탈출 속도
1. 탈출 속도
물체가 천체와의 중력을 이겨내고 무한히 멀어질 수 있는 최소한의 속도를 탈출 속도라 한다. 각종 저항을 무시하고, 천체와 물체 사이의 중력 외에 다른 외력이 작용하지 않는다고 가정하자. 이론적으로 거리가 무한대일 때 위치 에너지는 0[1]이다. 그러므로 $$\dfrac{1}{2}mv^2 =\dfrac{G m M}{r}$$[2]일 때의 속도가 탈출 속도가 된다. 이를 정리하면 탈출속도는
$$v_{\mathsf{esc}}=\sqrt{\dfrac{2GM}{r}}$$
가 되어 천체의 질량과 반지름에서 탈출 속도를 구할 수 있다. 가령 지구에서는 초속 11.19km, 달에서는 초속 2.37km, 목성에서는 초속 59.5km이다.
참고로 표면 중력 가속도와의 관계는, 표면 중력 가속도의 크기가 $$a_g = \dfrac{GM}{r^2}$$ 이므로, $$v_{\mathsf{esc}} = \sqrt{2 a_g r} $$가 된다. 달의 표면 중력이 지구의 1/6 이라고 필요한 운동 에너지 역시 1/6이 되는 것이 아니라 달의 지름(지구의 1/4)까지 고려하면 필요한 운동에너지는 지구에 비하면 1/24가 되고 속도로 따지면 1/5 정도가 되어 위에서 제시한 숫자와 비슷해진다.[3]
다만 이러한 탈출 속도 이상이어야지만 지구를 탈출할 수 있는 것은 아니다. 애초에 탈출 속도의 정의가 ''''추진력 없이'''' '''무한히''' 멀어지는 데 필요한 최소 속도이다. 연직 방향 속도를 0 이상으로 계속 유지할 수 있다면 지구 대기권을 벗어나는 데에 아무 문제가 없다.[4] 또한 탈출 속도가 지표면을 기준으로 하고 있다보니 표면에서 꽤 멀리 떨어진 공기 분자들을 고려하지 않는다. 즉, 대류권과 같이 10km 이하의 공기들의 대해서는 의미가 있을지 몰라도, 수 백 km 상공에 떠 있는 입자들은 이미 위치에너지가 높기 때문에 훨씬 적은 속력으로 지구를 탈출할 수 있다.
행성의 탈출 속도는 그 행성의 대기 구성 요소와 밀접한 관계를 가진다. 수성, 달과 같이 탈출속도가 작은 천체의 경우 그 대기가 비교적 무거운 기체인 제논, 이산화탄소 등으로 이루어져 있는 반면, 탈출 속도가 큰 목성형 행성의 경우 그 대기는 수소, 헬륨과 같이 가벼운 기체로 이루어져 있다. 이는 가벼운 기체일수록 같은 온도, 즉 운동에너지가 같더라도 질량이 작아 속도가 빨라지기 때문에 우주로 빠져나가기 쉽기 때문이다. 그리고 탈출속도가 빛의 속도 이상이 될 경우, 그 유명한 블랙홀이 된다. 다만 위의 탈출속도에 광속 $$c$$를 넣으면 $$r=\dfrac{2G}{c^2}m$$이라는 결과가 나오는데, 이는 실제로 상대성이론을 적용하여 구한 슈바르츠실트 계량(schwarzschild solution)과 '''우연의 일치로''' 동일한 결과물이 된다.
참고로 기호인 $$v_{\mathsf{esc}}$$에서도 볼 수 있듯이 스칼라[5]이므로 속력이다.
2. 우주 속도
탈출 속도와 유사한 개념으로 우주 속도가 있는데, 제1, 2, 3 우주 속도로 3가지로 나뉜다. 이들은 모두 일정한 값을 가지고 있는데, 탈출 속도와 달리 지구를 기준으로 하고 있기 때문.
2.1. 제1 우주 속도
물체가 지구의 지표면에서 추락하지 않고 지구의 중심을 원궤도의 중심으로 원운동할 수 있는 최소한의 속도. 물체가 중력방향에 대해 수직으로 이 속도를 가지고 있다면 지구 주위를 공전한다.
지구의 제1 우주속도는 약 7.905km/s.
화성의 제1 우주속도는 약 3.55km/s.
목성의 제1 우주속도는 약 '''42.12km/s'''.
수식으로는
$$ \frac{GMm}{(R+r)^2} = \frac{mv^2}{R+r}$$
$$ v = \sqrt{\frac{GM}{(R+r)}} $$
을 만족하는 속도 v이다.
이때 G는 만유인력 상수, M은 지구의 질량, m은 물체의 질량, R은 지구의 반지름, r은 지표면으로부터의 높이이다.
물체의 질량은 제1 우주속도에 관여를 하지 않는다.
2.2. 제2 우주 속도
물체가 천체를 중심으로 원운동할 수 있는 최소한의 속도를 v'이라 할 때[6] $$v'<v<\sqrt{2}v'$$'의 속도로 운동하면 물체는 천체를 하나의 초점으로 하는 타원 궤도를 움직이게 된다. 즉 일반적인 원 궤도를 벗어나 천체로부터 더 멀어질 수 있다. 이는 지구 뿐만 아니라 모든 천체에 적용된다. 이에 관한 증명은 생략한다.
그리고 $$\sqrt{2} v'$$의 속도를 넘으면 그때 비로소 천체의 중력권에서 탈출할 수 있게 된다. 이 속도가 바로 탈출 속도이다. 물체가 탈출 속도를 가진 경우 천체에서 벗어난 후 다른 천체 중력의 영향이 없다면 등속직선운동을 한다. 물론 태양계 내부에서는 태양의 영향력이 막대하기때문에 제2우주속도로 지구에서 탈출한다 하더라도 마냥 나아갈 수는 없다. 제2 우주 속도는 위의 제1 우주 속도에 $$\sqrt{2}$$를 곱한 값에 태양 등에 의한 약간의 오차를 수정한 값으로, 대략 11.19km/s이다.
2.3. 제3 우주 속도
물체가 지구 공전 궤도에서 태양계를 탈출할 수 있는 최소한의 속도. 지구 공전 속도에 √2를 곱한 값에서 지구 공전 궤도 약 30km/s를 뺀 16.7km/s.[7] 지구를 기준으로 측정하기 때문이다.
2.4. 가상의 우주 속도
일반적으로 알려진 제1~3 우주속도 이외에도 sf의 영역에선 제4~6우주속도도 간혹 속도계로 쓰인다.
1~3우주속도가 원궤도 도달속도->지구 인력권 탈출속도->태양계 인력권 탈출속도로 이어지는 것처럼 4~6우주속도는 더 나아가 우리 은하계 인력권 탈출->국부 은하군 인력권 탈출->(모든 천체에 붙잡히지 않고)변경우주 진출속도로 이어지는 식.
이게 가상인 이유는 1~3우주속도와 달리 해당 속도를 구하는데 필요한 질량등에 관련된 정확한 데이터를 얻을수 없기 때문에 여전히 미지의 영역인 것이 이유로 소설이나 영화,애니메이션등에서나 다루어지는 속도이다.
더불어 sf영역에선 단순하게 워프 속도, 초광속같이 속도계로 쓰기에 쉽고 편리한 설정이 있어 탈출 필요속도 단위인 우주속도는 쓰임새도 적고 마이너한 편이라 국내에는 잘 알려져 있지 않다. 그리고 어차피 매스 드라이버같은게 아니라면 보통 우주선은 추진력이 있기 때문에 탈출속도의 의미가 없다.
2.4.1. 제4 우주 속도
우리 은하의 탈출 속도는 태양계에서 '''492~594 km/s'''임이 알려져 있다. [8]
은하 중심과의 거리에 따른 탈출 속도 그래프는 다음과 같다 :
[image]
3. 같이 보기
위키백과:탈출 속도
[1] 위치에너지가 0이라고해서 무한대 지점이 위치에너지 최소점인 게 아니다. 단지 기준점으로 정해놓았기 때문에 0인것이며, 무한대에서 위치에너지는 최대치이다. 즉, 그 이하의 위치에서 위치에너지는 음수이다[2] 이 때, 물체의 질량을 m, 천체의 질량을 M, 천체의 반지름을 r, 만유인력 상수를 G라 한다.[3] 이 1/5은 더 필요한 연료의 양으로 따지면 더 크게 벌어지게 되는데, 이는 로켓 방정식에서 쉽게 얻을 수 있다.[4] 간단히 말하면, 지구의 지표면에서 탈출 속도 이상의 빠르기로 물체를 쏘아올린 뒤 아무런 추진력을 주지 않고 가만히 두면 이 물체는 지구의 중력이 계속 작용함에도 불구하고 지구를 벗어날 수 있다. 반대로, 매우 적은 속도로 이 물체를 쏘아올려도 지속적으로 지구를 탈출하는 방향으로 중력보다 큰 힘의 추진력을 준다면 이 물체는 언젠가는 지구를 탈출한다.[5] 만약 벡터였다면 볼드체를 써서 $${\bold v}_{\mathsf{esc}}$$로 표기했을 것이다.[6] 위의 제1 우주 속도와는 다르다! 제1 우주 속도는 지구 궤도에서의 원운동에 필요한 최소 속도를 의미한다. 즉 v'는 천체마다 다르다.[7] [8] arXiv