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우선 소인수가 1개일 경우 1, 소인수가 1개가 아닌 경우 0인 경우를 정의하기 위해 다음과 같은
합성함수를 정의하자.
$$( \bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)$$
그리고 결과값을 내놓을
자연로그함수를 여기에 곱해주자.
$$\ln n \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)$$
위 정의에 따라 소인수가 1개일 경우에만 그 수의 로그값을 얻는다.
그런데 이 정의에는 문제가 있다. $$\omega(n)$$은 소인수의
제곱수에서도 1의 값을 띠기 때문이다.
이때,
로그의 성질에 의해 $$\ln a^b = b \ln a$$가 성립하므로, 소인수 멱수 계량 함수를 나누어서 상쇄시킬 수 있다.
$$\dfrac{\ln n \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n)}$$
여기까지 봐서는 큰 문제가 없는 듯하지만, $$\Omega(n)=0$$을 만족하는 자연수가 존재한다. 다름아닌 1로, 위 식에 1을 대입하면
$$\dfrac{\ln 1 \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1)} = \dfrac{0}{0}$$
의 부정형이 되어
잘 정의된 함수가 아니다.
[3] 여기에 로피탈의 정리를 갖다 붙이려는 사람이 있을 수 있는데, 정의에 사용한 \bold{1}_{\{1\}}(n), \omega(n), \Omega(n) 모두 '''도함수가 없기 때문에''' 로피탈의 정리를 쓸 수가 없다.
그런데 부정형을 만드는 자연수는 1뿐이므로, 분모에 위에서 정의한 판별 함수를 더해주면 1에서도 잘 정의됨을 알 수 있다.
$$\dfrac{\ln 1 \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(1)}{\Omega(1) + \bold{1}_{\{1\}}(1)} = \dfrac{0}{1} = 0$$
최종적으로 폰 망골트 함수의 정의는 이렇게 유도된다.
$$\displaystyle \Lambda(n) \equiv \dfrac{\ln n \,(\bold{1}_{\{1\}} \circ \omega)(n)}{\Omega(n) + \bold{1}_{\{1\}}(n)}$$