4차원
1. 일반적인 뜻
Fourth Dimension, 4-D · 四次元
4개의 차원(dimension)으로 이루어진 임의의 공간. 유클리드 공간에서는 4개의 기저(basis) 벡터(vector)들의 선형결합으로 생성되는 공간을 뜻한다.[1] 쉽게 말해 좌표축이 4개 있다는 말. 한 점에 막대 4개를 모두 서로 직교하게 놓을 수 있다면 그 공간이 바로 4차원이다. 물론 현실은 3차원 공간이니 불가능하다. 2차원 평면 위에 좌표공간을 그려도 실제로 그 직선들이 평면 위에서 직교하게 그리는 게 불가능한 것과 마찬가지.
쉽게 이해하기 위해서 아래를 보자.
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위의 구면좌표계에 사람이 살고 있다고 가정하자. 그 사람은 x,y,z의 좌표축은 서로 수직으로 그릴수 있겠지만, 저 3개의 좌표축에 모두 수직인 직선은 무슨 수를 쓰더라도 그릴수 없다. 이때 현실의 위키러가 연필을 가져와 핸드폰이나 컴퓨터 액정에 수직으로 연필을 가져다 세운다고 생각하자. 위키러의 입장에서는 x,y,z라는 좌표축에 '''모두 수직인''' 좌표축인 '연필'을 그릴수 있는 것이다.
이때 위키러가 있는 공간이 좌표계 안의 사람에게는 4차원이 되는 것이다.
현실은 3차원 공간+1차원 시간인 4차원 '''시공간'''이고[2] 4차원 '''공간'''은 아니다. 4차원 공간에 시간을 더하면 5차원 시공간이 된다. 1차원을 한 개의 직선, 2차원을 좌표평면, 3차원을 좌표공간으로 표현할 수 있는 것처럼 4차원 역시 4개의 축으로 표현할 수 있다. 다만 시각적으로 정수히 묘사하기 어려울 뿐. 4차원 유클리드 공간상에서 함수 그래프를 그리면 두번째 그림과 같이 3차원 육면체와 비슷한 모양이 나온다.
4차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 3차원 다양체(3변수함수)가 그려지듯이
n차원 유클리드 좌표공간상에서 함수 그래프를 그리면 n-1차원 다양체(n-1변수함수)가 그려진다고 한다.
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위의 사진은 지오지브라 클래식 5로 그린 변수가 4개인 3변수함수 그래프이다.
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위의 사진은 어느 수학 비전공자가 3변수함수 그래프 그릴 때 영감을 얻은 사진이다.
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위 그림은 초입방체(테서랙트)라는 4차원의 도형을 2차원에 투시한 모습이다. 이 그림을 대강이나마 이해하고 싶다면, 머리속에서 정육면체를 그린 후, 한 면의 선과, 다른 면의 다른 축 선을 연결해 다시 정육면체를 그리면 된다. 물론 3차원상에 구현은 불가능하지만 개념은 그렇게 어렵지 않다. 인터넷에서 유행하던 착시그림처럼 바라보면 구조가 대강 보인다. 아니면 그냥 그래픽 프로그램 등의 타임라인이나 여러 시간에 걸쳐 있는 물체를 생각하면 된다.[3] Eugene Khutoryansky라는 유튜브 채널에서는 비단 4차원뿐만 아니라 그 이상의 차원들도 2차원 상에서 그림으로 도시할 수 있다고 주장했다.
이처럼 4차원 도형의 모습을 상상하기 힘든 이유는 우리가 3차원 공간에서 살고 있고, 4차원 공간을 직접 본 적도 없기 때문이다. 또한 일상 생활에서 4차원을 그려야 할 필요도 없으므로 4차원 도형의 모습이 쉽게 떠오르는 것이 더 신기한 일일 것이다. 게다가 위 움짤에서는 3차원 물체 2개가 연결된 채로 원운동과 자유변형까지 동시에 하기 때문에 더욱 알아보기 힘들다.
움짤에서 보이는 것은 하나의 4차원 공간 축을 따라 회전하는 테서랙트로, 테서랙트의 회전 중에서는 비교적 단순한 형태다. 위의 색상이 있는 동영상을 보면 테서랙트를 이루는 각 정육면체의 움직임을 추적할 수 있다. 2차원에 투영된 3차원 물체만 봤을 때는 상상하기 힘들겠지만 4차원 공간상에서는 모든 정육면체가 서로 수직이고 각 정육면체의 평면도 직각을 이룬다.
3차원을 2차원에 완벽히 표현할 수 없지만 3차원의 그림자라면 2차원에 투영할 수 있는 것처럼, 시각적으로 표현한 4차원 도형은 엄밀히 말하자면 3차원에 투영된 실제 4차원 도형의 그림자를 구현한 것이라 볼 수 있으며, 4차원 도형이 어떻게 생겼는지는 3차원 공간에 살고 있는 우리로서는 표현할 수도 없으며 상상하기도 힘들다. 현재 사람들에게 알려져 있는 4차원 도형들은 3차원 공간에 사는 인간이 만들어낸 가상의 도형들이다.
많은 사람들이 4차원이 '3차원 공간 + 시간'이라고 생각하는데 상대성 이론이나 시간여행 등에 의해 시공간이 많이 알려지기는 했지만[4][5] 꼭 '''다른 하나'''가 시간일 필요는 없다. 퍼텐셜일 수도 있고, 확률, 어떠한 과정 선택(나비효과, 예를 들면 당신이 지금 바로 나무위키를 키고 보는 선택과 당신이 나무위키를 보지 않았을때의 선택)일 수도 있다. 초끈이론에 의하면 우리의 우주는 10차원 공간(+1차원 시간)으로 이루어졌다고. 다르게 말하면 2차원이 선+시간일 수도 있고[6] 3차원이 면+시간일 수도 있다.
만일 4차원에도 생명체가 있다면 3차원적인 시야를 가질 것이며, 3차원 공간상에 있는 물체들의 내부와 외부를 동시에 볼 수 있을 것이다. 그러나 4차원 공간을 가진 우주는 우리 우주와 같은 물리 법칙을 따른다고 가정 시 행성의 안정적인 궤도 유지가 불가능하며, 블랙홀로 가득한 우주가 될 가능성이 높을 것이기 때문에 다른 물리 법칙[7]을 가지지 않는 이상 생명체가 나타나기는 어려울 듯 하다. 또한, 4차원 우주에서는 수소와 헬륨 이외의 원소들은 화학적 성질마저 다를 것이라고 한다. 예를 들어 마그네슘이 비활성 기체인 식. 또한 원자핵 내에서 핵력이 닿는 범위도 달라지므로 안정 동위원소의 종류와 개수도 다르다.
1.1. 4차원에서 정의되는 도형
- 정다포체 : 정오포체, 정팔포체, 정십육포체, 정이십사포체, 정백이십포체, 정육백포체
- 초기둥 종류
- 4차원 초각기둥(Hyperprism) : 두 개의 (4차원의 방향으로)평행한 3차원 다면체 사이에 선을 그어 만들어지는 도형으로, 두 개의 다면체와, 그 다면체를 이루는 면의 개수만큼의 각기둥으로 구성돼 있다.
- 구 초기둥(Spherinder[8] 또는 Spherical cylinder) : 밑포가[9] 구인 초기둥이다. 평행한 두 개의 구와 그 사이의 4차원 공간을 점하는 4차원 도형으로 이루어져있다.
- 원뿔 초기둥(Coninder[10] 또는 Conical cylinder) : 밑포가 원뿔인 초기둥이다.
- 원기둥 초기둥(Cubinder 또는 Cubical Cylinder) : 밑포가 원기둥인 초기둥이다.
- 초뿔 종류
- 4차원 초각뿔: 하나의 다면체와 4차원 공간상의 꼭짓점을 이은 도형이다.
- 구 초뿔(Sperone): 밑포가 구인 초뿔. (sphere + cone)
- 다이콘(Dicone): 원뿔의 모든 지점을 4차원 초뿔처럼 4차원 공간상의 한 꼭짓점과 이은 도형이다. 이 과정에서 두 개의 원뿔(cone)이 붙은 것과 같다고 하여 다이콘이라고 불린다.
- 원기둥 초뿔(Cylindrone[11] 또는 Cylinderical Cone) : 밑포가 원기둥인 초뿔이다.
- 정육면체 뿔(Cubic Pyramid) : 밑포가 정육면체인 초뿔이다. 정팔포체의 각 포에 붙이면 정이십사포체를 만들 수 있다.
- 토러스 종류
- 토러스 초기둥(Torinder): 밑포가 토러스인 초기둥이다.
- 구 토러스(Spheritorus): 구를 특정 축으로 회전시켜 얻어진 도형이다. 토러스 구와 위상수학적으로 쌍대 관계이다.
- 토러스 구(Torisphere): 구 초기둥을의 양쪽 끝을 휘어 자신의 안쪽으로 연결한 도형이다. 토러스와 위상수학적으로 쌍대 관계이다.
- 다이토러스(Ditorus): 토러스 초기둥의 양쪽 끝을 휘어 자신의 안쪽으로 연결한 도형이다.
- 타이거(Tiger)[12]: 토러스의 각 단면이 되는 원을 다시 다른 방향으로 토러스의 형태로 회전시켜 얻어지는 도형이다. 일반인들이 이해하기에 가장 난해한 도형이다.
- 크로스캡: 토러스 한쪽 부분의 안팎을 뒤집은 도형. 후술할 클라인의 병과는 다르다.
- 듀오프리즘(Duoprism): 두 가지, 또는 한 가지 각기둥을(4차원의 방향으로) 서로 둘러싸도록 접혀 만들어지는 4차원 도형이다. 두 각기둥의 밑면의 개수와 꼭짓점 개수로(p-q 듀오프리즘) 표기한다. [13]
- 프리즈믹 실린더(Prismic Cylinder): 원기둥 하나와과 각기둥 하나를 4차원 방향으로 서로 둘러싸이도록 접혀서 만들어지는 도형. 듀오프리즘과 듀오실린더 사이의 중간 형태로 볼 수 있다. 4-프리즈믹 실린더는 특별히 원기둥 초기둥으로 불리기도 한다.
- 듀오실린더: 듀오프리즘의 원기둥 버전이라고 보면 된다. 두 개의 원기둥을 서로 둘러싸도록 토러스형으로 접혀 만들어지는 4차원 도형이다. 총 두 개의 토러스형 초입체로 구성되어 있으며, 면은 한 개, 모서리와 꼭짓점은 없는 도형이다.
- 초구: n차원 곡면. (n+1)차원 공간의 특정한 지점에서 같은 거리에 존재하는 점들의 집합. 어느 방향으로 잘라도 항상 구이다.
- 알렉산더의 뿔 달린 구: 위 초구와 위상동형인 도형. 구 일부를 뿔처럼 늘린 뒤 꼬아놓은 것이다.
- 클라인의 병: 3차원 곡면. 뫼비우스의 띠의 4차원 버전. 3차원에서 안과 밖이라고 부르는 부분이 따로 존재하지 않는다.
- 사영평면:원의 마주보는 점을 빈틈없이 접어 만드는 도형.
2. 성격
수식어. '3차원에 사는 일반인은 이해할 수 없는 무엇'이라는 뜻이다. 상기했다시피 잘못된 패러다임에서 시작된 말이다. '4차원 소녀' 등으로 사용되며, 이 경우 일반인이 이해할 수 없는 행동과 생각을 하는 소녀라는 뜻.
2.1. 4차원으로 유명한 인물
2.2. 4차원 천재 기믹
자칭 천재들 중 일부, 푸른용군단
3. 게임의 버그
오락실 게임의 버그를 일컫는 은어. 이것 때문에 한때 게임기에 오락실 주인이 '4차원 금지'라는 쪽지를 붙이기도 했다. 간혹 게임기의 기판 에러 등의 문제로 설정이 프리 코인(무한 컨티뉴)이 되는 경우가 있었는데 일부 지역에선 이를 타임머신이라 부르기도 했다.
가장 유명했던 4차원으로 동키콩 1스테이지 건너뛰기가 있다. 사다리로 2층에 올라가자마자 살짝 오른쪽으로 스틱을 밀어 마리오를 가장자리에 아슬아슬하게 걸치게 한 뒤, 오른쪽으로 점프하면 화면의 우하단 구석으로 마리오가 빠져나가면서 1스테이지가 완료되는 버그이다.
보통 80년대 게임에서 기판의 한계나 버그 등으로 이 4차원이 생기는 경우가 있는데, 대표적인 예로 80년대 게임은 아니지만 던전 앤 드래곤(게임) 2탄의 영문판에서 기본 이름이 6글자인 캐릭터(2P 전사/2P 드워프/1P 도적)한테 있는 무적이 되는 버그.
4. 물리학
물리학에서는 4차원 축을 시간으로 표현한다. 이는 기하학으로 설명 가능하다.
예시로 길이가 3cm인 선이 있다고 하자. 이걸 똑같은 길이로 잡아 늘이면 넓이가 9cm²의 평면(3×3)을 만들 수 있다. 또다시 이걸 3cm 잡아늘이면 27cm³의 정육면체(3×3×3)이된다. 그러나 3초를 잡아늘이면 그 크기는 81 cm³ s짜리 타임큐브가 된다.(3×3×3×3)
즉 3차원 공간상 물체의 '''시간을 따라 움직이는 자취'''가 4차원상 물체의 개념이 된다. 단, 이 경우는 수학적으로 표현시 시간축은 실수축이나, 공간의 3차원은 각각 순허수축으로 취급된다. 즉, 이 경우의 4차원 공간은 수학적인 4차원을 의미하는 $$\mathbb{R}^4$$가 아니라, $$(i\mathbb{R})^3\times\mathbb{R}$$이라는 복잡한 형태가 된다.
5. 영화
상영관과 좌석에 설치한 장비를 통해 영화 내 역동적인 장면에 좌석이 흔들리거나 바람, 눈, 비, 향기 등의 특수효과를 부여하는 영화 상영 방식. 초기에는 놀이 공원에서 볼 수 있었으며, 시내 영화관에 진출하고 일반 장편 영화에도 적용된 건 비교적 최근 일이다. 상영하는 영화에 따라 3D안경이 제공되기도 한다.
이름의 유래는 4차원을 뜻하는 4 dimension 이지만 당연하게도 물리학이나 수학에서 말하는 4차원 하고는 일절 관계없다. 영화를 입체적으로 보는 것을 3D 라고 하는데, 그럼 입체적인걸 넘어서서 아예 영화속 상황을 관객에게 물리적인 효과로 구현한다면 3D 이상으로 불러야 하지 않을까? 라는 발상에서 그냥 3D에다가 1을 추가해서 4D라고 부른것.
CGV는 처음에는 이스라엘 회사로부터 장비를 구입해 스마트플렉스라는 이름으로 운영했는데, 이후 한국의 시뮬라인 사와 함께 따로 포맷을 개발해 오늘날의 4DX가 되었다. 시뮬라인 사는 그 뒤 CJ에 완전히 인수되었다. 국외 수출이 활발한 편이며, 미국에도 사무실을 두고 할리우드 영화사와 작업하기도 한다.
롯데시네마는 (롯데 계열사는 아닌) 국내 업체 레드로버 사가 개발한 포맷을 사용한다. 롯데는 이를 슈퍼 4D라고 부른다.
MX4D는 미국의 MediaMation 사가 개발한 형식으로, CGV의 4DX와의 차이점은 없다시피 하다. 아니 '''4DX와 전면적으로 호환'''된다. 비싸지 않은 비용을 내세운다. 이게 MX4D 최대의 강점. MX4D를 도입했던 영화관이 대한민국에 있었지만 없어졌다.
한편 캐나다의 회사에서 개발한 D-Box라는 형식이 있는데, 좌석만 움직이고 이런저런 효과는 없다. 한국에는 아직 D-Box를 도입한 극장이 없다.
[1] 대학교 1~2학년 수준의 선형대수학이나 미적분학을 들으면 알 수 있는 내용이다.[2] 우주를 4차원이라고 하는 이유가 바로 이것.[3] 실제로도 시간을 포함하여 4차원으로 치기도 하니 이렇게 생각하여도 문제 없다.[4] 공간이 3차원이라 현실과 동일하므로 상대적으로 이해하기 쉬운 것도 원인일 것이다.[5] 그리고 흔히 상대성 이론에서 말하는 4차원은 우리가 흔히 떠올리기 쉬운 4차원 유클리드 공간이랑은 조금 다른 구조를 가진다.[6] 위치-시간 그래프를 생각해보자.[7] 사실 4차원 우주에서는 중력이나 전자기력 같은 힘이 거리의 제곱이 아닌 거리의 세제곱에 반비례할 확률이 매우 높다. 이에 따라 그것의 퍼텐셜 에너지도 거리의 제곱에 반비례할 것이다. 이에 따라 행성의 공전 주기도 거리의 제곱에 비례하게 되는 등 케플러의 법칙도 깨질 것이다. 이것만으로도 3차원 우주와는 완전 다른 물리법칙을 따르는 셈. 근데 이렇게 되면 제1 탈출 속도와 제2 탈출 속도가 동일해지게 된다.[8] sphere+cylinder[9] 3차원 도형의 '밑면'을 임의 차원으로 확장했다고 생각하면 된다. 밑입체라고도 불린다.[10] cone + cylinder[11] cylinder + cone[12] 처음에는 이를 토라(Tora)로 지었으나 일본어 虎(とら)와 로마자 표기가 같아서 착안한 이름.[13] 예: 삼각기둥 5개와 오각기둥 3개를 서로 둘러싸게 접어 만든 듀오프리즘을 3-5 듀오프리즘, 또는 5-3 듀오프리즘이라고 불린다. p, q의 순서를 바꿔도 된다. 참고로 4-4 듀오프리즘은 특별히 테서랙트라고 부른다.[14] 진짜 4차원. 아인슈타인도 이 사람의 4차원도는 못 따라간다. 다만 이 사람은 상대성 이론보다는 양자역학 쪽.[15] 진짜 물리학의 4차원의 권위자로서도 유명하고, 성격이 4차원이라서도 유명하고. 4차원 시공간이라고 해서 시간축과 공간축을 서로 변환가능한 것으로 취급한 것이 아인슈타인이 최초이고, (다만 실제 이론화는 민코프스키라는 다른 물리학자가 했다) 그걸 다룬 이론이 상대성 이론이기 때문.