중력/구각 정리
1. 개요
구각 정리는 균일한 밀도를 가지는 구각(spherical shell)[1] 내·외부의 중력장이 어떻게 되는지 구하는 문제이다.
뉴턴(S. I. Newton; 1643~1727)이 먼저 이 문제를 해결했기 때문에 '''뉴턴의 구각 정리'''라고도 부른다.
2. 유형 1: 구각
아래와 같은 내부 반지름이 $$a$$이고, 외부 반지름이 $$b$$, 균일한 밀도 $$\rho$$로 질량이 분포하는 구각 내·외부의 중력장을 구하고자 한다. (그림은 구를 자른 단면이다.)
[image]
중력장은 벡터이므로 더할 때 방향을 고려해야 한다는 점이 까다롭기 때문에 스칼라인 (즉 방향을 고려할 필요가 없는) 퍼텐셜을 구하고 이를 미분함으로써 우회적으로 중력장을 구하는 트릭을 사용할 것이다.
2.1. 구각 외부
[image]
각 점의 의미는 아래와 같다.
- $$\mathrm{O}$$: 구각의 중심
- $$\mathrm{P}$$: 관측점
- $$\mathrm{M}$$: 구각의 미소 부피
$$\displaystyle \begin{aligned} \Phi \mathbf{(r)}&=-G\rho \int_{a}^{b}r'^{2}\,dr' \int_{0}^{\pi} \frac{\sin{\theta}}{R}\, d \theta \int_{0}^{2 \pi} d \phi \\ &=-2 \pi G\rho \int_{a}^{b}r'^{2}\,dr' \int_{0}^{\pi} \frac{\sin{\theta}}{R}\, d \theta \end{aligned} $$
[1] 쉽게 말하면 속이 비어 있는 공이다.
$$\displaystyle R^{2}=r^{2}+r'^{2}-2rr'\cos{\theta} $$
$$\displaystyle 2R\,dR=2rr'\sin{\theta}\,d\theta $$
$$\displaystyle \frac{\sin{\theta}}{R}\, d \theta =\frac{1}{rr'}\,dR $$
$$\displaystyle \Phi(r)=-\frac{2 \pi G\rho}{r} \int_{a}^{b}r'\,dr' \int dR $$
$$\displaystyle r-r' \leq R \leq r+r' $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r) &=-\frac{2 \pi G\rho}{r} \int_{a}^{b}r'\,dr' \int_{r-r'}^{r+r'} dR \\&=-\frac{4 \pi G\rho}{3r} (b^{3}-a^{3}) \end{aligned} $$
중력장과 중력 퍼텐셜 사이 관계에 의해
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{g}(r) &=-\boldsymbol{\nabla} \Phi(r) \\ &=-\frac{4 \pi G\rho}{3r^{2}} (b^{3}-a^{3}) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\frac{4 \pi G\rho}{3r} (b^{3}-a^{3}) \\ \mathbf{g}(r) &=-\frac{4 \pi G\rho}{3r^{2}} (b^{3}-a^{3}) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} M=\rho \cdot \frac{4}{3}\pi (b^{3}-a^{3}) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\frac{GM}{r} \\ \mathbf{g}(r) &=-\frac{GM}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$
2.2. 공동 내
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이 경우는 외부와 달리
$$\displaystyle r'-r \leq R \leq r'+r $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r) &=-\frac{2 \pi G\rho}{r} \int_{a}^{b}r'\,dr' \int_{r'-r}^{r'+r} dR \\&=-{2 \pi G\rho} (b^{2}-a^{2}) \end{aligned} $$
이상의 결과를 정리하면, $$r<a$$의 영역에서
$$\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-{2 \pi G\rho} (b^{2}-a^{2}) \\ \mathbf{g}(r) &=0 \end{aligned} $$
2.3. 구각 내부
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이 문제의 가장 어려운 점은 관측점이 구각 내부($$a<r<b$$)에 있을 때의 중력 퍼텐셜을 구해내는 것이다.
위 그림과 같이 반지름 $$r$$인 구면을 하나 고려하게 되면, 구각은 두 부분으로 나누어진다:
- 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 외부에 있는 경우: $$a \sim r$$ 영역
- 나눠진 구각을 기준으로 관측점이 내부에 있는 경우: $$r \sim b$$ 영역
$$\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\frac{4 \pi G\rho}{3r} (r^{3}-a^{3})-{2 \pi G\rho} (b^{2}-r^{2}) \\ &=-\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \mathbf{g}(r)=-\frac{4 \pi G \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \hat{\mathbf{r}} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \Phi(r)&=-\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) \\ \mathbf{g}(r) &=-\frac{4 \pi G \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \hat{\mathbf{r}} \end{aligned} $$
2.4. 결과 종합
이상의 결과를 종합하면, 중력 퍼텐셜의 경우
$$\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -{2 \pi G\rho} (b^{2}-a^{2}) &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{4a^{3}}{3r}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G\rho}{3r} (b^{3}-a^{3}) &\quad (r>b) \end{array}\right. $$
$$\displaystyle \mathbf{g}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G \rho}{3} \left( r-\frac{a^{3}}{r^{2}} \right) \hat{\mathbf{r}} &\quad (a<r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G\rho}{3r^{2}} (b^{3}-a^{3}) \hat{\mathbf{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. $$
[image]
위의 결과로 퍼텐셜은 경계에서 연속이 된다는 것을 알 수 있다. 또한, 구각의 외부($$r>b$$)에서
$$\displaystyle -\Phi(r) \propto \frac{1}{r^{2}} \qquad \qquad -g(r) \propto \frac{1}{r} $$
3. 유형 2: 구
균일한 밀도 $$\rho$$로 질량이 분포하는 구의 내·외부 중력장 분포는 위의 구각 문제의 결과를 이용하면 된다. 즉,
$$\displaystyle a \to 0$$
$$\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\pi G\rho \left( 2b^{2}-\frac{2r^{2}}{3} \right) &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi b^{3} G\rho}{3r} &\quad (r>b) \end{array}\right. $$
$$\displaystyle \Phi(r)= -\frac{GM}{r} \quad (r>b)$$
중력장은
$$\displaystyle \mathbf{g}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -\frac{4 \pi G \rho}{3}{\mathbf{r}} &\quad (r<b) \\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi G\rho b^{3}}{3r^{2}} \hat{\mathbf{r}} &\quad (r>b) \end{array}\right. $$
$$\displaystyle \mathbf{g}(r)= -\frac{GM}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} \quad (r>b)$$
$$\displaystyle -g(r) \propto r $$
위에서 나온 결과를 $$r$$에 대한 그래프로 그려보면 다음과 같다.
[image]
4. 유형 3: 구각 표면에만 질량이 분포하는 경우
이번엔 질량이 반지름 $$a$$인 구면에만 균일한 면 밀도 $$\sigma$$로 분포하는 상황을 살펴보도록 하자. 위의 문제 풀이법을 적용하면 쉽게 구할 수 있다. 상황을 그림으로 나타내면,
[image]
이다.
'''(ⅰ) 구각의 외부: $$\boldsymbol{r>a}$$'''
이 문제는 질량이 구면에 분포하고 있는 점에 유의하여야 한다. 따라서 중력 퍼텐셜은
$$\displaystyle \Phi (r)=-G \sigma \int_{0}^{\pi} \frac{a^{2}\sin{\theta}}{R}\,d \theta \int_{0}^{2 \pi} d\phi $$
$$\displaystyle R^{2}=a^{2}+r^{2}-2ar\cos{\theta} $$
$$\displaystyle 2R\,dR=2ar\sin{\theta}\,d \theta $$
$$\displaystyle \Phi (r)=-\frac{2 \pi a G \sigma}{r} \int dR $$
$$\displaystyle r-a \leq R \leq r+a $$
$$\displaystyle \Phi (r)=-\frac{2 \pi a G \sigma}{r} \int_{r-a}^{r+a} dR=-\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r} $$
$$\displaystyle \Phi (r)=-\frac{GM }{r} $$
$$\displaystyle \mathbf{g} (r)=-\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} $$
$$\displaystyle \mathbf{g} (r)=-\frac{GM }{r^{2}} \hat{\mathbf{r}} $$
이 문제 상황은 위에서
$$\displaystyle a-r \leq R \leq a+r $$
$$\displaystyle \Phi (r)=-\frac{2 \pi a G \sigma}{r} \int_{a-r}^{a+r} dR=-{4 \pi a G \sigma} $$
$$\displaystyle \mathbf{g} (r)=0 $$
이상의 결과를 종합하면, 중력 퍼텐셜의 경우
$$\displaystyle \Phi(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle -{4 \pi a G \sigma} &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r} &\quad (r>a) \end{array}\right. $$
$$\displaystyle \mathbf{g}(r)=\left\{ \begin{array}{l} \displaystyle 0 &\quad (r<a)\\ \\ \displaystyle -\frac{4 \pi a^{2} G \sigma}{r^{2}} &\quad (r>a) \end{array}\right. $$
위에서 나온 결과를 $$r$$에 대한 그래프로 그려보면 다음과 같다.
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5. 여담
- 이 구각 정리는 "중력장에 대한 가우스 법칙"을 사용하여도 같은 결과를 얻는다.
- 이 구각 정리는 지구공동설을 반박하는 근거로 잘 쓰인다. 지구에 공동이 존재한다면, 그 공동 안엔 이 문서의 결과에 의해 무중력 상태가 되기 때문이다.
- 이 구각 정리에 관련해서, 2019학년도 대학수학능력시험 국어 영역 31번 문제에 출제되기도 했다.[2][3] 이 문서와 같이 수학적으로도 어려운데, 그것을 글로 풀어서 설명한 뒤, 그 설명을 토대로, 단시간 내 선지에서 올바른 답을 고르는 건 국어 영역에 대한 훈련이 철처히 되어 있지 않았다면, 어려웠을 것이다. 결국 한국교육과정평가원은 문제 이의제기 검토 결과를 발표하면서 학생들에게 사과를 했다.[4] 참고로, 이 구각 정리는 물리학과 2학년 고전역학 과목을 배우면서 접하게 된다.
[2] 물론 문제 접근 방법이나 대상은 이 문서와는 좀 다르다. 왜냐하면, 해당 문제에서는 구에 대한 중력을 구하는 문제였으며, 그 구를 매우 얇은 구각으로 나눈뒤 각각의 중력을 더해서 구할 수 있다고 했기 때문이다. 그러나 기본적인 원리는 이 문서 또한 같으며, 이에 구각을 매우 작은 부피 요소로 나누고, 각각에 대한 중력 퍼텐셜을 더하여, 구각의 중력 퍼텐셜을 구하고, 이를 통해 구각에 의한 중력장을 구했다.[3] 해당 문제[4] 그런데 그 문제는 단순히 작용 반작용의 법칙만 기억하고 있어도 답을 고를 수 있다. 답이 되는 보기는 '태양의 중심에 있는 질량이 $$m$$인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력은, 지구의 중심에 있는 질량이 $$M$$인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력과 크기가 같겠군.'인데 작용 반작용 법칙을 생각하면, 당연히 '태양의 중심에 있는 질량이 $$m$$인 질점이 지구 전체를 당기는 만유인력'은 '지구 중심에 있는 질량 $$M$$인 질점이 태양 전체를 당기는 만유인력'과 같은 것이 아니라 '지구 전체가 태양 중심에 있는 질량 $$m$$인 질점을 당기는 만유인력'과 같다는 것을 알 수 있다.
