인수분해
1. 개요
factorization · 因數分解
'''여러 항들의 합과 곱이 어지럽게 뒤섞여 있는 다항식을 알아보기 쉽게 정리하는 것.''' 엄밀히는 '''합(=항)의 꼴'''로 전개되어 있는 다항식을 '''곱(인수)의 꼴'''로 고치는 것을 뜻한다. 인수분해를 하는 이유는 다항식을 알아보기 쉽도록 해서 이차 이상의 고차방정식의 해를 구하기 위해, 다항식이 분모 및 분자를 차지하고 있는 분수식을 유리식이나 더 간단한 분수식으로 약분하기 위해, 특수한 상황에서 문제를 풀기 쉽도록 고치기 위해 등 여러가지이다. 인수분해의 목적이 무언가를 도출하기 위함이든, 어찌됐든 특정한 식을 쪼개어 묶어서 더 간단하게 정리하는 기법이라는 기본적인 정의는 변함이 없다. 조립제법도 인수분해 기법 중 하나라 볼 수 있다.
1.1. 엄밀한 정의
인수분해를 어느 정도까지 해야 하는가에 대해 의문을 품을 수 있는데, '''정해진 수의 범위에서''' 가능할 때까지 최대한 진행하면 된다. 예로 $$x^4 - x^2 - 2$$를 유리수 범위 내에서 인수분해하면 $$(x^2+1)(x^2-2)$$이지만, 실수 범위에선 $$(x^2+1)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$$까지 분해되고, 복소수로 범위를 넓히면 $$(x+i)(x-i)(x-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})$$로 분해된다. 따라서 정확하게 한다면 인수분해를 하는 수의 범위를 먼저 지정해놓는 것이 맞지만, 교과과정의 인수분해 문제에서는 별다른 언급이 없다면 보통 유리수나 실수 범위까지 인수분해한다.
대신 일단 수 집합이 정해졌으면 인수분해를 하는 방법은 거의 '''유일하게 정해지므로,''' 어떻게 하든 할 수 있는데까지 분해했으면 상관없다. '거의'가 붙은 이유는 $$(2x) \cdot y=x \cdot (2y)$$등을 구분할 수 없기 때문으로, 상수 배만큼 인수가 차이나는 것은 사실상 같은 인수분해로 취급한다. [1] 시험 등에서 유일한 답을 요구하고 싶을 때는 x의 최고차항 계수가 1이라던지 하는 조건을 달아주면 된다.
2. 기본적인 인수분해
- $$x^2\pm2xy+y^2=\left(x\pm y\right)^2$$
- $$x^2-y^2=\left(x+y\right)\left(x-y\right)$$
- $$x^2+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right)$$
- $$acx^2+\left(ad+bc\right)x+bd=\left(ax+b\right)\left(cx+d\right)$$[2]
- $$x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz=\left(x+y+z\right)^2$$
- $$x^3\pm 3x^2y+3xy^2\pm y^3=\left(x\pm y\right)^3$$
- $$x^3\pm y^3=\left(x\pm y\right)\left(x^2\mp xy+y^2\right)$$
- $$x^3+y^3+z^3-3xyz=\left(x+y+z\right)\left(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx\right)$$
- $$x^4+x^2y^2+y^4=\left(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2\right)$$
- $$x^n-1=\left(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+...+x+1\right)$$
(이상 복부호 동순)
위처럼 여러 가지 인수분해 공식들이 있다. 간단한 것은 단순히 다항식의 전개식의 양변을 바꾸어 놓은 것처럼 보이지만, 어디서 갑툭튀했는지 모르는 것들도 가끔 있다. 따라서 하나씩 곱해가면 되는 전개와는 달리, 인수분해는 그때 그때 공식 및 유형을 외워서 문제풀이에 써먹는 것이 정신 건강에 이롭다. 하지만 암기만으로는 한계가 있으니 여러가지 테크닉[3]을 익혀놓는 것도 중요하다. 인수분해 공식을 증명하기 위해서는 인수분해된 식을 다시 전개해 보면 된다. 고등학교 수학을 배운 사람이라면 알 듯이 인수분해는 고등학교 수학 및 대수학 그 자체에 있어서 없어서는 안 될 존재로 이것을 배우지 않고 수학을 배운다는 것은 있을 수 없는 일이다. 물론 중고등학교 수학들이 다 그렇지만...이름이 비슷한 것으로, 합성수를 소수의 곱으로 고치는 소인수분해가 있다. 인수분해와 방법은 다르지만, 수학적인 의미는 같다고 볼 수 있다. 실제로 인수분해의 대수학적 의의는 합성수를 소수의 곱으로 고치는 것처럼 다항식을 기약다항식의 곱으로 고치는 것이다. 배수와 약수, 인수분해의 성질이 수나 다항식에서나 똑같이 성립한다는 것은 꽤나 중요한 사실이고, 중등교육에서 암묵적으로 사용되지만 정확히 언급되지는 않는 내용. 실제로 산술의 기본정리와 대수학의 기본정리의 따름정리는 꽤나 닮아있다.
인수분해에 염증을 느끼지만 수학에 흥미를 느끼고 싶은 학생들에게 팁을 몇 가지 주자면, 대수학의 기본정리에 따라서 모든 다항식은 복소수범위 내에서 인수분해를 할 수 있는데, 그래서 진짜로 '''복소수 범위에서 인수분해를 하면 상당히 흥미로운 결과가 나온다.''' 당장 저 인수분해 8번 공식이 삼차방정식의 근의 공식 유도에 중요한 역할을 하게 된다.[4][5]
고등학교 1학년에서 미지수가 3개인 이차식, 3차, 4차식의 인수분해 공식이 나온다.
3. 조립제법
영어로는 synthetic division이라고 하는, 아주 유용한 인수분해 방법. 정확하게는 다항식의 나눗셈에서 쓰이는 방법이지만 인수분해에서도 쓸 수 있다. 특히 인수분해 공식(삼차 이상)을 잊어버렸거나 어떤 공식인지 파악할 수 없을 때 쓰면 유용하다. 단, 식을 0으로 만드는 값을 대입해서 찾아야 한다는 점이 무척 귀찮게 느껴질 수 있다. 또한 나누는 식이 이차식 이상일 때에도 쓸 수 있다.
$$n$$차 다항식 $$F\left(x\right)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n$$를 일차식$$\left(x-\alpha\right)$$로 나눈다 하자. 제수가 1차식이므로 몫은 $$\left(n-1\right)$$차식, 나머지는 상수항이 된다 ($$=R$$). 이를 식으로 나타내면, $$a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n)=\left(x-\alpha\right)\left(b_0x^{n-1}+b_1x^{n-2}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1}\right)+R$$이 된다.
이 등식은 항등식이므로, 양변을 전개하여 계수를 비교하여 $$b_i, \, \left(i=0,1,\cdots,n-1\right)$$에 관해 풀면, $$b_0=a_0,b_1=a_1+b_0\alpha=a_1+a_0\alpha,\cdots,b_{n-1}=a_{n-1}+b_{n-2}\alpha=a_{n-1}+a_{n-2}\alpha+\cdots+a_0\alpha^{n-1},R=a_n+b_{n-1}\alpha=a_n+a_{n-1}\alpha+\cdots+a_0\alpha^n$$이 된다.
여기서 나머지 $$R$$을 0으로 만들 수 있다면, 즉 다항식=0의 근을 알고있다면 처음 다항식은 두 인수의 곱으로 나타내어진다. 이후 몫에 관해 한번 더 조립제법을 쓰거나 다른 방법을 계속 써서 인수분해를 끝낼 수 있다. 조립제법을 그림으로 나타내면 아래와 같다.
[image] [6]
여기서 문제는 방정식의 근($$=\alpha$$)을 어떻게 찾냐는 것이다. 이에 관해선 다음의 유용한 정리를 이용해 가능한 유리근의 후보를 추릴 수 있다.
증명은 다음과 같다. 식 $$q^n f(p/q) = a_n p^n + a_{n-1} p^{n-1}q + \cdots + a_0 q^n = 0$$의 항 중 $$a_0 q^n$$을 제외하면 모두 $$p$$로 나누어떨어지므로, $$a_0 q^n$$도 $$p$$의 배수여야 하는데, $$p,q$$가 서로소이므로 $$p \vert a_0$$. 마찬가지로 $$q \vert a_n$$에 대해서도 비슷하게 진행하면 된다.'''유리근 정리'''(rational root theorem)
정수계수 다항식 $$f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$$, $$a_n, a_0 \neq 0$$가 유리수 근 $$r = p/q$$ ($$p,q \in \mathbb{Z}, \mathrm{gcd}(p,q)=1$$)을 가지면, $$q$$는 $$a_n$$의 약수, $$p$$는 $$a_0$$의 약수이다.
2009년 한국어 위키백과 에서는 만우절에 어떤 유저가 조립제법을 조립제(...)라는 수학자가 만들었다고 서술했다가 논란이 되었다. 2020년 만우절에도 그러한 반달이 일어났다. 하긴, 비슷한 이름의 조갑제도 있으니 사람 이름처럼 느껴질 법도 하다.
3.1. 2차식 이상에 대한 조립제법
다음 그림을 보자.
[image]
2차식 이상으로 나눌 때에는 (최고차항의 계수가 1일 때) 최고차항을 빼고 나머지 항의 계수를 대각선으로 적는다. 곱해서 위로 올릴 때에도 대각선으로 올린다(파란색 화살표). 더할 때는 한 열의 숫자를 모두 더한다(빨간색 화살표).
[풀이 보기]
4. 대수학에서의 인수분해 스킬
교과과정에는 소개되지 않지만 다항식에 대한 이해가 깊어질수록 써먹을 수 있는 은근히 다양한 기술들이 있다.
- 한 변수에 대한 다항식
- 동차식
대칭식은 임의의 두 변수를 치환했을 때 불변하는 식으로, 대칭인 다항식인 대칭다항식의 인수는 항상 대칭적으로 나타난다. 즉 어떤 대칭식이 $$x+y$$를 인수로 갖는다면 이는 $$x+z, y+z$$도 인수로 가져야 한다. 대칭다항식의 기본정리[7]를 사용할 수도 있지만, 이걸 무작정 쓴다면 인수분해가 꼬이는 경우도 있다.
교대식의 정의는 임의의 두 변수를 치환했을 때 식의 부호가 바뀌는 식이다. 3변수 교대식의 경우 $$(x-y)(y-z)(z-x)$$을 인수로 갖고, 두 교대식의 비율은 대칭식이기 때문에, 모든 교대식은 대칭식과 저 인수의 곱으로 나타난다. 일반적 n변수의 경우 모든 $$x_i - x_j$$들의 곱과 대칭다항식 부분으로 분해가 된다. 예를 들어 $$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y)$$는 동차 교대식이고 따라서 $$(x-y)(y-z)(z-x)$$를 인수를 갖고, 남은 부분은 일차 동차인 대칭식이므로 $$c(x+y+z)$$ 꼴이다. $$x^3 y$$의 계수를 비교하면 $$c=-1$$이므로, $$x^3(y-z)+y^3(z-x)+z^3(x-y))=-(x-y)(y-z)(z-x)(x+y+z)$$가 성립한다.
- 정수계수 인수분해
즉 다항식이 유리계수 위에서 인수분해되면 정수계수 위에서 인수분해 가능하고, 이는 심지어 다변수에 대해서도 성립한다. 상술한 유리근 정리의 상당한 일반화로 볼 수 있다. 이 정리의 증명은 현대대수학 수준이라 당연히 교과과정 외이지만, '''정수계수만 인수로 생각해도 충분하다'''는 것을 보장해 주는 안전장치로 받아들이면 괜찮다.'''가우스 보조정리'''(Gauss' lemma) [8]
정수계수 다항식이 유리계수 다항식 둘로 $$f=ab$$처럼 인수분해될 때, 적절한 유리수 $$c$$가 존재해 $$A=ca, B(x)=c^{-1}a$$가 정수계수 다항식이 되게 할 수 있다.
- 기약다항식 판정법
예를 들어서 $$x^4 -3x^3 + 9x + 21$$는 $$p=3$$에 대해 이 판별법을 만족시키므로 기약이다. 꼭 원래 다항식이 이걸 만족시키지 않더라도, $$f(k)$$가 소수가 되는 정수 $$k$$를 찾을 수 있으면 아이젠슈타인 판별법을 $$f(x+k)$$에 대해 시도해볼 만하다. 예를 들어 소수 $$p$$에 대해 다항식 $$x^{p-1} + x^{p-2} + \cdots + 1$$은 $$x=y+1$$을 대입하면 아이젠슈타인 판별법으로 기약임을 보일 수 있다.'''아이젠슈타인 판별법'''(Eisenstein's criterion)
정수계수 다항식 $$x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0$$의 계수들이 소수 $$p$$에 대해 다음 두 조건 $$p \vert a_i$$, $$p^2 \nmid a_0$$을 만족시키면, 그 다항식은 기약다항식이다.
한편 원래 다항식이 인수분해가 된다면, 합동식을 적용해서 소수 법으로 보았을 때도 인수분해가 되어야 한다. 따라서 합동식을 썼을 때 그 법 위에서 기약이 되는 소수를 찾거나, 아니면 2개 이상의 소수 법에 대한 인수분해 결과를 대조해서 모순을 이끌어내는 테크닉도 사용이 가능하다.
결국에 인수분해는 방정식을 일반적으로 푸는 것과 밀접한 관련이 있고, 따라서 대수학의 시대가 바뀔 때마다 새로운 방향으로 연구되어 왔다. 아직도 새로운 방법이 남아 있을지도 모른다.
5. 관련 문서
[1] 대학 수학 레벨로 넘어가면 이는 모두 체 위에서의 다항식의 인수분해 이야기로 일반화된다. 다만 정수 위에서의 인수분해 등에서는 상수배를 무시하면 안되고, 외려 별도의 인수로 취급해 주어야 한다. 기본적으로 UFD 위에서의 기약분해인데 체가 아니면 상수항이 더 이상 단위원이 아니기 때문.[2] 여기까지가 중학교 3학년 과정.[3] X자, 조립제법, 더하고 빼기 등등[4] 사실, 저거랑 2차방정식의 근의 공식, 2차식을 없애는 치환만 있으면 일반적인 삼차방정식의 근의 공식을 유도할 수 있다! y, z를 상수로 생각하면 몇 분 고생한 후 답을 알 수 있게 된다.[5] 밑에 있는 대칭식, 교대식과 이 사실을 비교해보면 '''대칭'''이라는 성질이 조금 느껴질 것이다. 이 성질이 고급 대수학에서 핵심적인 역할을 하며 그때는 인수분해를 다른 눈에서 볼 수 있게 된다.[6] 그림은 $$x^3+x-2$$에 대해 조립제법을 쓴 경우[7] 모든 대칭식을 기본 대칭다항식의 다항식으로 유일하게 나타낼 수 있다는 정리. 3변수일 경우 기본 대칭다항식은 $$x+y+z, xy+yz+zx,xyz$$ 이렇게 주어진다.[8] 대수학 과정에서는 정수계수에 국한되지 않은 좀더 일반적인 서술로 변경된다.