숙한 사람이라면 이 아이디어가 미분과 유사하다는 걸 알 수 있을 것이다. 사실, 이 아이디어로 정의되는 수학적 대상 중 하나가 바로 다양체(manifold)이며, 이 다양체를 다루는 학문이 바로 미분기하학이다. 이러니, 애초부터 일반상대론은 미분기하학으로 다뤄질 수 밖에 없는 학문인 셈이다.[20] 이를 최소 등가원리라고 부른다. 그리고 이것은 아인슈타인 이전부터 계속 논의 되어 왔으며, 아인슈타인 이전에 실험을 시작하여 일반상대론 발표 이후까지 실험을 계속한 과학자도 있다.[21] 첫 번째 가정을 이용하는 과정은 Landau, Lipshitz의 'The classical theory of field'에서, 두 번째 가정을 이용하는 과정은 한스 오하니언의 '중력과 시공간'에서 찾을 수 있다.[22] 두 제약의 연관성도 제법 강하다. 하지만 이를 설명하기엔... 더 이상의 자세한 설명은 생략한다.[23] 사실 라그랑지안을 만들 때 조건 하나가 더 붙긴 하지만...[24] 한편, 전술하였듯이, 같은 방법으로 (즉 순전히 논리적 사유만으로) 맥스웰 방정식을 '유도해'낼 수 있다! 바로 앞의 주석에서 소개한 두 책에서 이를 유도하고 있다. 하지만 이 내용은 아인슈타인의 업적 이후에 그 업적을 본따서 만든 것이다.[25] 등가원리[26] 공부하면 알겠지만, 뉴턴의 중력 이론이 일반상대론의 구축에서 쓰이는 일은, 비례 상수 맞추는 것하고 일반상대론의 근사가 뉴턴 법칙과 맞는다는 걸 보일 때 말고는, 아예 없다. 더군다나 빛이 휘어서 온다느니 블랙홀이 있다느니 하는 내용은 훗날 관측된 것이다. 아인슈타인이 중력 이론을 새로 구축하겠다고 한 것도 어떤 관측을 보고 그걸 설명하려고 한 건 아니고 단지 뉴턴의 중력 이론이 자신의 특수상대론과 모순(뉴턴의 중력이론은 원격작용으로, 그 힘의 전달속도가 무한이기 때문에 특수상대론과 안 맞음)이라는 걸 보고 아예 중력이론을 새로 만들겠다고 해서 시작된 것이다.[27] 최종적으로 얻어진 아인슈타인의 장방정식, 즉 모든 중력을 기술하는 방정식의 모양이 너무나도 간단해서 아름답다고 할 수도 있겠지만, 이는 다소 과장이 없지 않은 게, 그 방정식을 측지텐서 성분들로 분해하여 나타내면 그것만큼 끔찍한 녀석도 드물 것이기 때문이다. [28] 그 연장선 상에 표준모형이 있다.[29] 여담이지만, 우주 멀미의 큰 원인 중 하나가 이것 때문이라고도 한다.[30] 그래서 국소적인 영역에서만 관성 좌표계와 같다고 저 위에서 설명한 것이다. 휘어진 공간이라도 엄청 작은 영역에서 보면 평평할 것이고, 이 영역에서는 관성 좌표계와 같다고 볼 수 있을 것이기 때문이다.[31] 사실 이건 위의 조석력을 가지고 한 사유 없이도 가져봄직한 아이디어다. 더군다나 시공간이 아예 평평하다는 것보단 더 일반적이고. 하지만 가만 생각해 보면 아무도 모르는 상태에서 시공간이 휘어져 있다는 생각을 감히 해낼 수 있을까 하는 생각도 든다.[32] 반변벡터는 반대로변하고, 공변벡터는 같이 변한다는 느낌으로 좀더 정확히 이해하려면 아래 식에서 원래좌표 또는 바뀐 좌표가 분모와 분자 중 어느 곳에 위치하는지를 보자[33] 이런 경우 해당 기하를 리만 기하라고 부른다. 일반 상대성 이론에서 다룰 기하는 사실 이와 조금 다른 유사-리만 기하(pseudo-Riemann geometry)이다.[34] 위에서 주석으로 언급했듯이 실제로는 유사-리만 기하 중 하나가 바로 아인슈타인이 원하던 것이다. 실제로 상대성 이론에 적합한 유사-리만 기하을 가리켜 로렌츠 기하(Lorentz geometry)라고도 부른다.[35] 물론 $$F_{\mu \nu} = D_\mu A_\nu - D_\nu A_\mu$$로 정의된다. 신기하게도, 공변 도함수의 정의를 그대로 정의하면 $$D_\mu A_\nu - D_\nu A_\mu = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$$와 같다는 것을 보일 수 있다. 하지만 이런 게 모든 물리에서 나타나는 것은 또 아니다.[36] 그렇지 않아도 물리적으로 의미 있는 양이 있긴 하다. 애매하긴 하지만... 우주 상수가 바로 그것인데, 조금 있다가 다루겠다.[37] 지금 와서 이야기하는 것이지만 사실 이 가정은 처음부터 안 잡아도 됐었다. 이미 축약의 $$\eta_{\mu \nu}$$는 측지 텐서로 교체되어야 했었고 이것은 일반적인 좌표 변환을 고려했을 때 이미 상수는 아니기에 측지 텐서의 동역학, 혹은 액션을 고려해야 하긴 했었다. 여기서 좀 더 계산을 해 봐야, 즉 측지 텐서의 액션을 구해 봐야 진짜로 시공간이 평평한지 아닌지를 확실하게 말할 수 있을 것이지만 말이다.[38] 단지 리만 기하일 것인가, 로렌츠 기하일 것인가, 아니면 다른 유사-리만 기하 중 하나일 것인가 중에서 로렌츠 기하일 것인가만 정하는 게 어떻게 보면 등가원리의 전부인 것으로 보인다. 그래도 등가원리가 갖는 또 하나의 의의를 꼽자면 특수 상대성 이론에서 성립하던 물리 법칙들을 일반 상대성 이론으로 끌고 올 수 있는 동기 정도이겠다.[39] 책마다 $$\mu, \nu, \rho$$의 순서가 다르다. 그렇다고 해도 $$\rho$$가 맨 앞에 있느냐 맨 뒤에 있느냐 차이뿐이다. 아무튼 주의할 것.[40] 사실 이차 도함수는 기대하지 않는 것이다. 다만 적당한 변형을 통해 이것을 일차 도함수의 제곱으로 생각할 수 있다. 다소 테크니컬하고 지금 중요하진 않은 이야기라 자세한 내용은 생략하겠다. 더 알고 싶으면 Landau, Lifshitz의 The Classical theory of Fields 93절을 참고할 것.[41] 이는 leading term이 Ricci scalar라는 것이 실험적으로 증명되었기 때문에 다음과 같이 쓴다. 또한 더 정밀한 블랙홀 솔루션을 고려하는 경우 다른 리만 텐서 또는 리치 텐서의 곱도 추가된다. Ricci 스칼라만 있는 경우는 어디까지나 퍼스트 오더 어프록시메이션이다. 이런 경우가 아닌 것은 conformal gravity, gauss bonnet gravity가 있는데 이에 대한 이야기는 arXiv를 참고하라.[42] 측지 텐서 혹은 곡률 만을 위한 액션 항은 사실 상 임의로 정할 수 있다. 만약 정말로 시공간이 휘어져 있지 않다면 그 항은 0일 것이다. 반대로 라그랑지안이 얼마든지 더 복잡해 질 수도 있다. 예컨대 Ricci 스칼라의 2차 혹은 그 이상의 다항식이 될 수도 있다. 실험은 제일 간단한 1차식을 지지해 주지만. 불행하게도 양자장론에서 쓰이는 재규격화 가능성 같은 제약이 시공간의 액션에는 없다.