위상수학
1. 개요
topology · 位相數學
위상동형사상에 의해 변하지 않는 성질을 연구하는 학문이다.
2. 상세
공간 속의 점·선·면 및 위치 등에 관하여, 양이나 크기와는 별개의 형상이나, 위치 관계를 연구하는 수학 분야. 역사적으로는 기하학에서 출발했지만, 현대 수학에서는 위상기하학, 미분위상수학 등 기하학과 직접적으로 연관이 있는 하위 분야가 아닌 이상 기하학과의 접점이 많다고 볼 수는 없고 오히려 일반 위상수학 같은 경우는 수학 전반에 쓰이는 도구로서 수학 기초론적인 성향을 띤다.
위상수학에서는 선을 끊거나, 면을 자르거나, 구멍의 개수를 변화시키는 방법을 제외한 변형을 같은 모양으로 취급한다. 이를테면 손잡이 달린 컵과 구멍 뚫린 도넛은 같은 모양으로 생각한다. 이해하기 쉽게 찰흙 반죽이나 만득이 반죽 같은걸 상상해보자. 임의의 방법으로 찌그러뜨리거나 늘려도 되지만, 표면을 터뜨리면 안 된다. 이 경우 원래 구멍이 난 물건은 어떻게 뭉그러뜨려도 구멍을 없앨 수 없고, 원래 구멍이 없는 물건은 표면을 터뜨리지 않는 이상 어떻게 찌그러뜨려도 구멍을 낼 수 없다는 걸 쉽게 상상할 수 있다.[1]
사실 위상수학에서 개념을 전개하는 방식은 '''위 서술된 바와 많이 다르고''' 본문 글은 위상수학을 배우지 않은 사람들도 쉽게 이해할 수 있도록 상당히 비엄밀하고 직관적으로 서술하고 있으므로 읽을 때 주의해야 한다. 선을 끊거나, 면을 자르거나, 구멍의 개수를 변화시키는 방법을 제외한 변형만을 다루는 것은 물론 아니고 정확하게 말하자면 위상수학은 '''거리개념을 배제함'''으로써[2][3] 수학적 대상들을 분류하는 쪽에 초점이 맞춰져 있다. 상술한 변형들은 사실 위상수학 위에서 논리를 전개하는 미분기하학에서 위상적 불변량을 통해 3차원 다양체들을 분류할 때 좀 더 직접적으로 다루지 교수님에 따라 학부 위상수학 강의에서 그리 심도깊지 않게 다룰 수 있다. 물론 미분기하학을 배울 때라면 얄짤없다.
위 설명에서도 알 수 있듯이 애초에 중등교육 수준에서는 개념을 정확히 이해하기에도 상당히 무리가 있으며 그래서 별명이 '''또모르지'''다.[4][5] 대학에서도 수학과 및 인접학과가 아니면 깊이 배울 기회도 드물다. 수학을 좋아하지만 주로 응용분야를 써먹는 자연대, 공대 등의 이과생들이 위상수학은 뭔가 하고 들어가 봤다가 놀라는 경우도 많다.
학부생에게는 해석학과 선형대수학에서 고등수학의 직관과 논리가 충돌한다면 위상수학은 현대대수학과 함께 다루는 대상의 직관성과 추상성이 맞붙는 과목이다.[6] 하지만 수많은 학생들이 저러한 대상의 추상성에 익숙하지 않은 것이 문제. 특히 학부 교수님의 강의가 거리공간의 성질을 추상화해가는 방식이 아닌 밑바닥부터 시작하는 방식이라면 괴리감은 더욱 커진다. 결국 이해는 포기하고 달달달 외우는 학생들이 다반사. 시험 또한 다른 수학과 과목과는 달리 '''계산은 거의 없다고 봐도 된다'''(크기를 구하는 문제가 없으므로...). 대신 위상수학 시험의 답안지를 보면 작문 시험이라고 봐도 될 정도로 장문의 글이 써져있는 것을 볼 수 있다 특성상 증명 위주이기 때문. 물론 교수님들은 그런 장문의 글에서도 틀린점을 하나하나 다 꼽아내 완벽하게 쓴것 같은데도 왕창 점수가 깎여있는 상당히 엄밀하여 깐깐한 과목이라 할 수 있다.
위상수학에서는 다음의 8개를 기본적인 위상으로 다룬다:
- 구(Sphere)
- 원환체(Torus)
- 두 구멍 토러스(2-holed Torus)
- 여러 개 구멍 토러스(g-holed Torus)
- 사영평면(Projective plane)
- 클라인의 병(Klein bottle)
- 안팎이 구분 안 되는 구(Sphere with c cross-caps)
- 안팎이 구분 안 되는 여러 개 구멍 토러스(2-Manifold with g holes and c cross-caps)
3. 역사
보통 집합 위에서 위상공간을 추상적으로 정의하고 그 성질을 연구하는 것과 달리, 역사적으로는 말 그대로 도형의 모양을 연구하는 데에서 출발했다. 대개 출발을 쾨니히스베르크 다리 건너기 문제[7]로 생각하는데, 이는 레온하르트 오일러가 도형을 그 정확한 크기 등을 무시하고 형태만을 '개략적으로' 나타낸 것을 들어, 처음으로 학술적으로 위상수학적 접근이 나타났다고 말한다.
이후 19C 후반부터 20C 초반에 이르러, 필릭스 클라인, 앙리 푸앵카레로 이어지며 대수적 위상수학(algebraic topology)의 기본개념인 호모토피(homotopy), 호몰로지(homology)에 대한 개념이 정립되면서 본격적으로 도형의 연속적인 성질을 연구할 수 있는 대수학적 도구가 만들어졌다.
한편, 19C 후반부터 해석학에서도 수직선 위의 연속함수와 부분집합에 대한 다양한 성질이 연구되고 있었다. 라이프니츠와 뉴턴 시대부터 미적분이 워낙 막장으로 정립됐어서 (...) 코시, 바이어슈트라스, 볼차노, 보렐 등 많은 수학자에 의해 미적분학의 내용을 (극한부터) 제대로 설명하는 시도가 있었고, 그 중 많은 성질이 실수의 열린집합(open set)의 성질에 의존한다는 것을 밝혔다.
또한, 평행선 공준(parallel postulate)에 대한 "반례"로, 가우스와 리만을 필두로 한 구면기하학(spherical geometry) 혹은 쌍곡기하학(hyperbolic geometry)이 제시되었고, 이들 역시 등장변환(isometry)라는 연속성에 대해 변하지 않는 성질이 몇몇 있음이 밝혀졌다.
- 등장변환이란 거리함수 $$d$$가 정의되어 있을 때, $$\left(X, d_X\right) ,\left(Y, d_Y\right)$$의 두 거리공간상에서, $$d_X\left(a,b\right)\to d_Y\left(f(a), f(b)\right)$$를 만족하는 $$f:X\to Y$$로 정의된 함수 $$f$$가 존재한다는 성질.
이 따로 노는 듯한 아이디어가, 칸토어의 집합론 관점 하에서 모두 묶는 과정이 20세기 초에 수학기초론에 대한 연구가 활발히 이루어지면서 차차 진행되었다. 그 결과,
- 먼저 열린집합(open set)을 집합 위에서 정의하면
- 연속함수(continuous function)을 정의할 수 있고
- 이 연속함수의 모임에 대해 이런 저런 조작을 가해서 호모토피나 호몰로지를 집합론적으로 정립할 수 있고
- 혹은, 열린집합의 모임이 잘 알려진 공간(예: Rⁿ)의 열린집합과 위상동형(位相同型, homeomorphic)하다고 보고, 기타 미분에 쓸만한 성질을 추가하면 특수한 거리 개념을 지니는 기하학을 다룰 수 있다
4. 위상공간론(General topology, Point-set topology)
모든 위상수학의 시작이라 부를 수 있는 개념을 다룬다. 어떻게 보면 대수학보다도 더 추상적인 내용이 많은지라 이해하는 데 어려움을 겪을 수도 있다. 다만, 너무 일반적인 경우를 다루고 있어, 해석학 중에서 함수해석학 정도에서만 심도있게 사용하는 분야이다. (위상공간 중에서 가지고 있는 성질 중에서 함수해석학에서 다루는 공간들에 적용이 가능하다.)
가장 기본적인 형태로써, 공간(space)을 집합(set)으로, 공간상에 있는 하나의 점(point)을 집합상에 있는 하나의 원소(element)로 해석하는 것에서부터 논리 전개를 시작한다. 결국 우리가 말하는 위상공간(topological space)또한 ‘특정한 정보’가 주어진 ‘집합’일 뿐이다. 우리가 이 공간에 대해서 해석하거나 특징을 이끌어 낼려면 이 ‘특정한 정보’는 반드시 있어야 한다.
근데 이 ‘특정한 정보’라는 것이 처음 배우는 사람에게 있어서 참 묘한데다 이해의 어려움이 생길 수 있다. 이 ‘특정한 정보’는 열린집합(open set)의 모임이라는, 해당 공간의 부분집합들을 모아둔 녀석들이다. 다만 서로 특정한 특징을 만족시키게끔 모아둔 녀석들인데, 이게 바로 해당 공간을 해석하는 원천, 근거가 된다. 이렇게 모아둔 집합을 바로 이 공간의 위상(topology)이라고 부른다. 그리고 위상에 대한 정보를 가진 공간(집합)이 위상공간이다.
오직 위상(topology)의 기본정리에 기반해서만 이야기를 이어나가기에는 어렵기 때문에 여기에 여러가지 제약조건이나 형태를 추가하여 우리에게 익숙한 공간의 성질이나 형태를 이끌어내기도 한다. 예를 들어 하우스도르프 공간(Hausdorff space)성질이나 완비성(completeness)를 추가하여(이때는 metric space라는 보장이 필요하지만...) 우리가 익숙한 실수체계기반의 공간에 대한 광범위한 해석이 가능하다. 또는 콤팩트성(compactness)와 연속함수(continuous function)에 관한 정의를 추가해서 넓은 범위에서의 최대·최소 정리(extreme value theorem)를 증명하는 것도 가능하다.
재미 있는 것은, closed set 으로도 모두 정의가 가능하며, neighbourhood 로도 가능하며, 더 나아가 closure function, convergence 등의 개념으로도 위 개념을 다 정의할 수 있다. 하지만, open set 으로 정의하는 것이 de facto 스탠다드이다.
직접 위상공간의 성질만을 다루는 것 외에도 거리공간(metric space)[8], uniform space 등 위상공간과 연관되어 있는 다른 공간의 성질도 다루기도 한다. 이런 성질은 주로 해석학에서 쓰일 것을 염두에 두고 다루는 것이다.
위상수학의 시작은 도형이지만, 집합론으로 정의된 이후 부터는 도형과 전혀 관련없는 분야들에서 많이 쓰인다. 정의 자체가 그냥 집합이기만 하면 되는 식으로 엄청나게 일반적이기 때문에, 논리학 등 이산 집합에도 자주 쓰인다. 이런 경우에는 도형에서 다져진 직관력이 전혀 안 통하기 때문에 처음보는 사람들은 추상성에 이해의 어려움을 겪는다. 이런 부류의 증명중 가장 쉬우면서도 대표적인 것이, 소수가 무한대로 많이 존재한다는 유클리드 정리의 Furstenberg 버전 증명이다. 정수집합에 기발하게 위상을 정의하고 그것을 통해 간단히 증명을 하였다. 참고로 힐렐 퓌르스텐베르크(Hillel Fürstenberg) 교수가 위상을 배우고 직후에 20살의 학부생일 때 발표한 증명이다.
간과하기 쉽지만 수학을 깊이 공부할수록 정말로 약방의 감초처럼 여기저기 적용 될 수 있기에 소홀히 할 수 없는 분야인데, 아래의 '기하학적인' 위상수학과는 다르게 수학 기초론적인 성격을 띄기 때문에 하위 수학 분야마다 용도에 맞는 적절한 위상을 설정해서 사용하는 경우가 많다.
5. 대수적 위상수학(Algebraic topology)
[image]
경로의 연속적 변형. 출처
위상공간의 대수적 불변량에 대해 공부한다.
위상공간 중에서도 특히 성질이 좋은 것, 가령 다양체(manifold)나 CW 복합체(CW complex)의 경우 보통 '도형' 하면 떠올리는 구, 다면체, 혹은 그래프[9]와 같은 것을 위주로 공부하는데 좀더 일반적으로는 compactly generated weak Hausdorff space까지만 공부한다. 그 이유는 이 조건이 수반함자를 공부할때 매우 중요하게 쓰이기 때문.
이들의 성질은 대개의 경우 위상공간의 위상동형 보다는 호모토피류에만 의존하는데, 기초적인 예시로는 호모토피군, 호몰로지군, 코호몰로지환 등이 있다.
좀더 구체적인 예로, 공간 위의 원이 연속적으로 변형되어(continuously deform; homotopy) 한 점이 될 수 '''없을''' 경우, 이 경로는 공간 내의 '구멍'에 의해 이러한 변형이 막힌다고 해석할 수 있다.
경로의 시작점과 끝점이 같은 경우, 경로의 연속적인 변형에 대한 동치류를 정의할 수 있는데, 이 동치류의 집합을 가지고 군(群, group)을 만들어 "계산"할 수 있고, 이러한 성질은 또한 '''공간의 호모토피류'''에 따른 불변량 중 하나이다.
이러한 조작을 하고 나면, 대수학에서 군, 모듈 등에 대한 성질을 가지고 공간에 대한 성질을 계산만으로 예측할 수 있고, 그에 따른 결과로 브라우베르 고정점 정리(Brouwer fixed point theorem), 보르수크-울람 정리(Borsuk-Ulam theorem) [10]등이 있다.
푸앵카레 추측 역시 3차원인 공간의 대수위상학적 성질에 대한 내용이다.[11][12]
6. 미분 위상수학(Differential topology)
미분위상수학이란, 미분 다양체의 불변량을 공부하는 학문이다.
두개의 미분다양체가 위상동형이라 하더라도 미분동형이 아닐 수 있는데, 그 구체적인 예시를 찾는법은 쉽지 않다.
1956년 밀너는 7차원 구가 적어도 4개 이상의 미분구조를 가진다는 연구결과를 발표하고 그 업적으로 1962년 필즈상을 수상했다. (그 후 밀너는 7차원 구가 정확히 28개의 미분구조를 가진다는것을 증명했다.)
유클리드공간의 경우 4차원을 제외하고는 모두 유일한 미분구조를 가지지만, 4차원의 경우 비가산무한개 만큼의 미분구조를 가진다는 결과를 도날슨이 증명하고 1986년 필즈메달을 수상했다.
6.1. 참고
7. 기하학적 위상수학(Geometric topology)
저차원 다양체를 분류하는 문제에 대한 분야이다.
다양체는 국소적으로 유클리드 공간과 비슷한 위상공간이다. 구를 예로 들어보자면, 구를 국소적으로 확대하면 평면처럼 생각할 수 있다. 지구는 구형이지만 이 위에서 지구의 몹시 작은 부분만 보고 있는 사람이 보기에 땅이 평평한 평면처럼 보이는 것에 대해 생각해 보면 이해가 쉬울 것이다. 즉 다양체는 유클리드 공간이 아닐 수도 있지만, 그 위의 아주 조그만 영역에서는 유클리드 공간처럼 보이는 위상공간이다.
이런 다양체는 일반적인 위상공간보다 훨씬 좋은 성질을 가진다. 1,2차원의 다양체는 너무 자명한 성질 밖에 가지고 있지 않고, 5차원 이상의 다양체들은 h-cobordism 정리에 의해 모두 비슷한 성질을 가지게 되어 수학적인 의미가 적지만, 3차원과 4차원 다양체에 대해서는 굉장히 특이한 성질을 많이 발견할 수 있다.
매듭이론이 3차원 다양체를 다루는 기하학적 위상수학의 분야 중 하나이다.
8. 다른 학문과의 연관
1900년대 초 일반 상대성 이론에서 '공간의 휘어짐'이란 개념을 수학적으로 표현하는 데 (그 당시에는 수학자들한테도 최첨단의 학문이었던) 미분기하학이 '''상당수''' 쓰였으며, 지금도 물리학과, 천문학과 쪽에서는 천체물리학, 우주론은 물론 근래들어 고체물리학 전공자들에게도 모르면 안되는 개념이 되어가고 있다. 그래핀의 발견과 맞물려 나오기 시작한 위상부도체(Topological insulator)의 대두로 기존에 밴드이론으로 물질을 이해하던 것에서 위상적인 개념이 추가되어버렸기 때문이다.
이런 배경이 생겨난 이후 전자공학에도 쓰이기 시작했다. AMD ZEN 마이크로아키텍처의 칩간 통신에도 위상수학적 요소가 들어가 있다고 한다.
최근 기계학습, 통계학쪽의 고차원 데이터 분석을 할 때도 사용되기 시작했다. Topological data analysis 등의 키워드로 검색하면 자료를 얻을 수 있다.
분자생물학에서도 DNA의 전사와 번역을 연구하는 데 위상수학의 하위 과목인 매듭이론을 접목하고 있다.
경제학과 박사에 유학할 의향이 있는 학생들도 듣고 있다. 수학적 배경을 보여주는 신호로서 어필하기도 좋고, 실제로 미시경제학 등에서 fixed-point theorem(부동점 정리) 등이 사용되는데 위상수학을 이용하여 증명하면 아주 아름답다. 또한, 일반균형 (General Equilibrium)을 분석할 때도 미분위상수학이 쓰이는 경우가 있으므로 미시경제학의 미학을 느끼고 싶다면 들어두는 것이 좋다.
9. 교재
교재는 여러가지가 있으나 문제만 풀기 위해서라면 문제가 많은 교재를 무엇을 사도 무방하다. 위상수학은 고도로 추상화된 학문이다보니 교재별 문제가 별 차이가 없으며 난이도도 상 중 하 단계별로 나누기가 까다롭기도 하기 때문이다. 대부분 문제가 푼다, 못푼다(...)로 나뉘는만큼 교재 자체의 난이도를 보고 구매하는것이 중요하다. 아래는 많이 추천되는 책들이다.
- J. Munkres. Topology: 매우 많이 쓰이는 교재. 설명은 친절하지만 연습문제가 조금 어려운것이 흠. 최근에 번역본이 나왔다.[13] 특히 처음 공부 시 추상적이라 이미지를 잡기 쉽지 않은 분야인데 수많은 예시를 들어가며 설명해주는 점이 평가가 좋다. 뒷부분에 호몰로지, 반-캄펜 정리등 기초적인 대수위상수학이 실려있다.
- 박대희, 위상수학: 위상수학 입문서로, 위의 Munkres 교재를 매우 많이 참고한 듯한 느낌이 나는 한국 교재이다.
- Croom, Principle of Topology: Munkres에 비해서는 난이도가 쉬운 편이라 입문용 교재로 적당하다. 하지만 뭉크레스에 비해 쓰이는 빈도는 현지히 낮은 편.
- B. Mendelson, Introduction to Topology : 역시 학부 수준 위상수학 입문서. 비교적 직관적으로 이해하기 쉬운 Metric space부터 시작해서 입문 난이도를 많이 낮췄다. 책 가격이 저렴한 것도 소소한 장점.
- A. Hatcher. Algebraic Topology: 대수위상수학 교재의 본좌. 저자인 엘렌 해처(Allen Hatcher)는 코넬 대학교 수학과 명예교수이며, 자신의 홈페이지에 책 전문을 pdf로 공개해놓고 있다. 처음부터 끝가지 하나하나 친절하게 길게 설명해주는 스타일이 양날의 검인데, 읽다 보면 이해하기 쉬워서 좋다는 평도 있지만 말만 너무 늘어지게 써놔서 수학 책을 읽는건지 소설책을 읽는건지 모르겠다는 경우도 있다.
10. 기타
위상수학의 기괴한 풀이를 맛볼 수 있는 영상. 폐곡선 위에 있는 점을 꼭짓점으로 하는 직사각형이 존재한다는 정리를 뫼비우스의 띠 모서리를 2차원 평면에 붙이는 과정에서 교차점이 생긴다는 점을 이용해 증명하고 있다.
모두가 잊어버리고 있지만 한국에서는 '''중학교''' 1학년 수학 시간에서 배우는 다면체에 잠깐 등장한다.[14] 단일폐곡선의 개념, 뫼비우스의 띠, 오일러의 공식, 한붓그리기 규칙 등을 간단히 언급하고 지나가는 정도이지만 그 내용이 얼마나 심오하고 혁신적인가는 잘 이야기되지 않는다. 애초에 가르치는 수학 선생님들조차도 대수학, 고전기하학, 해석학 등 중고등학교 수학의 다른 분야에 비해 이 쪽에는 정통한 경우가 드물다.[15] 가끔 수학에 큰 애착을 가진 선생님들이 수학 잘하는 제자들에게 신나서 가르치는 정도.
지하철 노선도가 지금처럼 '간결하게' 그려질 수 있게 된 것은 이 위상수학의 발달 덕분이 다. 처음에는 지도에다가 본을 떠서 그린 것처럼 상당히 '복잡하게' 그려졌었는데, 이로 인하여 오히려 승객이 감소하게 되자 지금과 같은 형태의 노선도가 나오게 되었다. 이후 전세계 지하철 노선도는 지금처럼 간결한 형태로 나오게 된다. 물론 지도를 본떠서 만든 노선도도 존재한다.[16] 뉴욕 지하철의 경우는 공식 노선도가 지도형 노선도이며, 홍콩 지하철도 원래 영국 식민지 시절 영국식 위상노선도였으나 중국으로 넘어간 이후 대륙의 기상으로 노선이 늘어나면서 위상노선도를 폐지하고 지도형으로 바꿨다. 산까이(신계)지역 노선도 표기문제 때문에 바꿀 수밖에 없었다고.
한때 인터넷을 달군 빨대 구멍 개수 논란의 키워드로 주목받기도 했다.
[1] 이와 관련된 내용이 2017학년도 수능대비 연계교재 EBS수능특강 국어영역 독서에 출제되었다.[2] 다시 말해 위상수학에서만큼은 크기(크기는 거리에서 자연스럽게 정의되는 개념이다)라는 것을 망각해야 한다. 예컨대 모양은 같고 크기가 다른 도형은 일반적인 기하학에서는 닮았다(similarity)고 표현하지만, 위상수학에서는 그냥 '''똑같다(homeomorphism)'''고 표현한다.[3] 까마득하겠지만 초등학교 1학년 때 공 모양, 세모 모양, 네모 모양 등을 분류해본 적이 있을 것이다. 여기서는 '크기'를 묻는 문제가 없다는 점에서 위상수학적으로 접근함을 알 수 있다.[4] 심지어 위상수학을 하는데 기초가 되어야 할 집합은 중학교 교육과정에서 최근 제거되었다. 그 개념을 이해하는 과정 자체도 어려운 것들이다. 그렇지만 어렵다는 편견을 버리고 3D로 머릿속에서 그림을 잘 그리고 집합을 배운 적이 있는 사람이라면 중등교육 수준의 내용은 누구나 할 수 있다.[5] 위상수학에 대한 시각은 외국도 딱히 다르지 않아서, 위상부도체가 주제였던 2016년 노벨물리학상 시상식에서 심사위원들이 기자들 앞에서 도넛을 들고 실랑이를 벌인 바 있었다.[6] 학부 해석학은 주로 실복소 해석이기에 나름 직관적인 대상을 다루고 선형대수학 또한 나름 익숙한 사칙연산이 자연스레 성립하는 체와 벡터 공간을 다룬다. 하지만 위상수학과 현대대수학의 입장에서 저런 주제들은 '''매우 좋은 성질'''을 추출했을 뿐 어디까지나 다루는 대상의 '''예시'''에 불과하다. 쉽게 말해 선형대수와 해석학에서는 '''논리적인 방법으로 직관적인 대상'''을 다루는데 반해 위상수학과 현대대수학은 '''논리적인 방법으로 추상적인 대상'''을 다루는 정도의 차이가 있다.[7] 한붓그리기의 시초가 되었다는 그 다리 문제.[8] 집합 위에 거리함수(metric function)을 준 구조. 그 자체로 위상공간을 하나 만들기 때문에 위상공간의 성질에 의존하는 부분이 많지만, 거리공간이기 때문에 가지는 독특한 성질도 있다. 완비성(completeness), 베르의 범주 정리(Baire category theorem) 등.[9] 점과 선으로 이루어진 도형[10] 어느 순간이든 지구 위에서 반대편과 온도가 같은 지점이 있다.[11] 그런데 재미있는건 이 문제를 증명한 그리고리 페렐만은 이 문제를 대수적 위상 수학이 아닌 미분기하학을 이용하여 풀었다는 것 이다.[12] 사실 난제를 생판 다른 분야를 이용해 푸는 것은 꽤 있다. 당장 페르마의 마지막 정리의 최초의 증명법은 순수 정수론이 아닌 타원곡선과 모듈러로 이루어졌다.[13] 오타가 많다고 한다. [14] 아닌게 아니라 다면체에 위상수학의 많은 개념을 그대로 적용할 수 있다![15] 임용고시에서 위상수학도 범위에 들어가지만 수학교사들도 임용고시 합격하면 포맷행이다.(?!) 게다가 그리 심도 있는 내용은 거의 다루지 않고 기초적인 위상공간론만 다루고 넘어가는 수준이라 임용수준에서는 위상수학을 잘했다한들 정통했다고 하기는 어렵다.[16] 주로 역 플랫폼에서 볼 수 있다.