정오포체

W축으로 회전하는 정오포체의 3차원 투영 모습[1].

1. 개요

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正五胞體/5-cell, 또는 Regular pentachoron(복수는 -chora)
한 개의 모서리에 세 개의 정사면체가 만나고, 총 다섯 개의 정사면체으로 이루어진 정다포체. 4차원 단체(4-simplex)로, 밑포가 정사면체인 4차원 초뿔(tetrahedral pyramid)이다.
정오포체 6개를 한 면에 3개씩 만나게 만드는 방식으로 이어 붙여 5차원 도형인 5-단체(5-simplex, 또는 헥사테론(Hexateron))을 만들 수 있다.

2. 정보

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슐레플리 부호	{3,3,3}
꼭짓점(vertex, 0차원)	5개
모서리(edge, 1차원)	10개
면(face, 2차원)	정삼각형 10개
포(cell, 3차원)	정사면체 5개
쌍대	자기자신
이포각	$$\cos^{-1}\dfrac{1}{4}$$ (약 75.5225˚)
포함 관계 또는 '''다른 이름'''	하이퍼피라미드(Hyperpyramid) 4차원 단체(4-Simplex) 정사면체 초뿔(Tetrahedral pyramid)

한 변의 길이가 $$a$$인 정오포체가 있을 때
초뿔로서의 높이[2] = $$\dfrac{\sqrt{10}}{4}a$$
총 모서리 길이(total edge length) = $$10a$$
총 면적(total surface area) = $$\dfrac{5\sqrt{3}}{2}a^2$$
겉부피(surcell volume) = $$\dfrac{5\sqrt{2}}{12}a^3$$
초부피(bulk) = $$\dfrac{\sqrt{5}}{96}a^4$$

2.1. 3차원 투영 모습

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• 한 꼭짓점을 중심으로 투영된 모습은(Vertex-first projection) 정중앙을 중심으로 사등분된 정사면체의 모습이다. 이 때 네 개의 정사면체가 보이며, 나머지 하나는 가려져서 보이지 않는다. [3]

• 한 모서리를 중심으로 투영된 모습은 (Edge-first projection) 중심축을 중심으로 삼등분된 삼각쌍뿔의 모습이다. 이 때 세 개의 정사면체가 보이며, 나머지 두 개는 가려져서 보이지 않는다.

• 한 면을 중심으로 투영된 모습은 (Face-first projection) 적도를 중심으로 이등분된 삼각쌍뿔의 모습이다. 이 때 두 개의 정사면체가 보이며, 나머지 세 개는 가려져서 보이지 않는다.

• 한 포를 중심으로 투영된 모습은(Cell-first projection) 온전한 정사면체의 모습이다. 나머지 네 개는 뒤에 있기 때문에 보이지 않는다.

[1] 사실 눈에 보이는 것은 2차원 화면이나, 그래픽상 3차원에 투영된 것이다.

[2] 밑포(정사면체)와 반대편 꼭짓점까지의 거리

[3] 사실 투영된 모습의 전체가 나머지 하나로 보이지만, 실제로는 투영된 4개의 뒤에 있다.