페아노 곡선
1. 개요
평면상의 정사각형 영역을 모두 채우는 곡선으로, 1890년 페아노가 고안해 낸 것이다. '페아노 곡선'은 '공간을 채우는 곡선(space filling curve)'을 총칭하기도 하지만, 구체적으로는 그러한 곡선들 중 최초로 제시된 페아노의 곡선을 가리킨다.
2. 그림
2.1. 1단계
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2.2. 2단계
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2.3. 3단계
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3. 의미
곡선이란 구간에서 위상 공간으로 가는 연속함수를 말한다. 실수의 구간에서 정사각형 영역으로 가는 전사함수가 존재한다는 것은 초등적인 집합론 수준에서 쉽게 해결할 수 있다. 그런데, '''연속'''인 전사함수가 있느냐, 즉, 선으로 정사각형을 완전히 채울수 있느냐는 또 다른 문제가 된다. 쉽게 얘기하면, 길이의 제한이 없을 때, 두께가 0인 실을 적당히 구부려서 정사각형 영역을 완전히 채울수 있느냐를 떠올려 보면 된다.[1] 페아노가 제시한 각 단계를 계속해서 밟아 나갈때 나오는 곡선들의 극한은, 곡선이면서도 정사각형의 영역을 완전히 채우게 된다.
[1] 이 때, 실이 겹쳐지는 것도 허용된다. 구간에서 정사각형 영역으로 가는 연속인 전사함수는 존재하지만, 아쉽게도 연속인 전단사함수는 존재하지 않는다.