단체(기하학)

2차원:'''정삼각형'''	3차원:'''정사면체'''	4차원:'''정오포체'''

1. 개요

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單體 / Simplex
기하학에 등장하는 도형의 일종. n차원 유클리드 공간에서 '''가장 적은 수의 면을 가진 ''' 정다포체. n-단체는 (n-1)-단체의 초각뿔이기 때문에 초각뿔의 성질인 '''자기 자신과 쌍대'''라는 특성을 가진다.

2. 정보

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n차원 단체가 있을 때, 각각의 n에 대해 다음과 같다.
(단, $$n>m$$)

n	명칭	꼭짓점의 개수	선분의 개수	면의 개수	3차원 도형의 개수	m차원 다포체의 개수	포의 개수	쌍대 도형	이포각
0	점	1
1	선분	2	1				2	선분
2	정삼각형	3	3	1			3	정삼각형	60º
3	정사면체	4	6	4	1		4	정사면체	약 70.53º
4	정오포체	5	10	10	5		5	정오포체	약 75.52º
n	n-단체	$$n+1$$	$$\dfrac{n(n+1)}{2}$$	$$\dfrac{n(n+1)(n-1)}{6}$$	$$\dfrac{n(n+1)(n-1)(n-2)}{24}$$	$$_{n+1} \mathrm{C}_{m+1}$$	n+1	n-단체	$$\cos^{-1}\dfrac{1}{n}$$

한 변의 길이가 $$a$$인 n-단체가 있을 때, (단, $$n\ge1, 1\le m \le n$$)
m차원 겉부피 = $$_{n+1} \mathrm{C}_{m+1}\sqrt{\dfrac{m+1}{2^m}}\dfrac{a^m}{m!}$$
n차원 초부피 = $$\sqrt{\dfrac{n+1}{2^n}}\dfrac{a^n}{n!}$$