조화수열

1. 개요

2. 일반항

3. 조화중항

4. 함수로 해석하기

5. 조화수열의 합

6. 극한

7. 조화급수

7.1. 제타 함수, 폴리로그함수

1. 개요

harmonic sequence(progression) · 調和數列
$$\{1,\,1/3,\,1/5,\,1/7,\,\cdots\}$$처럼 각 항의 역수#s-1가 등차수열을 이루는 수열을 '''조화수열'''이라고 한다. 다시 말해서, 수열 $$\{1/a_n\}$$이 등차수열이면, 수열 $$\{a_n\}$$은 조화수열이다.
현악기의 현의 길이가 조화수열인 $$\{1,\,1/2,\,1/3,\,1/4,\,\cdots\}$$의 형태일 때 화음이 가장 듣기 좋다고 하여 붙은 이름이다.
아래의 성질에서 볼 수 있듯이 수열 4종 세트(등차수열, 등비수열, 조화수열, 계차수열) 중에서 해석학의 성격이 가장 강한 수열이다.

2. 일반항

등차수열 $$\{1/{a_n}\}$$의 초항이 $$a$$, 공차가 $$d$$이면

$$\dfrac1{a_n}=a+(n-1)d$$

분류

이렇게 되는 이유는 수열의 귀납적 정의#s-2.1.1 참고. $$\{1/{a_n}\}$$이 등차수열이므로 $$\{a_n\}$$은 조화수열이며 일반항은 다음과 같다.

$$a_n=\dfrac1{a+(n-1)d}$$

분류

만약 조화수열의 초항을 $$a$$로 둔다면 역수를 취한 등차수열의 초항은 $$1/a$$이므로 일반항은 다음과 같다.

$$\begin{aligned}\dfrac1{a_n}&=\dfrac1a+(n-1)d\\&=\dfrac{1+a(n-1)d}a\\ \\ \therefore a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d}\end{aligned}$$

분류

3. 조화중항

$$a$$, $$b$$, $$c$$가 조화수열의 연속한 세 항일 때, $$b$$를 $$a$$와 $$c$$의 '''조화중항''' 또는 '''조화평균'''이라고 하며, 세 항은 다음 관계를 만족시킨다.

$$b=\dfrac{2ac}{a+c}$$

분류

이를 증명하여 보자. $$a$$, $$b$$, $$c$$는 조화수열의 연속한 세 항이므로, $$1/a$$, $$1/b$$, $$1/c$$은 등차수열을 이룬다.

$$\dfrac1b=\cfrac{(1/a)+(1/c)}2=\cfrac{{(a+c)}/{ac}}2=\dfrac{a+c}{2ac} \;\to\; b=\dfrac{2ac}{a+c}$$

분류

4. 함수로 해석하기

조화수열의 일반항은

$$a_n=\dfrac a{1+a(n-1)d}$$

분류

꼴이므로 조화수열은 자연수만을 정의역으로 하는 (상수)/(일차식) 꼴의 유리함수로 해석할 수 있다. $$ad \neq 0$$인 경우에 한하여 식을 적당히 조작하면

$$\begin{aligned}a_n&=\dfrac a{1+a(n-1)d}\\ &=\cfrac{{a}/{ad}}{(n-1)+(1/{ad})}\\ &=\cfrac{1/d}{n-\{1-(1/{ad})\}}\end{aligned}$$

분류

이므로 $$n$$축을 횡축, $$a_n$$축을 종축으로 하여 그린 그래프는 다음과 같은 점근선을 갖는다.

$$n=1-\dfrac1{ad}$$
$$a_n=0$$: 횡축($$n$$축)과 일치

또한 $$d>0$$이면 우상단과 좌하단에, $$d<0$$이면 좌상단과 우하단에 그래프가 그려진다.
$$d=0$$인 경우 0으로 나눌 수 없으므로 분모와 분자를 $$ad$$로 나누는 위 조작은 성립하지 않는다. 이 경우 처음 식에 $$d=0$$을 대입하면 그대로 $$a_n=a$$의 상수함수가 되므로 그래프가 $$x$$축에 평행한 직선이 된다.