적분과 통계
1. 개요
7차 교육과정이 2007년에 개정되어 2009년 고등학교 입학생부터 2013년 입학생까지 적용되는 고교 3학년용 수학 과목 중 하나.[1] 이과생의 교과서로 학교에서 수학Ⅰ, 수학Ⅱ 단계를 밟았다면 다음 단계로 선택하게 되는 교과이다. 그리고 1단원이 적분인 최초의 교과서로 내용은 적분 + 확률과 통계.
2. 단원 목차
2.1. Ⅰ. 적분법
- 부정적분: 구간이 정의되지 않은 적분. 모든 적분의 기본이며 미분의 역연산이다. 미분을 못하면 적분도 못하는 이유. 다만, 미분은 공식이 간단한데 적분은 '거꾸로' 해야 하기에 공식이 조금 복잡해지고, 까다로운 적분도 꽤 있다. 미통기의 적분과 이과 적분의 가장 큰 차이점은 크게 둘이다. 하나는 초월함수를 포함한다는 것이고 둘은 부분/치환적분을 배운다는 것. 초월함수를 낀 부분적분과 치환적분은 정말 눈돌아가게 복잡하다.
- 정적분: 둥글둥글하고 곡선이 있는 통의 부피를 구한다면 계산하는 것보다(계산할 수 있을지도 미지수지만) 작은 모래 같은 것을 채워서 몇 개 들어가는지, 실용적으로는 얼마만큼의 부피가 채워지는지 구하는 게 낫다. 이와 같은 방법을 구분구적법이라 하는데, 이렇게 계산한 결과가 정적분이다. 따라서 원래는 무식하게 정적분을 구해야 하지만, 부정적분으로 정적분을 구하는 방법이 있기에(정적분의 기본 정리, 또는 미분적분학의 기본 정리) 간편하게 구할 수 있다. 부정적분은 정적분과 계산 과정이 거의 비슷하다. 오히려 정적분 파트 맨 처음에 나오는 구분구적법이 개념 응용 문제로 나오기엔 더 좋다. 구분구적법은 반드시 개념적으로 이해하도록 한다. 구분구적법을 외워서는 답이 없다. 머릿속으로 이해한 구분구적법의 개념을 실제 공식으로 써내는 연습이 잘 되어 있는 편이 좋다.
- 정적분의 활용: 정적분을 활용하여 그래프에서 넓이 구하기, 부피구하기, 속도와 거리 구하기, 곡선의 길이 구하기 등의 내용이 있다.
2.2. Ⅱ. 순열과 조합
- 순열: 고1 수학에서 배운 순열과 조합을 바탕으로 원순열, 같은것이 있는 순열, 중복순열 등을 배운다.
- 중복조합과 이항정리: 중복조합이라는 내용이 새로 생겼다. 각각 언제 써야 되는지를 구별할 수 있어야 한다. 처음 할 때는 쉽지는 않다. 특히 중복조합은 개념 잡기가 쉽지 않으니 주의. 이항정리는 $$(a+b)^n$$ 식의 일반항을 구할 수 있게 한다. 일반적으로 순열이나 경우의 수보다는 쉬운 편.
2.3. Ⅲ. 확률
- 확률의 뜻과 활용: 확률을 집합을 이용하여 수학적으로 정의하고, 몇 가지 성질과 법칙을 다룬다. 두 사건이 배반사건일 때 a이거나 b일 확률은 a일 확률과 b일 확률의 합이라는 것이 나온다.
- 조건부확률: 특정한 사건이 일어난다고 가정할 때 또 다른 특정한 사건이 일어날 확률을 구하는 것을 조건부 확률이라 한다. a이면서 b일 확률이 a일 확률과 b일 확률의 곱이 되는데, 맞지 않는 경우도 있다. 이에 대해서 배운다.
2.4. Ⅳ. 통계
- 확률 분포: 중학교에서 배웠던 그런 통계라기보단 확률의 연장 단원이라고 생각해야 한다. 이산확률분포와 이항분포, 연속확률분포, 그리고 거기서 파생된 표준정규분포 그래프를 배우게 되며, 이때 등급제의 개념이 어떠한 것인가를 알게 된다.[2]
- 통계적 추정: 많은 부분을 '알려져 있다.'으로 때우는 부분이기도 하다. 고등학생에게 설명하려면 책이 엄청 두꺼워지고 어려워지기 때문이다. 흔히들 언론에 나오는 신뢰도 xx%에 오차 x%[3]가 이 내용의 일부분이다.
3. 대학수학능력시험 수학 가형
난이도는 확률 파트는 쉬운편이며 통계도 어려운 문제는 어렵지만 일부 유형을 제외하면 대부분 무난한 편. 고난도 문항은 거의 적분 쪽에서 나왔다. 사실상 적분을 제외하고 보면 순열쪽이 다소 까다로울 수 있지만 통계는 별로 응용할 여지가 없다. 2014년 입학생부터 적용되는 2009년 개정 교과과정[4]부터는 확률과 통계로 복귀한다. 적분은 고2 단계인 미적분Ⅰ, 미적분 II, 적분의 활용 중 일부 내용은 고3 단계인 기하와 벡터, 회전체의 부피는 과학고, 영재고 과정인 고급 수학 II 로 대체되었다.
그리고 그런 문제가 이미 출제된 경력이 있다. 이하 서술. 2011년 이래로 계산문제의 비중이 꾸준히 증가하는 추세다. 적분 단원의 중요성이 매해 상승하고 있다고 받아들여도 좋다.
3.1. 단원별 의견
1단원에서는 주의할 부분이라면, 정적분과 무한급수를 연관짓는 문제를 잘 기억하도록 하자.(정의를 잘 이해해 두고 끼워맞추기를 잘 해야 한다.) 덧붙여, 최근 경향은 부분적분에서 어려운 문제를 출제하고 있고, 치환적분과 구분이 쉽지 않은 꼴로 출제되어 난이도 상승을 유도하고 있다. 혹자는 적분을 수리 가형에서 변별력 문제이지 않다고 말하지만 천만의 말씀. 2010년 29번 부분적분 문제는 계산이 까다롭고 풀이 과정이 비 직관적이며 개념을 완전히 꿰고 있어야 맞출 수 있던 문제. 2011학년도 가형 28번 문제는 3점임에도 불구, 당해 가장 '''시험장에서 풀기 어려운 문제'''라 할 수 있는 신유형 이었다. 부분적분을 사용해야하는지 치환적분을 써야하는지, 혹은 다른 수를 써야하는지 아리송한 문제가 출제되면 시간이 안드로메다로 흘러가기 딱 좋다. '''결국 1등급 컷이 79점이었다.''' 또한, 역대 초월함수 미적이 5문제중 중요한 부분에서만 다뤄졌기 대문에 개정교육과정상에서 응용 가능성이 무궁무진하다. 다항함수보다 초월함수가 비직관적이고 계산이 복잡하단 점도 난이도 올리기에 한몫 한다. 최근 평가원도 이 점을 인지하고 있는지 적분 킬러 문항을 이쪽에서 주로 내고 있다. 정적분 문제가 나왔을 때는 가장먼저 주어진 식이 단순히 미분의 역연산으로 되어있는지를 확인한다. 다만 이 케이스는 너무 쉬워서 그냥 암산으로 답이 나오니 때문에 대부분의 학생들에게 문제되지 않는다. 이 케이스가 아니라면 둘째로 치환적분을 생각해보면 좋다. 치환적분으로도 풀리지 않을 경우 부분적분을 생각해보면 되고 여기까지 왔는데 풀리지 않으면 고등학생 수준에서의 결론은 두가지로 압축된다. 중간과정에서 실수로 인해 계산이 틀렸거나 적분이 불가능한 경우다.
2단원 순열 조합 파트의 가장 큰 특징은 '''정해진 유형이 없기 때문에''' 사고하는 훈련을 해야한다. 문제집을 사서 다양한 유형을 풀어보는 것말고는 답이 없는 파트. 이 외에도 특히나 수학적 사고를 많이 요구하는 파트이다. 수능과 평가원 문제의 경우에는 생각보다 그리 어려운 편은 아니다. 교과서에서 나오는 예제들만 풀 수 있어도 가볍게 해결할 수 있는 문제가 대부분이다. 이항정리에는 대표적으로 두 가지 유형이 있는데, C를 이용해 예를 들면 x의 3제곱의 계수는 무엇인가?를 묻는 첫 번째, 그리고 식을 나열해서 그걸 모두 더하면 어떤 식이 되는지를 묻는다. 난이도는 후자가 더 어려우며, 귀납법과 연관지어지기도 한다. 후자의 경우 특히 전용 공식도 몇 개 있어(...) 머릿속에 잘 담아두지 않았다면 뜬금없이 튀어나와 점수를 깎아먹을 수도 있다.
3단원 확률 파트는 표 그려서 풀면 쉽게 풀린다. '''다만, 작정하고 출제자들이 마음 먹으면 굉장히 어렵게 낼 수 있다는 것.''' 대표적으로 2011학년도 가형 9월 모평 24번 문제를 들 수 있다.
4단원은 개념을 정확히 알아야 한다. 수능의 다른 여러 과목의 등급싸움에도 이 내용이 관련이 되어 있기 때문에 수학'''만''' 못하는 학생들도 이 과목만큼은 눈에 불을 켜고 공부할 정도(…). 맨 끝에 나오다 보니 다소 중요성이 떨어지는 파트긴 하지만 그 허점을 역으로 노려 종종 출제되기도 한다. 공부를 하기에 조금 애매한 감이 있지만, 그래도 공부해 두도록 하자. '''안 해놓고 틀리면 억울하다.''' 2009학년도 수능에서 출제된 개념 복합형 통계 문제는 나형에서 정답률이 28% 였다.
4. 직전 교육과정과의 비교
기존 7차 과정에 "모비율 추정"이란 개념이 추가되었다. 정확히는 6차 교육과정까지 수학I에 모비율의 추정이 있다가 7차 교육과정에서는 수학I에서 탈락한 대신, 당시 미분과 적분 및 이산수학과 함께 3대 수학B형(수리가형) 심화선택 과목 중 하나였던 '확률과 통계'에 들어갔다. 하지만 당시 선택 과목 '확률과 통계'의 수능에서의 선택률은 전체 수리 가형 응시자의 3%가 채 안되는 수준이었으므로, 모비율의 추정은 문이과 및 예체능을 막론하고 대한민국의 거의 모든 학생들이 배우지 않은 내용이라고 보면 된다. 그 뒤 이 과목에 추가됨으로써 모비율의 추정은 이과생 한정으로 많이 배우는 내용으로 돌아오게 되었다.[5] 여담으로 다음 2009 개정 교육과정에서 '확률과 통계'에 문이과 공통과정으로 추가되어 문과생까지 배우게 되었고, 2015 개정 교육과정 때는 문이과 모두 배우지 않는다.
5. 여담
적분과 통계는 미분법, 적분법의 방대한 양을 교과서 하나를 모두 차지할 정도여서 미분법은 수학Ⅱ로, 적분법은 굳이 통계와 합쳐서 적분과 통계로 만들어 놓았다. 이 때문에 문과생들은 '이과생은 미분을 따로 안 배우나요?'라는 오해를 품었다고 한다. 그리하여 미적분과 통계 기본과 함께 2007 개정 교육과정의 뻘짓으로 널리 회자되고 있다. 자세한 내용은 미적분과 통계 기본 문서의 여담 항목 참조.
위에서 말했다시피 기존 7차 교육과정(97년 체제)의 확률과 통계가 들어가 있고, 적분도 분량 조절 실패로 내용이 모자라서 미분과 적분을 쪼개서 탄생시켰다. '''이 때문에 '적분'과 '통계' 사이의 관계성을 따지는 교사들이 생겨났을 정도로''' 7차 개정 교육과정의 수학 교과목 자체에 대한 이름 논란이 많았다. 사실 정적분이 연속확률분포에 응용되긴 하나 그 외에는 전혀 없기 때문이다.
참고로 공대를 가게 된다면 반드시 마스터해야 하는 내용들이다. 컴퓨터 공학(프로그래밍)[6][7]을 제외한 모든 분야에서 사용된다 해도 과언이 아니며, 수열, 확률 이론은 그야말로 적용되지 않는 분야가 없을 정도이다. 물론, 실험을 주로 하는 분야는 잘 몰라도 되지만, 어차피 연구/개발 분야로 진학하려면 최소한 석사, 본래는 박사가 있어야 하므로 이론적인 내용도 전부 다룰 줄 알아야 한다. 다소 어렵다고 느껴질 수도 있으니 제대로 익히지 못한다면 대학 가서라도 고등학교 때 풀었던 미적 공부를 다시 하던지 과를 바꾸는 것을 추천한다.
[1] 물론 대부분의 학교에서는 2학년 때 진도 열심히 나가서 수능 출제범위를 다 끝낸다.[2] 평균을 m, 표준편차를 a라고 할 때 1등급은 m+1.75a 이상, 2등급은 m+1.25a~ m+1.75a, 3등급은 m+0.75a~m+1.25a 등으로 한 등급씩 낮아질 때마다 0.5a씩 낮아진다는 것을 표준정규분포표를 통해 알게 된다. 그리고 표준점수가 무엇인지도 바르게 알고 표준점수를 통해 상위 몇 %인지도 예측 가능하다[3] 예를 들어 설명하자면 "병무청이 대한민국 20대 남성 1000명을 대상으로 펑균 키를 측정했는데, 측정 결과 평균 키는 173cm이다. 신뢰도는 95%이며 오차 범위는 ±1%이다."라는 문장이 있다. 여기서 신뢰도는 무작위로 대한민국의 20대 남성 1000명을 선정했을 때 95%의 확률로 평균 키가 171.27~174.73cm의 범위에 들어간단 소리다.[4] 실제 고시는 2011년에 발표됨. 고시 제2011-361호[5] 미적분과 통계 기본에는 모비율의 추정과 관련된 내용이 없다.[6] 그런데 컴퓨터 공학도 Digital Processing같은 과목은 미적을 기본으로 해야된다.(푸리에 변환 참조)[7] 실제로 1~3학년까지 수학에 100% 상관 없이 하다가 4학년 와서 영상처리와 같은 강의에서 미적분이 갑툭튀하자 머리싸매고 고민하고 좌절하고 학점포기하고 수강을 포기하는 학생들이 한둘이 아니다. 몇년간 완전히 손을 놓고 있다가 갑툭튀 하는거라 좌절감은 2배로 늘어난다.