읽고 말하기 수열

 



1. 개요
2. 상세
3. 성질


1. 개요

look and say sequence · 읽고(보고) 말하기 數列, 개미 數列
1로 시작하여, 읽고 말하는 대로 다음 항을 도출하는 수열이다. '''보고 말하기 수열'''이라고도 하며, 프랑스의 유명 소설가 베르나르 베르베르의 소설 <개미>에 등장한다고 하여 '''개미 수열'''이라고도 한다. 이 수열은 일상적 언어를 사용한 구술적인 방식으로 정의되기에, 엄밀한 수학적 표현으로 정의되는 여타 수열과 달리 일반항이나 점화식을 구하기 어렵다.
콘웨이의 생명 게임으로 유명한 존 호튼 콘웨이가 만들었다.

2. 상세

읽고 말하기 수열을 $$L_n$$($$n$$은 자연수)[1]이라 하자. $$L_1=1$$이라 하고, $$L_{n+1}$$의 값은 $$L_n$$의 값의 각 자릿값을 따지는데, 만약 '$$a$$개의 $$b$$, $$c$$개의 $$d$$...'가 된다면 $$abcd$$[2] 식으로 모든 수를 붙여서 나타낸다. 단, 큰 자리부터 개수를 세되, 자릿수의 값이 달라지면 세기를 중단하고 그 달라진 수의 개수를 센다. 또한, 각 자릿수에 전혀 등장하지 않는 수는 '0개의 1' 따위로 세는 것이 아니고 아예 표시하지 않는다. 그러면 읽고 말하기 수열은 다음과 같이 된다. 말로만 설명해서는 이해가 어려울 것이니 직접 수열을 보라.
$$n$$
$$L_n$$
$$1$$
$$1$$
$$2$$
$$11$$[3]
$$3$$
$$21$$[4]
$$4$$
$$1211$$[5]
$$5$$
$$111221$$[6]
$$6$$
$$312211$$[7]
$$7$$
$$13112221$$[8]
$$8$$
$$1113213211$$[9]
⋮
⋮
이 경우 읽고 말하기 수열의 일의 자리는 항상 $$1$$이다. $$L_{1}=1$$인 이상 마지막에는 '$$1$$'의 개수를 셀 수밖에 없고, '$$n$$개의 $$1$$'이 되어 '$$n1$$' 꼴로 표기가 끝날 수밖에 없다.
혹은, '$$a$$개의 $$b$$'가 아니라 '$$b$$가 $$a$$개' 식으로 나타낼 수도 있다. 그러면 읽고 말하기 수열은 다음과 같이 된다.
$$n$$
$$L_n$$
$$1$$
$$1$$
$$2$$
$$11$$[10]
$$3$$
$$12$$[11]
$$4$$
$$1121$$[12]
$$5$$
$$122111$$[13]
$$6$$
$$112213$$[14]
$$7$$
$$12221131$$[15]
$$8$$
$$1123123111$$[16]
⋮
⋮
이 경우, 수열의 각 항의 자릿수의 배열이 모두 역순이 되므로 맨 앞 자리가 항상 1이 된다.

3. 성질

각 자릿수의 값이 몇 개인지 세어 그것을 다음 항의 표기에 반영하므로, 한 번 출현한 자릿수는 영원히 그 수열에서 사라지지 않는다. 예를 들어 한 번 $$3$$이 어떤 항의 어떤 자릿수에 출현하면, $$3$$이 몇 개인지 세어 '$$n$$개의 $$3$$' 또는 '$$3$$이 $$n$$개' 식으로 그 바로 다음 항의 표기에 반영하므로, $$3$$이 다음 항의 적어도 하나 이상의 자릿수에 출현하게 된다. 그렇다면 그 다음의 항도, 또 그 다음의 항도 마찬가지임은 자명하다. 이를 수학적으로 표현하면 다음과 같다.
임의의 자연수 $$m$$, $$n$$과 $$0\leq{a}\leq{9}$$인 정수 $$a$$에 대하여, $$L_n$$의 적어도 하나 이상의 자릿수에 $$a$$가 출현한다면,
$$m$$의 값에 관계없이 $$L_{n+m}$$의 적어도 하나 이상의 자릿수에 $$a$$가 출현한다.
[1] 영어 'Look and Say sequence'의 첫 글자를 땄다.[2] 여기에서 $$abcd$$란 $$a×b×c×d$$의 의미가 아니다. 만약 $$a=1, b=2, c=3, d=4$$라면 $$abcd=1234$$가 되는 식이다.[3] $$1$$은 '1개의 1'이다.[4] $$11$$은 '2개의 1'이다.[5] $$21$$은 '1개의 2, 1개의 1'이다.[6] $$1211$$은 '1개의 1, 1개의 2, 2개의 1'이다.[7] $$111221$$은 '3개의 1, 2개의 2, 1개의 1'이다.[8] $$312211$$은 '1개의 3, 1개의 1, 2개의 2, 2개의 1'이다.[9] $$13112221$$은 '1개의 1, 1개의 3, 2개의 1, 3개의 2, 1개의 1이다.[10] $$1$$은 '1이 1개'이다.[11] $$11$$은 '1이 2개'이다.[12] $$12$$는 '1이 1개, 2가 1개'이다.[13] $$1121$$은 '1이 2개, 2가 1개, 1이 1개'이다.[14] $$122211$$은 '1이 1개, 2가 2개, 1이 3개'이다.[15] $$112213$$은 '1이 2개, 2가 2개, 1이 1개, 3이 1개'이다.[16] $$12221131$$은 '1이 1개, 2가 3개, 1이 2개, 3이 1개, 1이 1개'이다.

분류