비오-사바르 법칙
1. 개요
'''Biot–Savart law'''
1819년 외르스테드(Oersted)가 전류가 흐르는 도체 주위에서 나침반이 흔들린다는 사실을 발견한 직후, 비오(Jean Biot; 1774~1862)와 사바르(Savart;1791~1841)가 발견한 것으로, 자기장에 관한 쿨롱의 법칙이라 말할 수 있다.
2. 상세
[image]
비오와 사바르는 일정한 전류가 흘러가는 도선에 의해 생성되는 미소 자기장은 아래와 같은 관계에 있다는 사실을 발견하였다.
$$\displaystyle d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{d \mathbf{l} \times \boldsymbol{\xi} }{\xi^{3}}$$
위의 수식을 풀어서 설명하면, 다음과 같다.
- 미소 자기장의 크기는 전류의 크기에 비례하고, 도선까지의 거리의 제곱에 반비례한다.
- 미소 자기장의 방향은 $$ d \mathbf{l} $$과 $$ \boldsymbol{\xi} $$가 만드는 평면에 수직한 방향이다.
위에서 나타낸 경우는 가장 간단한 케이스이고, 부피나 면적을 지나가는 전류에 대해서도 비오-사바르 법칙을 생각할 수 있다. 증명은 학부 전자기학 수준이므로 식만 쓰도록 하겠다. 첫 번째는 부피를 지나가는 전류, 두 번째는 면적을 지나가는 전류이다.
$$\displaystyle d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} }{4 \pi} \frac{ \mathbf{J} \times \boldsymbol{\xi} }{\xi^{3}}\,dV \qquad \qquad d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} }{4 \pi} \frac{ \mathbf{K} \times \boldsymbol{\xi} }{\xi^{3}}\,da$$
여기서 $$ \mathbf{J},\,\mathbf{K} $$는 각각 부피 전류 밀도, 표면 전류 밀도이다.수식이 굉장히 복잡하여, 고등학교 과정에서 언급은 거의 없는 편이고, 대학 진학 후 일반물리학에서 처음 만나게 되는 게 대부분일 것이다. 그래서 물리Ⅱ를 배우고가는 학생들이 일반물리학에서 가장 생소하게 느끼는 부분이기도 하다. 쿨룽의 법칙과 달리 자기장은 고등학교 과정 내내 앙페르 법칙으로 계산하기 때문이다.
이를 이용하면, 무한 도선과 원형 도선에 전류가 흐를 때, 자기장을 구할 수 있다. 자세한 것은 아래 두 문단을 참조.
3. 대표 예제
3.1. 무한 도선
그림과 같이 $$ \hat{\mathbf{z}} $$ 방향으로 놓이고, $$ \hat{\mathbf{z}} $$방향으로 정상전류가 흐르는 무한한 길이의 도선을 고려해보자. 여기서 도선으로 부터 $$ \rho $$만큼 떨어진 점 P에서의 자기장을 구할 것이다. (좌표계의 원점은 $$\mathrm{O}$$로 잡는다.)
[image]
원통 좌표계를 생각했을 때,
$$\displaystyle d \mathbf{l}=dz \hat{\mathbf{z}},\,\, \boldsymbol{\xi}=\rho \hat{\boldsymbol{\rho}}- z \hat{\mathbf{z}}$$
이므로 비오-사바르 법칙에 의해$$ \displaystyle d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{dz \hat{\mathbf{z}} \times (\rho \hat{\boldsymbol{\rho}}- z \hat{\mathbf{z}}) }{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}} =\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{\rho \,dz }{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} $$
이므로 무한한 직선 도선이 만드는 자기장은$$ \displaystyle \mathbf{B} =\int_{-\infty }^{\infty }\,\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{\rho \,dz }{(\rho^{2}+z^{2})^{3/2}}\,\hat{\boldsymbol{\phi}}=\frac{\mu_{0} }{2 \pi }\frac{I}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\phi}} $$
이다. 따라서 직선 도선 주위의 자기장은 원형으로 만들어진다. 고등학교 이하에서는 앞의 상수를 $$ \displaystyle \mu_{0} /2 \pi \equiv k $$를 놓아 가르친다. 즉,
$$ \displaystyle B=k\frac{I}{\rho} $$
로, 자기장 방향은 아래와 나와있는 오른나사 법칙을 따르고, 크기는 도선과의 거리에 반비례, 도선에 흐르는 전류의 세기에 비례한다고 가르친다.[image]
이상을 토대로, 무한 직선 도선 주변에 생성되는 자기장의 모습은 아래와 같다.
[image]
3.2. 원형 도선
그림과 같이 $$ xy $$평면 상에 놓이고, 원점이 그 중심인 정상전류 $$ I $$가 반시계 방향으로 흐르는 반지름 $$ R $$인 원형 도선을 고려하자. $$ z $$축 위의 점 $$ \mathrm{P}(0,\,0,\,z) $$에서 자기장의 세기를 구할 것이다. 즉, 원형 도선의 축 위에서의 자기장을 구한다.
[image]
원통 좌표계를 생각했을 때,
$$ \displaystyle d \mathbf{l}=R\,d \phi \, \hat{\boldsymbol{\phi}},\,\, \boldsymbol{\xi}=z \hat{\mathbf{z}}-R \hat{\boldsymbol{\rho}} $$
이므로 비오-사바르 법칙에 의해$$\displaystyle d\mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{R\,d \phi \, \hat{\boldsymbol{\phi}} \times (z \hat{\mathbf{z}}-R \hat{\boldsymbol{\rho}}) }{(R^{2}+z^{2})^{3/2}}$$
그런데, 축 위에서 $$ \hat{\boldsymbol{\rho}} $$ 방향에 대칭성이 있고, 따라서 $$ d \mathbf{B} $$의 $$ \hat{\boldsymbol{\rho}} $$ 방향에 해당하는 성분은 적분을 할 경우 상쇄될 것으로 기대되므로 $$ \hat{\mathbf{z}} $$ 방향 성분만 고려한다.$$ \displaystyle dB_{z}=\left[ \frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{R\,d \phi \, \hat{\boldsymbol{\phi}} \times (z \hat{\mathbf{z}}-R \hat{\boldsymbol{\rho}}) }{(R^{2}+z^{2})^{3/2}} \right] \cdot \hat{\mathbf{z}}$$
따라서$$ \displaystyle dB_{z}=\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{R^{2}\,d \phi }{(R^{2}+z^{2})^{3/2}} $$
로 정리된다. 이상에서,$$ \displaystyle B_{z}=\int_{0}^{2 \pi}\,\frac{\mu_{0} I}{4 \pi} \frac{R^{2}\,d \phi }{(R^{2}+z^{2})^{3/2}} = \frac{\mu_{0} IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}} $$
으로 결정된다. 따라서 원형 도선의 축 위에서 만들어지는 자기장은$$\displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_{0} IR^{2}}{2(R^{2}+z^{2})^{3/2}}\hat{\mathbf{z}} $$
이다.여기서 $$ z \rightarrow 0 $$일 때,
$$ \displaystyle \mathbf{B}=\frac{\mu_{0} I}{2R}\hat{\mathbf{z}} $$
가 되는데, 고등학교 이하에서는 앞의 상수 $$ \displaystyle \mu_{0} /2 \equiv k ' $$으로 놓아$$ \displaystyle B=k '\frac{ I}{R} $$
로 하여, 자기장의 방향은 아래의 '오른나사 법칙'에 따르고, 크기는 원형 도선의 중심에 생성되는 자기장은 전류의 세기에 비례, 원형 도선의 반경에 반비례한다고 가르친다.[image]
4. 앙페르 법칙과의 연관성
실은 앙페르-맥스웰 법칙(이하 AML)과 비오-사바르 법칙(이하 BSL)은 서로가 서로를 유도할 수 있는 동치인 명제이다.
4.1. AML -> BSL
아래 그림에서 푸른색 원을 따라 앙페르-맥스웰 법칙을 사용하면 $$2\pi RB=\mu_0\epsilon_0\dfrac{{\rm d}\Phi_E}{{\rm d}t}$$
[image]
보라색 구면을 투과하는 전기 선속의 총량은 가우스 법칙에 의해 $$\dfrac{Q}{\epsilon_0}$$이고, 푸른색 원이 차지하는 입체각은 $$2\pi(1-\cos \alpha)$$이므로 푸른색 원을 투과하는 전기선속은 $$\dfrac{Q}{\epsilon_0} \dfrac{2\pi(1-\cos \alpha)}{4\pi}$$이다. 이를 더 정리하면
[math(\Phi_E=\dfrac{Q}{\epsilon_0} \dfrac{2\pi(1-\cos \alpha)}{4\pi}=\dfrac{Q}{2\epsilon_0} \left(1-\dfrac{h}{r}\right)\\
\therefore \dfrac{{\rm d}\Phi_E}{{\rm d}t}= \dfrac{Q}{2\epsilon_0} \dfrac{\rm d}{{\rm d}t} \left(1-\dfrac{h}{r}\right)\\
= -\dfrac{Q}{2\epsilon_0} \dfrac{h'r-hr'}{r^2})]
여기서 점전하가 h와 평행하게 움직이고, 움직이면 h가 줄어들기 때문에 $$v=-\dfrac{{\rm d}h}{{\rm d}t}$$이고, $$r^2=R^2+h^2$$의 양번을 t에 대해 미분하면 $$2rr'=2hh'=-2hv$$이므로 위의 식은
[math(=- \dfrac{Q}{2\epsilon_0} \dfrac{h'r^2-hr'r}{r^3}\\
= \dfrac{Q}{2\epsilon_0} \dfrac{v(r^2-h^2)}{r^3}\\
\therefore 2\pi RB=\mu_0 \dfrac{Q}{2} \dfrac{v(r^2-h^2)}{r^3}= \mu_0 \dfrac{Q}{2} \dfrac{vR^2}{r^3}\\
B= \mu_0 \dfrac{Q}{4\pi} \dfrac{vR}{r^3}= \mu_0 \dfrac{Qv\sin\alpha}{4\pi r^2})]
여기서 ''B''의 방향이 $$\bf v\times r$$과 같으므로 위의 식을 벡터로 나타내면 $${\bf B}=\mu_0\dfrac{Q{\bf v}\times\hat r}{4\pi r^2}= \mu_0\dfrac{Q \bf v \times r}{4\pi r^3}$$
미소 전류 요소를 미소 전하의 운동으로 간주하면 $$Q{\bf v}=I{\rm d \bf l}$$이 되므로 위의 식과 동일한 결론을 얻는다.
4.2. BSL -> AML
위의 자기장 식은 쿨롱 법칙에 의한 전기 변위장 $${\bf D}=\dfrac{Q \bf r}{4\pi r^3}$$에서 아래와 같이 변형할 수 있다.
$$\bf H=v \times D$$
따라서 양변에 델 연산자를 외적하면
$$\bf \nabla\times H=\nabla \times (v \times D)$$
벡터 항등식 $$\bf \nabla\times(a \times b)=(\nabla \cdot b)a-(\nabla \cdot a)b+(b\cdot\nabla)a-(a\cdot\nabla)b$$에 의해 위 식은
$$\bf \nabla\times H=(\nabla \cdot D)v-(\nabla \cdot v)D+(D\cdot\nabla)v-(v\cdot\nabla)D$$
이때 점전하의 속도는 위치와 무관하므로 $${\bf \nabla \cdot v}=0, \bf (D\cdot\nabla)v=0$$이고, 가우스 법칙 $${\bf \nabla \cdot D}=\rho_f$$에서 $${(\bf \nabla \cdot D)v}=\rho_f{\bf v=J}_f$$이므로 $${\bf \nabla\times H=J}_f-\bf (v\cdot\nabla)D$$가 성립한다. 앙페르-맥스웰 법칙과 비교하면 $${\bf -(v\cdot\nabla)D}=\dfrac{\partial\bf D}{\partial t}$$만 증명하면 됨을 알 수 있다. $$\mathbf v=v\hat z$$라 하면 $${\bf -(v\cdot\nabla)D}=-v\dfrac{\partial\mathbf D}{\partial z}$$인데, 점전하의 위치가 $$(0,0,vt)$$이므로 위의 전기 변위장은 $$\mathbf D=\dfrac{Q(x,y,z-vt)}{\sqrt{(x^2+y^2+(z-vt)^2)^3}}$$이다. z와 t가 항상 z-vt 형태로 등장하므로 $$\dfrac{\partial\mathbf D}{\partial z}:\dfrac{\partial\mathbf D}{\partial t}=1:-v$$가 되어 앙페르-맥스웰 법칙이 성립함을 확인할 수 있다.
[각주]