체비쇼프 함수
1. 정의
'''체비쇼프 함수(Chebyshëv function)'''는 소수와 관련된 두 가지 특수함수로, 제1종 체비쇼프 함수 $$\vartheta(x)$$와 제2종 체비쇼프 함수 $$\psi(x)$$가 있으며 정의는 다음과 같다.
$$\displaystyle \begin{aligned} \vartheta(x) &\equiv \sum_{p ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \bold{1}_{\mathbb{P}}(n)\, \ln n \\ \psi(x) &\equiv \sum_{p^k ≤ x} \ln p = \sum_{n=1}^{\lfloor x \rfloor} \Lambda(n) \end{aligned} \qquad $$
정의대로 1종 체비쇼프 함수는 소수의 자연로그값을 합하며, 2종 체비쇼프 함수는 소수와 소수 제곱수의 소인수 자연로그값을 합한 값을 띤다.
함수 표기에 주의할 필요가 있다. 각각 세타 함수[1]와 디감마 함수와 겹치기 때문에 사전에 이것이 체비쇼프 함수라고 알려주어야 혼동이 없다.
2. 소수 계승
'''소수 계승(primorial'''[2][3]''')'''은 다음과 같이 정의되는 함수이다.
$$n\#=e^{\vartheta(n)}=\displaystyle\prod_{p\leq n, \ \ p\,\in\,{\mathbb P}}p$$
[1] 세타 함수는 이변수 함수이기 때문에 그나마 혼동이 적은 편. 참고로 이 함수의 풀네임(?)은 '야코비 세타 함수(Jacobi theta function)'이다.[2] prime(소수)과 factorial(계승)을 합친 단어다.[3] 기호인 [math(\#)]는 위상수학에서 연결합(Connected sum)을 나타내는 용도로 쓰이므로 헷갈리지 않게 주의.
소수 정리에 의해, 체비쇼프 함수는 $$\lim\limits_{n \to \infty} \vartheta(n)/n=1$$을 만족시킨다. 따라서 양변에 $$\rm{exp}$$ 함수[4]를 취하면 소수 계승은 $$\lim\limits_{n \to \infty}(n\#)^{1/n}=e$$를 만족시킨다.
2.1. 리만 제타 함수와의 관계
$$p_n$$을 $$n$$번째 소수라고 하자. 소수 계승은 $$s=2, 3, ...$$일 때 다음과 같은 리만 제타 함수와의 관계를 만족시킴이 알려져 있다.
$$\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s}{J_s(p_n\#)}, \ \ \ \ \cdots(1)$$
$$J_s(n)=n^s\displaystyle\prod_{p|n}(1-\dfrac{1}{p^s})$$
[4] $$e$$의 거듭제곱 함수
$$s=1$$이면 좌변 $$\zeta(s)$$는 당연히 양의 무한대로 발산하고, 우변 또한 양의 무한대로 발산한다. $$s=1$$일 때 우변이 발산한다는 사실은 다음과 같이 증명된다.
$$\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{J_1(p_n\#)}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{p_{n-1}\#}{p_n\# \cdot \displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ =\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n}\cdot \dfrac{1}{\displaystyle\prod_{k=1}^n (1-\dfrac{1}{p_k})}\ \geq\ \displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{1}{p_n}$$
또한 실수부가 1보다 큰 임의의 복소수 $$s$$에 대해 다음과 같은 관계가 성립한다.
$$\zeta(s)=\dfrac{2^s}{2^s-1}+\displaystyle\sum_{n=2}^\infty \dfrac{(p_{n-1}\#)^s \zeta_n(s)}{(p_n\#)^s}, \ \ \ \ \cdots(2)$$
$$\zeta_n(s)=\displaystyle\prod_{i=1}^n \dfrac{1}{1-p_i^s}$$
두 식의 출처. 여기에서 $$(2)$$번 식의 유도 과정을 알아볼 수 있다.
$$(1)$$번 식은 $$(2)$$번 식에 비해 $$s$$의 범위가 상당히 제한되어 있다는 단점이 있다. 그러나 이는 다른 $$s$$값들에 대해 증명이 안 됐을 뿐일 수도 있다. 왜냐하면 실제로 계산해봤을 때 자연수가 아닌 실수 $$s$$에 대해서도 해당 식이 성립하는 것처럼 보이기 때문이다. 아래 ''Mathematica'' 코드를 통해 직접 계산해볼 수 있다.[5]
직접 계산해보면 $$(1)$$번 식이 $$(2)$$번 식보다 수렴 속도가 훨씬 빠른 것처럼 보이며, 이것은 $$(1)$$번 식의 큰 장점이 될 수 있다.
$$(1)$$번 식을 증명한 논문[6]이 사라져 있다. 해당 저널을 들어가 보면 다른 논문이 있고, 저자 사이트의 해당 논문 링크로 들어가보면 오류가 뜬다. 위키피디아와 위 출처에서 해당 논문을 인용하고 있는 것을 보면 어느순간 내려간 듯한데 이 부분에 대한 자세한 확인이 필요하다.