수학Ⅰ(2007)
1. 개요
1997년 12월 30일 교육부 고시 1997-15호로 확정된 제7차 교육과정의 3번째 부분 개정인 2006년 수학과 개정 교육과정에서의 수학Ⅰ이다. 이 개정 교육과정은 4번째 부분 개정인 2007 개정 교육과정과 이후의 6번째 부분 개정인 2009 개정 교육과정까지 적용되었다. 2006년 개정 수학과 교육과정은 2009년~2013년 고교 신입생까지 해당한다.
1.1. 행렬과 그래프
행렬에 대한 개념을 배우는 과정. 아이러니 한 것은 원래 행렬은 대학교 가서 배우는 것이었다는 점이다. 애초에 벡터가 정의되어야 행렬이 정의되기 때문이다. 이렇다보니, "행렬 쉽던데?"라는 망발을 하는 이과생들이 대학교가서 행렬의 본모습을 보고 장렬히 산화하는 모습이 여럿 관찰되었다.[1] 그래도 문과생들에게는 '''상대적으로''' 쉽게 받아들일 수 있는 과목. 2014년부터는 일반적인 고교과정에서 아예 다루지 않고 과학고 과정인 고급수학I로 올라갔다.
1.1.1. 행렬과 그 연산
기본적인 행렬의 개념과 그 연산법을 배우는 과정이다. 여기서 행렬의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 배운다. 하지만 여기는 그저 역행렬을 배우기 위해 배우는 과정이라는 뉘앙스가 강하다. 교육과정엔 없지만[2] 많은 교과서와 참고서에서 케일리-해밀턴 정리를 다룬다.
tip : '''행렬의 곱셈'''에서는 '''교환법칙이 성립한다는 보장이 없다.[3]''' 그러나 결합법칙은 성립한다.''' 이것 때문에 4점짜리 ㄱㄴㄷ 진위판별 또는 행렬의 연산 문제의 단골손님이 된다.
1.1.2. 역행렬과 연립일차방정식
행렬학습과정의 꽃이라 불리우는 역행렬과 연립일차방정식이다(사실 역행렬 없으면 지금까지 낸 3점 이상 행렬 문제의 3분의 2 이상이 날아가야 할 정도로 많다). 아주 다행히도 역행렬은 2x2행렬의 역행렬만을 다룬다. 역행렬의 개념과 역행렬의 계산법, 변형공식을 배우고, 역행렬을 이용한 연립일차방정식 풀이도 배운다. 행렬의 '''가짜''' 존재 이유라고 할 수 있는 부분.[4] 수능에서 행렬내용을 출제한다고 하면 대부분 이 부분이 주로 출제된다.
역행렬부분에서는 매우 어려운 행렬의 참/거짓 판별 문제가 대(對)수험생용 결전병기로 꾸준히 출제되고 있다. 한가지 팁이 있다면, 평가원 문제에선 거의 교환법칙이 성립한다고 보면 된다. 애초에 교환법칙이 성립하지 않으면 고등학생에게 적절한 수준의 문제를 내는데 엄청난 제약을 받기 때문.
1.1.3. 그래프와 행렬
2007년 개정 교육과정에서 새로 추가되었다. 이로써 사실상 극소수를 제외하면 공부하지도 않았던 그래프와 행렬과의 관계가 문과 이과 관련없이 배우게 되었다. 내용의 난이도는 높지 않으나 사설 문제집에는 계산노가다의 정점을 보여주는 '더러운' 문제(예를 들어, 복잡한 그래프에서 경로를 일일이 찾는 문제 따위)가 왕왕 보인다. 예를 들면 2011년 3월에 시행한 전국연합 때는[5] 공통 29번 문제에 '''경로를 세는 문제로 등장하여 많은 학생들의 멘탈을 확인사살했다.''' 하나라도 놓친 순간 오답 직행이기 때문에 이 문제의 정답률은 '''1%''' 미만.
지수와 로그 단원은 행렬 뒷부분으로 이동했다.
'''그래프와 행렬'''의 핵심은 첫째, 그래프와, 그와 관련된 용어(꼭짓점, 변, 경로 등. 초등학교와 중학교에서 배웠던 개념과는 다르다!)를 파악하는 것이고 둘째, 그래프의 행렬과 그래프의 관계를 파악하는 것이다.
1.2. 지수함수와 로그함수
대개 지수함수와 로그함수 부분은 수열의 극한과 순열과 조합 사이에 나오는 경우가 대부분이지만, 수학의 정석에서는 지수와 로그 바로 뒤에 따라나온다. 그리고 실제 학교에서도 지수와 로그 다음에 가르치는 경우가 많다. 사실 지수와 로그 부분과 같이 묶여서 돌아가기 때문에 여기서는 이 부분에서 다룬다.[6][7]
함수 그래프 그리는 법과 함수의 성질을 정확히 알고 있지 않으면 문제에 손도 못대거나, 풀더라도 엄청난 삽질을 해야 풀 수 있다. 가형 추정정답률 4%, 나형 추정정답률 5%였던 2012수능의 30번 문제도 지수함수 관련 문제였다.
2014년부터 지수와 로그는 고1과정의 수학 II로 내려가고 지수함수와 로그함수는 미적분 2로 올라간다.
1.2.1. 지수
가장 기본적인 수학기호인 지수와 로그를 배우는 과정. 수학 Ⅰ에서 제일 쉬운 단원. 이거 모르면 수Ⅰ은 사실상 망한거나 다름없다. 단, 이 쪽도 고난도로 나오면 상당히 어려운 축에 들어간다. 함수와 결합되는 경우가 많은데 특히 ㄱ, ㄴ, ㄷ 선택형으로 나오면 이 쪽에 약한 사람들은 죽을 맛.
1.2.2. 지수함수와 그 그래프
지수함수의 특징과 지수방정식, 부등식을 배운다. 지수함수에서는 개념을 정확히 이해한다면 기본적인 문제들은 크게 지장이 없다. 지수방정식과 부등식은 밑을 똑같이 맞추는게 중요하지만 간혹 t라는 문자 형태로 치환해서 풀어야하는 문제들이 등장한다. 이럴 때 x의 범위와 t의 범위가 다르다는 것에 주의해야 한다.
그래프의 특징과 지수와 밑의 특징을 교묘하게 섞어서 내는것을 좋아한다. 또한 개수세기 단골 그래프로 유명하다.
1.2.3. 로그
로그(log)의 개념과 연산 및 응용계산과 상용로그에 대해 배운다.
그놈의 상용로그가 여기서 나온다. 문 이과 공통출제 사항이며 문과에게도, 이과에게도 녹록치는 않은 주제.(사실 상용로그의 탈을 쓴 개수세기) 꼭 지표의 특징과 가수의 특징을 이용하는 노가다성이 짙은 문제가 출제되어 많은 중위권애들을 죽여버리는 역할을 한다. 즉 이 고비를 넘기면 중상위권으로 향할 수 있다.
1.2.4. 로그함수와 그 그래프
로그를 함수화하였다. 로그함수의 특징과 로그방정식, 로그부등식을 배운다.
개수 세는 문제에선 아주 유용한 소스. 게다가 문과는 로그가 마냥 어려워 하는 애들도 많고 상대적으로 덜 직감적이라 꼭 같이 묶어서 낸다.
1.3. 수열
일정한 법칙이 있는 숫자들간의 법칙과 활용등을 배운다. 대표적으로 등차수열, 등비수열, 조화수열, 계차수열 등을 배우게 된다. 수Ⅰ에서 수열부분의 비중은 굉장히 크므로, 수열부분을 배우는게 중요하다.(수열과 수열의 극한만으로 수리 나형에서 10문제 정도가 출제된다.)
대부분의 시험에는 수험자가 태어나서 처음 보는 수열이 나온다. 등차, 등비, 계차 등의 정형화된 수열에 얽매이지 말고, 무슨 짓을 써서라도 '규칙'을 찾아내는게 중요하다. 직접 세는 것도 규칙을 찾아보는 좋은 방법 중의 하나. 사실 애초에 일반화를 통해 일반항을 바로 유도해 내는게 가장 좋은 방법이긴 하지만.
2014년부터는 고1과정으로 내려간다. 이 과정에서 계차수열,군수열,점화식의 일반항,알고리즘과 순서도를 다루지 않게되었다.
여담으로 수열은 불연속함수의 일종이다.
1.3.1. 등차수열과 등비수열
등차수열은 첫째항부터 차례로 일정한 수를 더하거나 빼는 수열. 대표적으로 2, 4, 6, 8, 10, …이 있다.
등비수열은 첫째항부터 차례로 일정한 수를 곱하거나 나누는 수열. 대표적으로 2, 4, 8, 16, 32, …, 2^n (n은 자연수)이 있다. 등비수열의 원칙을 응용한 원리합계도 단원에 들어가 있으나, 수능에 출제되지 않은 지 오래다. 유독 수1에서 원리합계 파트가 쥐약인 학생들이 많다. 다행히도 수능엔 알고리즘 급으로 잘 안나오는 편..
1.3.2. 여러가지 수열
말 그대로 '''여러가지''' 수열. 계차수열 이외에도 다양한 규칙을 가지는 수열들이 나온다. "태어나서 처음 보는 수열"이 바로 이 파트. 참고로 여기서 앞으로 지겹게 보게 될 '''Σ'''님이 등장하신다.
1.3.3. 수학적 귀납법
어떤 식이 초기값일때 식이 성립함을 증명하고 k일때 성립하면 k+1일때도 성립함을 보여 결국 모든 자연수 n에 대해 성립함을 보이는 증명 방식. 자세한 건 귀납법 항목 참조. 사실 이 단원에서는 귀납법보다는 오히려 수열의 점화식이 더 중요하다.
1.3.4. 알고리즘과 순서도
컴퓨터 프로그래밍의 기본 중 기본인 순서도 그리기를 배운다. 하지만 이제 와서는 아무도 신경쓰지 않는다... 문제도 정형화되어 있어 쉬운 편이다. 6월 모의 평가에 한 문제 정도(2010학년도. 30번) 출제되고, 수능에는 원리합계와 마찬가지로 안 나온 지 역시 10년이 넘었다. 그리고 결국 다음 개정에서 빠지게 됐다.
1.4. 수열의 극한
여기에서 나온 내용은 문과생, 이과생 가리지 않고 함수의 극한을 배우면서 자연수가 아닌 실수 전구간에서 다루게 될 것이다.
1.4.1. 무한수열의 극한
수열의 일반항을 무한으로 늘려 극한값을 구하는 것. 무한수열은 발산하거나 수렴한다. 수열이 극한에서 어떤 특정 값에 무한히 가까워 지는 것(실제론 그 값이 될 수 없더라도 상관 없다.)을 수렴이라 하고 그렇지 않은 것(양/음의 무한대, 진동 등)을 발산이라 한다. 어떤 두 수열이 수렴한다면 서로 더하기, 빼기, 곱하기에 한해서 수열의 극한값의 연산이 가능하다.
1.4.2. 무한급수
무한수열의 합. "어떤 수열의 무한급수가 수렴할 시, 그 수열은 0으로 수렴한다"[8]는 성질을 써먹는 문제가 나오기도 하고. 무한등비급수 개념을 이용한 도형 문제가 수능에 매년 꼭 출제된다. 첫째항과 공비를 금방 파악할 수 있으면 4점을 거저 먹을 수 있는 문제(...이다만 정답률은 40%대에서 노는 경우가 대부분이다. 안습 [9][10]. 주어진 그림에서 직각삼각형, 원을 찾아낼 줄 안다면 금방 풀 수 있다. 이 속에 숨어있는 닮음비를 구해내는 게 관건. 다만 도형의 형태에 따라 첫째항이 좀 더럽게 나오는 경우가 있으니 계산을 조심해서 하자. 2010, 2013학년도에는 6월, 9월 모의고사 모두 3점으로 출제. 신교육과정에서는 그냥 급수로 나온다.
2. 대학수학능력시험 수리 영역
2009학년도에 고등학교를 입학한 학생부터 2013학년도에 고등학교를 입학한 학생까지만 적용되는 교과 과정. 2016학년도 대학수학능력시험을 마지막으로 수학 A형에 30 문항 중 15 문항, 수학 B형에 30 문항 중 7~8 문항이 직접적으로 출제된다.
'''Ⅰ. 행렬과 그래프'''
'''Ⅱ. 지수함수와 로그함수'''
'''Ⅲ. 수열'''
'''Ⅳ. 수열의 극한'''
- 행렬과 그래프
- 지수함수와 로그함수
- 수열
- 수열의 극한
하지만 문과생 중에는 이것도 어렵다고 하는 학생들이 많은데 확실히 그럴 만도 하다. 가장 문제점이 많다. 현행 교육 과정으로 보았을 때도
행렬 → 고급 수학Ⅰ(과학고·영재고 과정)
지수와 로그 → 수학Ⅱ(1학년 2학기)
지수함수와 로그함수 → 미적분Ⅱ(이과용 미적분)
수열 → 수학Ⅱ(1학년 2학기)
수열의 극한 → 미적분Ⅰ(2학년 1학기)
와 같이 역사상 단원의 대이동이 큰 과목이라고 할 수 있다. 확실히 수학Ⅰ임에도 어려운 단원과 쉬운 단원이 짬뽕 되어 체감 문제 난이도는 오르락 내리락한다. 사례로 2009년 4월 경기도 모의고사때 나온 수학 Ⅰ문제는 극악의 난이도로 유명해, 1등급 커트라인이 무려 62점 이었다고 한다. 게다가 여기서 만점을 받은 사람의 표준점수가 200점 만점에 198점이라는, 이론상으로만 가능할 법한 수치로 떴다고 한다. 이를 뛰어넘어 2012학년도 3월 모의고사에선 만점자의 경우 표준점수가 199에 백분위가 99.99가 아닌 100이기도 했다. 게다가 2010년 2학년 6월 모의고사 수학 A형에서는 '''표점 200점'''이 나왔다![12]
2021 수능부터 적용된 2015 개정 교육과정에서는 지수·로그와 수열이 다시 수학Ⅰ으로 복귀하였다. 행렬은 그 이후로도 쭉 수능 범위 내에서 삭제된 상태고, 수열의 극한은 미적분으로 넘어갔는데 이로 인해 교육과정 역사상 최초로 수열의 극한이 수학Ⅱ에 속한 함수의 극한보다 더 늦게 배우는 단원이 되었다.
[1] 일단 3x3 행렬만 되어도 바로 뒤에 따라나오는 역행렬 구하기가 안드로메다급으로 귀찮아지고(A=AI=I(A-1)=A-1임을 보이는 가우스-조르당 소거법을 써야 한다), 그 이상 되면 보통 계산기를 쓰거나 엑셀을 돌린다.[2] 로피탈의 정리와 마찬가지로 고등학교 과정에선 사실 다루지 못한다. 항목 참고[3] 단위행렬(identity)과 역행렬(inverse)은 교환법칙이 성립한다.[4] '''진짜''' 존재 이유는 기하와 벡터에서 배운다.[5] 당시 1컷 가형 '''69점''', 나형 '''59점'''이라는 충격적인 난이도로 나왔다.[6] 이렇게 된 이유는 아래와 같다. 수학Ⅰ부터는 내용이 대수/해석/기하/확률과 통계로 구분된다. 풀어 말하면 숫자나 숫자 비슷한 걸 더하고 빼고 등등/함수와 미적분/도형/확률+통계이다. 수열의 극한은 함수의 극한, 미적분으로 이어지는 테크의 시작이라서 해석 쪽에 속하고, 지수함수와 로그함수는 함수라서 해석에 속해서 수열의 극한 뒤에 있었던 것이다.[7] 정확히 말하자면 제7차 교육과정기에는 지수와 로그, 지수함수와 로그함수로 분리되어 있었으나 2007개정 교육과정부터는 단원을 통합하고 배우는 순서를 기존의 지수->로그->지수함수,로그함수->지수방정식,지수부등식,로그방정식,로그부등식 에서 지수->지수함수->지수방정식,지수부등식->로그->로그함수->로그방정식,로그부등식으로 변경했다.[8] 역은 성립하지 않으니 주의. 대표적인 반례로 an=1/n이 있다.[9] 하지만 명심해야 할 사실이 2점짜리 1~3번 문제가 '''정답률 80~90%'''가 나온다. [10] 그러나 방심하면 안되는 것이 2014학년도 9월 모의평가 B형(가형)에서는 A형(나형)과 다른 도형으로 출제되었고 그만큼 난이도가 어려웠다. 심지어 정답률도 B형은 40%대, A형은 60%대였다.[11] 2015 개정 교육과정에서는 다시 문과도 배운다.[12] 당시 평균 26.8점, 1등급 컷 55점... 표준편차 13.63점, 95점 맞아도 표점 200점이다!