디랙 델타 함수

1. 개요

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'''디랙 델타 함수(Dirac Delta Function)'''는 영국의 물리학자 디랙(Paul Dirac; 1902 ~ 1984)이 고안한 함수[1]이며, 기호로는 $$\delta(x)$$로 나타낸다. 다음과 같이 정의되어 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x)\,\mathrm{d}x &=f(0) \\ \delta(x)&=0 \ (x \neq 0) \end{aligned}$$

[1] 구스타프 키르히호프와 올리버 헤비사이드도 디랙 델타 함수에 대한 정의를 한 적이 있지만, 1927년에 폴 디랙이 양자역학을 수학화하면서 디랙 델타 함수를 응용한 게 유명해져서 그의 이름이 붙었다.

평행이동을 고려하여 다르게 표현하면

$$\displaystyle \begin{aligned} \int_{t_1}^{t_2} f(t) \delta(t - t_0) \,\mathrm{d}t &= \begin{cases} f(t_0) & (t_1 < t_0 < t_2) \\ 0 & (\sf{otherwise}) \end{cases} \\ \delta(t - t_0) &= 0 \ (t \neq t_0) \end{aligned} $$

위 정의에 의하면 디랙 델타 함수는

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)\,\mathrm{d}x = \int_{{t_0}-\epsilon}^{{t_0}+\epsilon} \delta(t - t_0)\,\mathrm{d}t = 1 \ (\epsilon > 0) $$

이 되는데, 이것은 $$f(x)=1$$인 경우로 취급할 수 있기 때문이다.
수학적으로 엄밀히 말하면 함수는 아니며, 이를 수학에서는 '''분포(Distribution)'''라는 개념으로 정의한다. 이 분포는 원 형태 단독으로는 정의될 수 없고, 콤팩트 지지를 가지는 매끄러운 함수인 시험 함수(Test function)[2]와의 적분 연산에서만 정의될 수 있다. 그렇기 때문에 이 문서에서 밝힐 이 분포의 성질들도 시험 함수와의 적분 연산으로 얻을 수 있다.
분포의 정확한 정의는 대학원 수준의 함수해석학에서 다루기 때문에, 해석학 전공 이외의 분야에서 디랙 델타를 사용하는 대다수의 경우에는 본 문서처럼 정의를 생략하고 직관적으로 설명하는 것이 보통이다. '''대부분의 위키러들을 위한 상세 문단의 설명은 수학적으로 완전히 엄밀하지는 않은 내용임을 감안하고, 이것을 정확하게 생각하고 싶으면 하단의 문단을 참고하자.''' 예로 아래의 적분 기호 대부분을 문자 그대로 평범한 이상 적분으로 해석하면 어딘가에서 이상한 점이 생기는 것도, 분포 이론에서는 저 적분 기호가 약간 다른 의미로 쓰이기 때문이다. 이 개념을 고안한 디랙 및 당대의 사람들도 정의보다는 물리학자 특유의 뛰어난 직관을 이용해 이 개념을 사용하였고, 로랑 슈바르츠가 디랙 델타 함수를 정의하기 위해 분포 이론을 창안한 것은 조금 뒤인 1950년의 일이다.

2. 상세

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우리는 디랙 델타 함수를 기술하는 함수를 찾기 위해 아래와 같은 함수를 고려해보고자 한다.

$$\displaystyle \delta_{n}(x)=\frac{n e^{-n^{2}x^{2}} }{\sqrt{\pi}} $$[3]

[2] 혹 함수(Bump function)라고도 한다.

[3] 식의 형태에서 알 수 있듯 확률 밀도 함수 중 하나인 정규 분포의 변형이다.

이 함수에 대하여

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta_{n}(x)\,\mathrm{d}x=1 $$

이므로 디랙 델타 함수의 성질을 만족시킨다.[4] 다만, 함숫값이 $$x=0$$ 이외에는 존재하지 않게 하기 위해 극한을 사용하면

$$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\delta_{n}(x) \to \delta(x) $$

[4] 적분값에 대한 계산법은 가우스 적분 문서를 참조하라.

으로 된다.[5] 이 때, $$\delta_{n}(x)$$를 디랙 델타 함수의 Sequence라 한다. 그러나, 수학적으로 엄밀히 말하면

$$\displaystyle \lim_{n\to \infty} \int_{-\infty}^{\infty} \delta_{n}(x) f(x)\,\mathrm{d}x = f(0) $$

[5] 등호로 표현하지 않은 것은 극한값을 갖는다는 것이 아닌 함수의 형태가 디랙 델타 함수의 정의에 맞게 감을 표현하기 위해서이다.

이 명확한 디랙 델타 함수의 정의이다. 왜냐하면, 수학적인 관점에선 $$\displaystyle \lim_{n\to \infty}\delta_{n}(x) $$는 존재하지 않기 때문이다.
사실, 이미 눈치챈 위키러들도 있겠지만, 디랙 델타 함수의 Sequence는 위의 함수만 존재치 않고 여러 가지 존재한다. 왜냐하면

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta_{n}(x)\,\mathrm{d}x=1 \qquad \qquad \lim_{n\to \infty}\delta_{n}(x) \to \delta(x) $$

를 만족하는 함수는 여러 가지가 존재하기 때문이다. 아래의 예는 그러한 Sequence들의 몇 가지 예시를 나타낸 것이다.

[math(\displaystyle \begin{aligned} \delta_{n}(x) &= \begin{cases} 0, & |x|>\dfrac{1}{2n} \\ \\ n, & |x| \leq \dfrac{1}{2n} \end{cases} \\
\delta_{n}(x) &=\frac{n}{\pi} \frac{1}{1+n^2 x^2} \\
\delta_{n}(x) &=\frac{\sin{(nx)}}{\pi x} \end{aligned} )]

아래의 그림[출처]은 위에서 제시된 디랙 델타 함수의 Sequence의 개형을 나타낸 것이다. Sequence는 굳이 짝함수일 필요는 없음에 주의해야 한다.[6]

2.1. 성질

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위에서 밝혔듯 디랙 델타 함수 특성 상 모든 성질의 증명에는 시험 함수와의 적분 연산이 쓰인다.

1. $${ \delta(x)=\delta(-x) }$$
   • 즉, 이 성질은 디랙 델타 함수가 짝함수(Even function, 우함수)임을 나타낸다. 다만, 명확히 말하면 디랙 델타 함수는 분포 중 하나이므로 짝분포임이 엄밀한 설명이다.

[증명] --- 시험 함수 $$f(x)$$에 대하여 [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(-x) f(x) \,\mathrm{d}x &=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) f(-y) \,\mathrm{d}y \\ &=f(0) \end{aligned} )] 이다. 위에서 $$-x \equiv y$$로 치환적분 했다. $$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) f(x) \,\mathrm{d}x =f(0) $$ 임을 상기하면, $${ \delta(x)=\delta(-x) }$$임이 증명된다.

1. $$ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_{0}) f(x)\,\mathrm{d}x=f(x_{0}) $$[7]

[증명] --- $$x-x_{0} \equiv y$$로 치환적분하면 [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_{0}) f(x)\,\mathrm{d}x&=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) f(y+x_{0})\,\mathrm{d}y \\ &=f(x_{0}) \end{aligned} )] 임이 증명된다.

1. $$ \displaystyle x\delta(x)=0 $$

[증명] --- 다음을 고려하면 쉽게 증명될 수 있다. [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} x \delta(x)\,\mathrm{d}x&=0 \\ &= \int_{-\infty}^{\infty} 0 \cdot \delta(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned} )]

1. $$ \displaystyle x^{n} \delta(x)=0 $$

[증명] --- 시험 함수 $$f(x)$$에 대하여 [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} x^{n}\delta(x) f(x) \,\mathrm{d}x &=0 \cdot f(0) \\ &=0 \end{aligned} )] 이고, $$f(x)$$는 임의의 함수이므로 $$\displaystyle x^{n} \delta(x)=0$$이 성립함을 알 수 있다.

1. $$ \displaystyle \delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x) $$

[증명] --- '''[1]''' $$a>0$$일 때 이 때 $$a=|a|$$로 쓸 수 있고, 시험 함수 $$f(x)$$에 대하여 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(|a|x) f(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned} $$ 로 쓸 수 있다. $$|a|x \equiv y$$로 치환적분하면 [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(|a|x) f(x) \,\mathrm{d}x &=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) f \left( \frac{y}{|a|} \right) \mathrm{d}y \\ &=\frac{f(0)}{|a|} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|a|} \delta(x) f(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned} )] 에서 증명된다. '''[2]''' $$a<0$$일 때 이 때 $$a=-|a|$$로 쓸 수 있고, 시험 함수 $$f(x)$$에 대하여 $$\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(-|a|x) f(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned} $$ 으로 쓸 수 있다. $$-|a|x \equiv y$$로 치환적분하면 [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(|a|x) f(x) \,\mathrm{d}x &=\frac{1}{|a|}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(y) f \left(- \frac{y}{|a|} \right) \mathrm{d}y \\ &=\frac{f(0)}{|a|} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{|a|} \delta(x) f(x) \,\mathrm{d}x \end{aligned} )] 에서 증명된다. 이상의 결과를 종합하면, $$\displaystyle \displaystyle \delta(ax)=\frac{1}{|a|}\delta(x) $$ 임을 얻는다.

1. $$ \displaystyle \delta(g(x))=\sum_{i} \frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|} \ (g(x_{i})=0,\, g'(x_{i}) \neq 0) $$[8]
   • 이것을 이용하면 아래를 증명할 수 있다.
     • $$ \displaystyle \delta((x-a)(x-b))=\frac{\delta(x-a)+\delta(x-b)}{|a-b|} $$
     • $$ \displaystyle \delta(x^2-a^2)=\frac{\delta(x+a)+\delta(x-a)}{2|a|} $$

[증명] --- 함수 $$g(x)$$의 영점 $$x_{i}$$에서만 디랙 델타 함수의 함숫값이 존재한다는 것을 이용하자. 영점 근처에서 함수 $$g(x)$$를 일차항까지만 전개하면 $$\displaystyle g(x)=g'(x_{i})(x-x_{i}) $$ 가 되고, 한편, 시험 함수의 적분 연산을 위 결과를 이용하면 [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta(g(x)) f(x)\,\mathrm{d}x&=\sum_{i} \int_{x_{i}-\epsilon}^{x_{i}+\epsilon} \delta(g'(x_{i})(x-x_{i}))f(x)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{i} \frac{1}{|g'(x_{i})|}\int_{x_{i}-\epsilon}^{x_{i}+\epsilon} \delta(x-x_{i})f(x)\,\mathrm{d}x \\ &=\sum_{i} \frac{f(x_{i})}{|g'(x_{i})|} \\ &=\int_{-\infty}^{\infty} \left[ \sum_{i} \frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|} \right] f(x)\,\mathrm{d}x \end{aligned} )] 로 쓸 수 있으므로 $$\displaystyle \delta(g(x))=\sum_{i} \frac{\delta(x-x_{i})}{|g'(x_{i})|} $$ 가 성립한다.

2.1.1. 미분 연산

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1. $${ \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(x) f(x)\,\mathrm{d}x=-f'(0) }$$

[증명] --- 부분적분을 이용하면 [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} \delta'(x) f(x) \,\mathrm{d}x &= \biggl.\delta(x)f(x) \biggr|_{-\infty}^{\infty} -\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)f'(x)\,\mathrm{d}x \\ &=-\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)f'(x)\,\mathrm{d}x \\ &=-f'(0) \end{aligned})]

1. $${ \displaystyle x\delta'(x)=-\delta(x) }$$

[증명] --- 부분적분을 이용하면, [math(\displaystyle \begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} x \delta'(x)f(x)\,\mathrm{d}x &=\biggl.x\delta(x)f(x) \biggr|_{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x)(x f(x))' \,\mathrm{d}x \\ &=-\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) (xf(x))'\,\mathrm{d}x \\ &=\biggl.-(x f(x))' \biggr|_{x=0} \\ &= -f(0) \end{aligned})] 이 되므로 $$\displaystyle x\delta'(x)=-\delta(x) $$ 임이 증명된다.

2.1.2. 적분 연산

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디랙 델타 함수를 적분하면 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function) $$u(x)$$[9]가 나온다.

$$\displaystyle u(x) =\int_{-\infty}^{x} \delta(t)\,\mathrm{d}t $$

[출처] Arfken, "Mathematical Methods for Physicists: A Comprehensive Guide 7th Edition"

[6] 예시: 에어리 함수를 이용한 $$\displaystyle \delta_{n}(x)= n \mathrm{Ai}(nx) $$

[7] $$x=x_{0}$$에서의 $$f$$ 함숫값을 디랙 델타 함수로 촬영했다고 생각하면 쉽다.

[8] 분포이론 관점에서 엄밀하게 본다면 이는 성질보다는 $$\delta(g(x))$$의 '정의'라고 보는 것이 자연스럽다.

[9] 헤비사이드 계단 함수는 $$\theta(x)$$, $$H(x)$$ 등 다른 표기를 쓰기도 한다.

또한 절댓값 함수의 이계도함수에서 디랙 델타 함수가 등장한다. 즉, 디랙 델타 함수를 두 번 적분하면 절댓값이 나오게 된다.

$$\displaystyle \dfrac{\mathrm{d}^{2} |x|}{\mathrm{d}x^{2}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(\mathrm{sgn} \,x )= 2 \delta ( x )$$

여기서 $$\mathrm{sgn}\,x$$는 부호 함수이다.

2.1.3. 푸리에 변환

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푸리에 변환과 그 역변환

[math(\displaystyle \begin{aligned}F(k)&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-ikx}\,\mathrm{d}x \\
f(x)&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(k)e^{ikx}\,\mathrm{d}k \end{aligned} )]

를 고려하자. $$f(x)=\delta(x)$$로 설정하면

[math(\displaystyle \begin{aligned}F(k)&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) e^{-ikx}\,\mathrm{d}x \\
\delta(x)&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} F(k)e^{ikx}\,\mathrm{d}k \end{aligned} )]

로 쓸 수 있다. 이 때,

[math(\displaystyle \begin{aligned}F(k)&=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}}\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x) e^{-ikx}\,\mathrm{d}x \\
&=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \end{aligned} )]

임을 이용하면

$$\displaystyle \delta(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} e^{ikx}\,\mathrm{d}k $$

임을 쉽게 증명할 수 있다. 특별히, 디랙 델타 함수의 푸리에 변환은 $$ 1/\sqrt{2 \pi}$$가 된다.
참고로, 푸리에 변환으로

$$\displaystyle \hat{f}(\xi)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)e^{-2\pi ix \xi}\,\mathrm{d}x $$

를 사용하는 관습에서는 앞의 상수가 없이

$$\displaystyle \hat{\delta} = 1, \qquad \qquad \hat{1} = \delta$$

가 성립한다. 이 관습을 사용하는 주된 이유이다.

2.2. 2차원 · 3차원에서의 디랙 델타 함수

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2차원 이상에서의 디랙 델타 함수는 위치 벡터 $$\mathbf{r}$$을 사용하여

$$\displaystyle \delta(\mathbf{r}) $$

로 나타낸다. 이 때, 한 점을 나타내는 위치 벡터 $$\mathbf{r'}$$만큼 평행이동했을 때는

$$\displaystyle \delta(\mathbf{r-r'}) $$

으로 쓸 수 있고,

$$\displaystyle \iint \delta{(\mathbf{r-r'})} \,\mathrm{d}^{2}r=\iiint \delta{(\mathbf{r-r'})} \,\mathrm{d}^{3}r=1 $$

이라는 성질과

[math(\displaystyle \begin{aligned} \iint \delta{(\mathbf{r-r'})} f(\mathbf{r}) \,\mathrm{d}^{2}r&= f(\mathbf{r'}) \\
\iiint \delta{(\mathbf{r-r'})} f(\mathbf{r}) \,\mathrm{d}^{3}r&=f(\mathbf{r'}) \end{aligned} )]

이라는 성질이 성립한다.
아래는 3차원 직교 좌표계, 원통 좌표계, 구면 좌표계에서의 디랙 델타 함수를 나타낸 것이다.

[math(\displaystyle \delta (\mathbf{r-r'})=\begin{cases}
\delta(x) \delta(y) \delta(z) & (\mathsf{Cartesian})\\
\\
\dfrac{\delta(\rho) \delta(\phi) \delta(z)}{\rho} & (\mathsf{Cylindrical})\\
\\
\dfrac{\delta(r) \delta(\theta) \delta(\phi)}{r^{2}\sin{\theta}} & (\mathsf{Spherical})
\end{cases})]

원통 좌표계와 구면 좌표계에 인자가 붙어있는 이유는 해당 좌표계의 부피소에 해당 인자가 붙어있기 때문이다.

2.3. 발산 정리와의 관계

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구면 좌표계에서 벡터 함수

$$\displaystyle \mathbf{V(r)}=\frac{\hat{\mathbf{r} }}{r^{2}} $$

을 고려하자. 중심이 원점이고 반지름이 $$r$$인 구 $$V$$의 표면 $$S$$를 고려할 때

$$\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{a}=4 \pi $$

가 되는데, 발산 정리에 의하면

$$\displaystyle \oiint_{S} \mathbf{V} \boldsymbol{\cdot} \mathrm{d} \mathbf{a}=\iiint_{V} (\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V})\,\mathrm{d}V $$

이고 구면 좌표계에서는

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \mathbf{V}=0 $$

이기 때문에 결과적으로 $$\displaystyle 0=4\pi $$를 얻게 된다. 즉, 발산 정리에 구멍이 뚫린 것처럼 보일 수 있다. 하지만, 발산 정리는 '''완전히 타당하다.''' 애초에 발산 정리는 Continuously differentiable한 벡터 함수와 Compact and Piecewisely smooth한 경계를 가진 입체에 대한 정리다. (증명을 해본다면 왜 이런 조건 하에서만 보장하는지 알 수 있다.) 따라서, 원점에선 정의조차 되지 않는, 심지어 제거 가능하게 불연속적이지도 않은 문제의 벡터 함수에 대해서는 (적어도 발산 정리는) 원래부터 아무 얘기도 하지 못하는 것.
그럼에도 불구하고, 우리는 이 함수에 대해서만 특별히

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\hat{\mathbf{r} }}{r^{2}}=4 \pi \delta(\mathbf{r}) $$

이라 둔다. 아마도 일부 위키러들은 왜 발산 정리가 적용될 수 없는 이 함수에 대해서만 특별히 이렇게 설정해주는지에 대해 궁금할 수도 있다. 그것은 그것은 물리학과 관계가 있으며, 연속 분포에 대한 물리학 이론을 점에 대해서도 통용시킬 수 있도록 하기 위함이다. 아래의 '물리학에서의 이용' 문단에서 명확히 알 수 있다.
또한, 이런 성질 때문에 합성곱

$$\displaystyle (f\ast g)(t)= \int_{-\infty}^{\infty}f(t-u)g(u)\,\mathrm{d}u $$

의 항등원으로 작용하며, 해석학에서도 주어진 함수열을 디랙 델타 함수로 근사시켜 여러 정리를 증명하는 수단으로 사용한다.[10]
또한,

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\mathbf{r-r'} }{|\mathbf{r-r'}|^{3}}=4 \pi \delta(\mathbf{r-r'}) $$

[10] 이런 기법을 'Approximation to the identity' 라고 한다.

임을 쉽게 알 수 있다.

2.4. 학문에서의 사용

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2.4.1. 물리학

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물리학에서는 점전하나 점질량 등 물리량은 갖고 있으나 크기가 없는 물체에 대해 해당 물리량 밀도의 공간 상 분포를 기술할 때 쓰인다.
예를 들어 3차원 상의 $$\mathbf{r'}$$에 전하량 $$q$$을 갖는 점전하가 있다고 하자. 그렇다면 전하 밀도 분포를

$$\displaystyle q \delta(\mathbf{r-r'}) $$

으로 쓸 수 있는 것이다. 왜냐하면, 점전하나 질점은 크기가 없는 대신 밀도가 해당 점에 무한히 모여있다고 볼 수 있고, 그러한 형태를 기술할 수 있는 함수는 디랙 델타 함수 밖에 없기 때문이다. 우리는 정전기학이나 고전역학으로부터 전기장이나 중력장에 대해 그 퍼텐셜 $$\Phi$$는 푸아송 방정식

$$\displaystyle \nabla^{2} \Phi=\rho $$

을 만족한다는 것을 알고 있다. 따라서, 이러한 점전하(혹은 질점)에 대해

$$\displaystyle \nabla^{2} \Phi=q \delta(\mathbf{r-r'}) $$

이라고 쓸 수 있고, 만약 식을

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} (\boldsymbol{\nabla} \Phi) = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left[ \frac{q}{4 \pi} \frac{\mathbf{r-r'}}{|\mathbf{r-r'}|^{3}} \right] $$

의 형태로 쓴다면

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \Phi = \frac{q}{4 \pi} \frac{\mathbf{r-r'}}{|\mathbf{r-r'}|^{3}} $$

임을 얻을 수 있고, 전기장이나 중력장은 퍼텐셜의 그레이디언트[11]로 나타낼 수 있다는 점을 상기해보면, 얻어진 벡터 함수는 점전하에 의한 전기장 혹은 점질량에 의한 중력장의 형태임을 알 수 있다.[12] 더욱이

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \left( -\frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} \right)=\frac{\mathbf{r-r'}}{|\mathbf{r-r'}|^{3}} $$

[11] 정확히는 음의 그레이디언트이다.

[12] 물리 상수 등은 현재 논의에서 제외한다.

임을 이용하면, 퍼텐셜은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$$\displaystyle \Phi =- \frac{q}{4 \pi} \frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} $$

결과적으로 정리하면 푸아송 방정식

$$\displaystyle \nabla^{2} \Phi=k \delta(\mathbf{r-r'}) $$

의 해는 다음과 같다.

$$\displaystyle \Phi=-\frac{k}{4 \pi} \frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} $$

아마 이 결과를 곱씹어 보면 왜 $$(\mathbf{r-r'} )/{|\mathbf{r-r'}|^{3}}$$의 벡터 함수만 발산 값을 특별히 값을 정해주는지 알 수 있을 것이다.
또한 물리학에서 쓰이는 분야는 충격이나 전기 응답에서 순간적인 변화에 대한 응답 방정식을 기술할 때 쓴다. 하지만 불행히도 해당 논의는 그린 함수에 대한 논의를 하면서 해야 하기 때문에 수준 상 생략한다.

2.4.2. 공학

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Cosine을 푸리에 변환하면 디랙 델타 함수 두 개가 나오는 등 몇몇 함수들은 푸리에 변환 결과에 디랙 델타 함수가 포함되어 있다. 따라서 통신, 신호처리 등 신호의 분석 및 처리를 위해 푸리에 변환을 자주 써먹는 분야에서 디랙 델타 함수를 볼 일이 많다.
디랙 델타 함수는 선형 시스템 이론을 사용해 시스템을 분석 할 때 매우 중요하게 다뤄진다. 일단 LTI 시스템[13]에 디랙 델타 함수를 입력하면[14] 어떤 출력이 나올 것이고 이를 임펄스 응답[15]이라고 정의한다. 자세한 증명은 생략하고 결론만 말하면, 임펄스 응답은 LTI 시스템에 대한 모든 정보를 다 담고있다. 따라서 임의의 LTI 시스템이 어떤 시스템인지 알고싶으면 디랙 델타 함수를 시스템에 입력으로 넣어서 얻은 출력인 임펄스 응답을 알아내면 된다. LTI 시스템은 임펄스 응답에 의해 유니크하게 특성지어지며, LTI 시스템의 Zero state 출력은 입력과 임펄스 응답과의 합성곱(Convolution)이기 때문에 그렇다. 즉 수학적으로 시스템에 디랙 델타 함수를 입력해서 출력을 관찰하면 다른 임의의 입력에 대한 출력을 모조리 알 수 있다. 참고로 현실에서는 몇몇 이유로 인해 시스템의 특성이 어떤지 알기 위해 아무 생각 없이 디랙 델타 함수를 입력하지는 않는다.
임펄스 응답을 라플라스 변환하면 전달 함수(Transfer function)가 되고, 푸리에 변환하면 주파수 응답(Frequency response)이 되는데, 둘 다 시스템의 해석에서 매우 중요하게 다뤄진다. 임펄스 응답을 사용해서 시스템을 분석하는 것 보다 임펄스 응답을 변환한 주파수 응답이나 전달 함수를 사용해서 시스템을 분석하는게 더 유용할 때가 많기 때문이다. 예를 들어 음향기기에 관심있는 사람이라면 주파수 응답 그래프(FR 그래프)를 보고 음향기기의 특성을 해석해본 경험이 아마도 있을 것이다.[16] 보통 시스템의 안정성(Stability)을 판정하는게 중요한 분야에서 전달 함수를 많이 사용하고, 그럴 필요가 없는 분야에서 주파수 응답을 많이 사용한다. 예를 들면 어떤 피드백 루프를 가진 전자회로를 만들었을 때 전달함수를 사용해서 나이퀴스트 선도를 그리면 회로가 타버릴 가능성이 있는지 판정할 수 있다. 추가로 디지털 시스템에서 디랙 델타 함수와 같은 역할을 하는게 크로네커 델타 함수이다.

3. 해석학에서의 엄밀한 정의와 사용

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본 문단에서는 해석학의 분포 이론(Distribution theory)에서의 분포의 정의와, 이를 이용해서 상기한 디랙 델타 함수의 성질을 엄밀하게 정의하는 법을 살펴본다. 여기서의 모든 정의는 다변수 및 더욱 일반적인 공간에 대해 동일한 내용으로 일반화될 수 있지만, 편의를 위해 실수 위에서만 서술하기로 한다.

3.1. 분포 공간

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분포 공간을 정의하기 전에, 우선 시험 함수들의 공간을 정의할 필요가 있다. '''시험 함수(test function)''' $$\varphi(x)$$는 $$C_c^{\infty}(\mathbb{R})$$의 함수로,

• 매끄러움: 모든 차수의 도함수가 존재하고 연속이다.
• 컴팩트한 지지(compact support): 컴팩트한 부분집합 $$K \subset \mathbb{R}$$가 존재해, $$\varphi|_{K^c} = 0$$이다. 특별히 실수에서는 $$|x|>M$$이면 $$\varphi(x)=0$$인 실수 $$M$$이 존재한다.

의 두 조건을 만족시키는 함수로, 이들을 모은 시험 함수 공간은 다음과 같이 정의한다.

'''시험 함수 공간(test function space)'''

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시험 함수 공간 $$\mathcal{D}(\mathbb{R})$$은 시험 함수들의 벡터 공간에 다음과 같은 위상을 주어 만드는 공간이다.

* 함수열 $$ (\{\varphi_k\}) \subset \mathcal{D}(\mathbb{R})$$이 $$\mathcal{D}(\mathbb{R})$$에서 $$\varphi$$로 수렴할 필요충분조건은, 컴팩트 집합 $$K \subset \mathbb{R}$$이 존재해, 모든 $$\alpha$$에 대해 다음 조건을 만족시키는 것이다.

{{{#!wiki style="text-align: center"

$$\displaystyle \varphi_k|_{K^c} = 0, \qquad \varphi_k^{(\alpha)}(x) \rightarrow \varphi^{(\alpha)}(x) $$}}}

이 공간은 완비인 국소 볼록 공간(complete locally convex space)이 된다.

분포 공간은 이 시험 함수 공간의 쌍대 공간으로 정의된다.

'''분포 공간(distribution space)'''

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분포 공간 $$\mathcal{D}'(\mathbb{R})$$은 약한 위상(weak topology)을 이용해 정의된 시험 함수 공간의 쌍대 공간(dual space), 즉 연속인 선형 범함수(continuous linear functional)들의 공간이다. 즉, 범함수 $$T : \mathcal{D}(\mathbb{R})\rightarrow \mathbb{C}$$가 분포공간에 속할 필요충분조건은 다음과 같다.

* '''선형성''': $$T(c_1 \varphi_1 + c_2 \varphi_2) = c_1 T(\varphi_1) + C_2 T(\varphi_2)$$

* '''연속성''': $$\mathcal{D}(\mathbb{R})$$의 임의의 수렴하는 함수열 $$\varphi_k \rightarrow \varphi$$에 대해 $$T(\varphi_k) \rightarrow T(\varphi)$$가 성립한다.

연속성과 동치인 조건으로 다음을 생각할 수 있다. 임의의 컴팩트한 부분 집합 $$K$$에 대해 다음을 만족하는 $$n_K,\,C_k$$가 존재한다.

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$$\displaystyle |T(\varphi)| \le C_k \sup \{ |\varphi^{(\alpha)}(x)| : x \in K, \alpha \le n_K \} $$}}}
분포 공간과 시험 함수의 결합(pairing)은 보통 브라켓을 사용하여 표기하고, 비공식적으로는 적분 기호를 사용한다. 즉, 다음과 같이 쓴다.

$$\displaystyle \langle - ,\, - \rangle : \mathcal{D}'(\mathbb{R}) \times \mathcal{D}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{C}, \qquad \langle \psi, \, \varphi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \varphi(x) \psi(x)\,\mathrm{d}x $$

[13] 입출력의 관계가 선형적이고, 시간이 지나도 변하지 않는 선형 시불변(Linear time invariant) 시스템을 줄여서 LTI 시스템이라 부른다. 시불변이 아닌 시스템을 LTV라고 부르는데, 임펄스 응답은 사용 가능하지만 전달 함수를 이용하기 어려워진다.

[14] 일종의 충격이나 짧은 펄스를 가한다고 생각할 수도 있다.

[15] impulse response, $$h(t)$$

[16] 다만 이 경우에는 임펄스 응답을 푸리에 변환해서 주파수 응답을 측정하지는 않는다.

상기한 대부분의 적분 기호들은 실제로는 이 결합을 나타낸 것인데, 이렇게 표기하는 이유는 일반적인 연속함수 $$f \in C^0(\mathbb{R})$$를 다음처럼 분포로 생각할 수 있기 때문이다. 여기서야 $$\psi_f$$의 다른 표기를 썼지만, 별다른 혼동이 없는 한 그냥 $$f$$로 쓰는 것이 일반적이다.

$$\displaystyle f \in C^0(\mathbb{R}) \mapsto \psi_f \in \mathcal{D}'(\mathbb{R}), \qquad \langle \psi_f, \,\varphi \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \varphi(x)\,\mathrm{d}x $$

물론 모든 분포가 이런 함수 꼴은 아니고, 그 대표적인 예가 바로 이 디랙 델타 함수이다. 이쯤 왔으면 당연하겠지만 디랙 델타 함수의 정의는 다음과 같다.

$$\displaystyle \langle \delta,\, \varphi \rangle = \varphi(0) $$

이러한 맥락에서 상기한 디랙 델타 함수의 sequence는 $$\mathcal{D}'(\mathbb{R})$$에서 디랙 델타 함수에 수렴하는 함수열로 생각할 수 있다.

3.2. 분포 공간에서의 연산

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분포 공간의 연산은 분포공간 내의 연속 함수들의 연산을 확장하는 방식으로 이루어진다. 분포 $$\psi$$와 매끄러운 함수 $$f$$의 곱셈은 다른 분포가 되며, 그 정의는 단순히 $$\langle f \psi, \, \varphi \rangle = \langle \psi, \, f \varphi \rangle$$로 이루어진다. 이 곱셈에 의해 $$\mathcal{D}'$$는 $$C_c^{\infty}(\mathbb{R})$$-가군(module)이 된다. 위에 서술한 $$x^n \delta(x) = 0$$ 등의 성질은 이런 맥락으로 볼 수 있는데, 일반적으로

$$\displaystyle \langle f \delta,\, \varphi \rangle = \langle \delta,\, f \varphi \rangle = f(0) \varphi(0)= \langle f(0) \delta,\, \varphi \rangle $$

등이 성립한다. 하지만 매끄러운 함수만 분포에 곱할 수 있지, 일반적인 함수나 두 분포를 곱하는 것은 정의되지 않는다. '''특히, 디랙 델타 함수는 어떤 식으로든 자신과 곱해질 수 없으니''' 주의하자.
분포의 미분은 다음과 같이 '정의'되는데,

$$\displaystyle \langle \psi', \, \varphi \rangle = - \langle \psi, \, \varphi' \rangle $$

이 정의는 다음의 적분 형태로 놓고 보면 그 이유가 명백해진다.

$$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \psi'(x) \varphi(x)\, \mathrm{d}x = - \int_{-\infty}^{\infty} \psi(x) \varphi'(x) \, \mathrm{d}x $$

만약 $$\psi$$가 연속함수라면 이 '부분적분'이 통상적인 이상적분 의미로도 성립하는데, 시험 함수 $$\varphi$$가 컴팩트한 지지를 가지기 때문에 구간 바깥에서 $$\psi(x) \varphi(x)$$의 끝값은 [math(0)]이 되기 때문이다. 상기한 디랙 델타 함수의 미분 증명에서 사용한 부분적분도 성질이 아니라 이러한 미분의 정의 맥락으로 보는 것이 정확하다. 이 미분에는 곱과 다르게 제한이 없고, 몇 번이고 미분해도 된다. 일반적으로 다음이 성립한다.

$$\displaystyle \langle \delta^{(k)},\, \varphi \rangle = (-1)^k \varphi^{(k)}(0) $$

디랙 델타 함수의 적분에 관한 내용도, 역으로 헤비사이드 함수의 분포 미분이 디랙 델타 함수라고 보는 것이 정확하다.
푸리에 변환에 대해서는 문서에도 간략히 나와 있지만, 슈바르츠 공간(Schwartz space)의 쌍대 공간으로 조절 분포 공간(Tempered distribution space) $$\mathcal{S}'(\mathbb{R}) \subset \mathcal{D}'(\mathbb{R}) $$을 생각할 수 있고, 조절분포 위의 변환으로 다음처럼 정의된다.

$$\displaystyle \langle \hat{\psi}, \, \varphi \rangle = \langle \psi, \, \hat{\varphi} \rangle $$

3.3. 측도로서의 해석

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실수 위에서의 일반적인 측도 $$\mu$$도 다음처럼 자연스럽게 분포로 생각될 수 있는데,

$$ \displaystyle \langle \psi_{\mu},\, \varphi \rangle = \int_{\mathbb{R}} \varphi(x) \, \mathrm{d} \mu(x) $$

이름만 비슷하고 전혀 다른 개념인 확률분포와도 이렇게 나름대로 이어질 수 있다. 이 관점에서 보면 디랙 델타 함수는 항상 [math(0)]의 값을 갖는 (즉, $$P(X=0)=1$$인) 확률변수의 분포에 대응한다고 생각해 볼 수 있다.
이건 디랙이 애초에 양자역학에서 디랙 델타 함수를 사용한 이유와도 관련이 있는데, 양자역학의 에르미트 연산자를 엄밀하게 서술한 일반화된 스펙트럼 정리에서 이 측도론적 관점을 동원하면 디랙 델타 함수를 마치 일종의 '고유 벡터'처럼 볼 수 있기 때문이다. 자세한 것은 연산자 문서를 참고하자.

3.4. 미분방정식에서의 쓰임새

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상기 언급한 발산 정리와 물리학에서의 용례 등은 모두 분포 이론을 통해 엄밀하게 만들어질 수 있고, 편미분방정식의 이론에서 이들은 단순한 예시 이상의 일종의 '큰 그림'의 일부로서의 의미가 있다. 위에서 이야기된

$$\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\cdot} \frac{\hat{\mathbf{r} }}{r^{2}}=4 \pi \delta(\mathbf{r}) $$

이나

$$\displaystyle \nabla^{2} \Phi=k \delta(\mathbf{r-r'}) \qquad \Phi=-\frac{k}{4 \pi} \frac{1}{|\mathbf{r-r'}|} $$

등에서 좌변을 함수가 아니라 분포로 해석하고, 미분도 분포의 미분으로 해석한다면, 빈틈 하나 없이 엄밀하게 완성된다. 일반적으로 편미분방정식의 이론에서 선형미분작용소 $$L$$에 대해 $$LF = \delta$$를 만족시키는 분포 $$F$$를 '''기본해(Fundamental solution)'''라 부르는데, 즉 (3차원) '''푸아송 커널'''(Poisson kernel)이라 불리는 함수 $$\Phi$$가 3차원에서의 푸아송 방정식의 기본해가 되는 것이다. 이 기본해를 찾았다면 일반적인 $$Lf = g$$의 분포 해 하나를 합성곱을 이용해 $$f= F \ast g$$로 찾을 수 있기 때문에 기본해는 상당한 중요성을 갖고 있다. 물론 기본해가 항상 존재하는 것도 아니고, 기본해를 찾았다고 해도 저 $$f= F \ast g$$가 분포에서 더 나아가 일반 함수가 된다는 보장도 없기 때문에, 이것만 가지고 편미분방정식을 다 풀지는 못한다.

4. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
  • 해석학
• 물리학 관련 정보
  • 전자기학
  • 고전역학
• 공학 관련 정보
• 크로네커 델타

[각주]