판별식

 

1. 이차식의 판별식
2. 일변수 다항식의 판별식
3. 이차형식의 판별식
4. 역행렬의 판별식


1. 이차식의 판별식

Discriminant · 判別式
중등 수학에서 이차 방정식을 배우면서 등장하는 개념으로, 이차 다항식 $$f = ax^2 + bx + c$$에 대한 판별식은 $$D = b^2 - 4ac$$로 정의된다. 기호 D는 'discriminant'의 첫 글자로, 중등 과정 이후에는 판별식의 표기로 $$\Delta$$, $$\mathrm{Disc}(f)$$ 등을 사용하기도 한다.
보통 처음에는 근의 공식의 루트 속 식 정도로 기억되지만, 나중에는 방정식을 풀지 않고도 방정식의 성질을 '판별'하는 유용한 도구로 다음처럼 사용된다.
  • 판별식의 부호로 근의 개수를 판별할 수 있다.
정확히 말하면 실수 계수 이차 방정식에서 판별식이 양수이면 서로 다른 실근 둘, 음수이면 켤레인 복소근 둘을 갖는다. 둘 다 아닌 0일 때는 아래가 된다.
  • 판별식이 0이면 중근을 갖는다.
이 성질들은 모두 이차 방정식의 두 근을 $$\alpha, \beta$$라 했을 때, $$D=a^2 (\alpha-\beta)^2$$로 나타나는 것에 기인한다.
  • 판별식의 제곱근을 통해 인수 분해 가능 여부를 판별할 수 있다.
근의 공식을 생각하면 당연하지만, 포인트는 이 내용을 임의의 수 집합 위에서 생각한다는 것에 있다. 유리 계수 이차 방정식이 유리수 해를 가질 필요충분조건은 판별식이 완전 제곱수인 것이다. 일반적인 다변수 다항식에 이걸 적용해 본다면, 예로 $$ax^2 + bxy+ cy^2 + dx + ey + f = 0$$이 인수 분해될 필요충분조건은 $$x$$에 대한 판별식이 ($$y$$에 대한) 완전 제곱식이 된다는 조건을 생각할 수도 있다. 중등 교육 과정에서 명시적으로 언급되는 내용은 아니지만 가끔씩 문제의 트릭으로 사용되니 알아두면 나쁘지 않다.

2. 일변수 다항식의 판별식

다항식 $$f = a_n x^n + \cdots + a_0$$이 $$f = a_n(x-\lambda_1)(x-\lambda_2) \cdots (x-\lambda_n)$$으로 인수분해된다고 할 때, 판별식은 다음과 같이 정의된다.
$$ \displaystyle D(f) = {a_n}^{2n-2}\prod_{1 \le i < j \le n} (\lambda_i - \lambda_j)^2 $$
저 곱이 $$\lambda_i$$들에 대한 대칭다항식이므로, 대칭다항식의 기본정리와 근과 계수와의 관계를 생각하면 곱을 $$a_n, \cdots, a_0$$들로 나타낼 수 있다. 앞의 $${a_n}^{2n-2}$$의 존재 이유는 이렇게 나타난 식을 정확히 계수 $$a_n, a_{n-1}, \cdots, a_0$$에 대한 다항식으로 만들어 주기 위해서이다.
물론 이것만 갖고 무작정 판별식을 계산하려면 쉽지 않고, 보통은 $$f,f'$$의 resultant를 사용하면 계수들의 행렬식 형태로 판별식을 구할 수 있다. 일반적으로 두 $$m,n$$차 다항식의 resultant는 크기 $$m+n$$의 정사각행렬에 계수들을 계단처럼 집어넣고 그 행렬식을 구한 것이고, 판별식은 $$\mathrm{Res}(f,f')/((-1)^{n(n-1)/2} a_n)$$으로 주어진다. 예로 3차식의 판별식을 이렇게 계산하면
[math(\displaystyle \Delta = \frac{-1}{a} \det \begin{pmatrix}
a & b & c & d & 0 \\
0 & a & b & c & d \\
3a & 2b & c & 0 & 0 \\
0 & 3a & 2b & c & 0 \\
0 & 0 & 3a & 2b & c \\
\end{pmatrix} = b^2 c^2 -4ac^3 -4bd^3-27a^2 d^2 + 18abcd)]
이 된다. 여전히 복잡한 건 어쩔 수 없지만 그래도 그나마 나은 편.
다항식의 판별식은 이차식의 판별식의 몇 가지 성질을 일반화된 형태로 계승한다. 고차방정식은 이차방정식보다 일반적으로 풀기가 어렵기 때문에, 판별식이 주는 정보가 훨씬 유의미하게 다가오는 편이다. 다만 대학 과정 이상의 대수학이나 특히 갈루아 이론을 알아야 완전히 활용할 수 있다.
  • 판별식의 부호로 실근의 개수에 조건을 줄 수 있다.
판별식의 0이 아닌 실수계수 방정식의 경우, 판별식의 복소근이 $$r$$쌍 있으면 판별식의 부호는 $$(-1)^r$$과 동일하다.
  • 판별식이 0이면 중근을 갖는다.
이 성질은 실수계수 뿐만이 아니라, 임의의 체 위에서 성립한다. 근의 곱으로 나타낸 표현을 보면 당연하다.
  • 판별식의 제곱근으로 다항식의 갈루아 군이 $$A_n$$에 포함되는지를 판정할 수 있다.
판별식의 제곱근 중 하나인 $$ \sqrt{\Delta} = \prod_{1 \le i < j \le n} (\lambda_i - \lambda_j) $$는, 근들의 치환이 작용할 때 홀치환이면 부호가 바뀌고, 짝치환이면 부호가 동일하다. 즉 갈루아 군이 $$A_n$$에 포함되는 필요충분조건은 판별식의 제곱근이 갈루아 군에 대해 불변인, 즉 본래 체에 있는 것이 된다. 삼차방정식의 경우는 갈루아 군으로 가능한 것이 $$S_3,A_3$$ 둘 뿐이기 때문에, 이 성질만으로 갈루아 군을 모두 분류할 수 있다.

3. 이차형식의 판별식

이차형식을 대칭행렬꼴 $$Q = x^t A x$$로 표현했을 때, $$A$$의 행렬식을 판별식이라 부른다. 이차식 $$f = ax^2 + bx+ c$$을 동차식 형태의 이차형식 $$f = a{x_1}^2 + b x_1 x_2 + c {x_2}^2$$로 생각했을 때 그 판별식은 $$\displaystyle \frac {b^2-4ac} {4}$$가 된다.
맨 처음 눈에 띄는 것은 형식의 축퇴(degeneracy)성이 판별식이 0인 것과 동치라는 것이겠지만, 이게 다는 아니다. 실수 이차형식의 경우 판별식이 양수인 게 양의 정부호성(positive definiteness) 판정에 결정적인 역할을 한다. 한편 대수학 관점에서 이차형식을 본다면 행렬식 1인 좌표변환을 했을 때 변하지 않는 불변량으로, 이차형식이 사용되는 디오판토스 방정식을 생각한다면 좌표변환이 유리수 범위 내로 강제되므로 판별식의 소인수분해 꼴도 중요해진다.

4. 역행렬의 판별식



분류