평균부등식
1. 개요
여러 종류의 일반화된 평균들, 특히 멱평균(power mean)에 대한 부등식으로 몇 가지의 버전이 있다.
중등과정 내에서는 수학Ⅱ 초반부에서 배우는 AM-GM을 좀 더 확장시켜 온갖 평균을 다 집어넣은 버전으로 소개된다. 수학을 좀 하는 아이들은 AM-GM에 더해 조화평균까지 알고 있는 경우가 많지만 그 뒤의 확장은 모르는 경우가 많다. 자세한 부등식에 들어가기 전에 먼저 몇가지 정의를 설명한다. $$n$$개의 양수[1] $$x_1,x_2,\cdots,x_n$$에 대하여,
- 최댓값 (Max): 말 그대로 최댓값 (=$$\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)$$)
- 제곱근 멱평균/제곱 평균 제곱근 (RMS: Root-Mean Square)[2]: $$\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}$$[3]
- 산술평균 (AM: Arithmetic Mean): $$\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$
- 기하평균 (GM: Geometric Mean): $$\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$$
- 조화평균 (HM: Harmonic Mean): $$\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$$ (역수들의 산술평균의 역수)
- 최솟값 (Min): 말 그대로 최솟값 (=$$\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)$$)|}}
교과 외 고등과정에선 다음 일반화된 버전을 보통 의미한다. '''멱평균'''(power mean) 혹은 일반화된 평균(generalized mean)은, 확장된 실수(즉 실수에 +무한대와 -무한대를 첨가한것) $$p$$에 대해 다음과 같이 정의될 수 있다.
- $$p$$차 멱평균: $$ M_p (x_1, \cdots, x_n) = \left( \frac{ x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p }{n} \right)^{1/p} $$
위의 모든 평균들은 다 이 멱평균의 특수한 예로, 최대값/제곱평균제곱근/산술평균/기하평균/조화평균/최소값은 각각 $$p=+\infty, 2, 1, 0, -1, -\infty$$에 대응된다. 윗버전의 완벽한 일반화라 볼 수 있는 것. 더욱 일반화하면 이런 류의 것이 다 그렇듯 가중치가 있는 버전, 적분형 버전 등도 당연히 생각할 수 있고, 가장 일반적인 측도버전은 다음일 것이다.
주의할 점은 대학 수학 이상의 정규 교과과정에서 이걸 부르는 정해진 이름은 딱히 없다는 것이다. 즉 멱평균/일반화된 평균 등의 용어가 공식적으로 확인되진 않는다. 다만, 확률변수 버전에서부터 느낄 수 있듯이 이게 필요하다면 횔더 부등식의 특수한 경우로 간주되어 등장하게 된다.
2. 증명
2.1. 변수 2개짜리 평균부등식
1. WLOG $$a\geq b$$라 가정한다. 그러면 $$\max\left(a,b\right)=a=\sqrt{\frac{2a^2}{2}}\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}$$. 즉, MAX ≥ RMS.
2. $$\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\geq0$$. 즉, RMS ≥ AM.
3. $$\frac{a+b}{2}- \sqrt{ab}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\geq0$$. 즉, AM ≥ GM.
4. $$\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq0$$. 즉, GM ≥ HM.
5. WLOG $$a\geq b$$라 가정한다. 그러면 $$\min\left(a,b\right)=b=\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}}\leq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}$$. 즉, HM ≥ MIN.
2.2. 변수 n개짜리 평균부등식
1. WLOG $$x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n$$이라 가정한다. 그러면 $$\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_1=\sqrt{\frac{n{x_1}^2}{n}}\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}$$. 곧, MAX ≥ RMS.
2. 코시-슈바르츠 부등식에 의해, $$\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left(1+1+\cdots+1\right)\geq\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2$$이다. 양변을 $$n^2$$으로 나눠주고 정리하면, $$\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}\geq\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2$$. 양변에 제곱근을 씌워주면, $$\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}$$. 즉, RMS ≥ AM이 성립한다.
3. 항목 참조.[4]
4. AM-GM을 활용한다. $$\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{\frac{x_1x_2\cdots x_n}{{x_k}^n}} }{n}$$$$\geq1$$이므로, 이를 잘 정리해주면, $$\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$$$$\frac{\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k}}{n}$$$$\geq1$$이고, 곧, $$\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$$. 즉, GM ≥ HM이 성립한다.
5. WLOG $$x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n$$이라 가정한다. 그러면 $$\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_n=\frac{n}{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_n}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}$$. 즉, HM ≥ MIN이 성립한다.
2.3. 멱평균 부등식
1. 우선 멱평균이 $$(0,\infty)$$에서 단조증가함을 보인다. 멱평균을 $$p$$에 대해 로그미분한 뒤, 식을 정리해 다음처럼 변형시킨다.
$$\frac{d}{dp} \log M_p(x_1, \cdots, x_n) = \frac{d}{dp} \frac{ \log (\frac{x_1^p + \cdots + x_n^p}{n})}{p} = \frac{ \frac{d}{dp} \log (x_1^p + \cdots + x_n^p) }{p} - \frac{ \log (\frac{x_1^p + \cdots + x_n^p}{n})}{p^2} $$
$$=\frac{1}{p^2}\left( \frac{ x_1^p \log x_1^p + \cdots + x_n^p \log x_n^p} {(x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p)} -\log( \frac{x_1^p + x_2^p + \cdots + x_n^p}{n} ) \right)$$
형태가 복잡해 보이지만, 볼록함수 $$f(x) = x \log x$$와 실수쌍 $$ y_i = \frac{x_i^p}{x_1^p + \cdots+ x_n^p}$$들에 대해 젠센 부등식을 적용하면 바로 위 식이 0 이상임을 얻을 수 있다.
2. $$p<0$$인 경우는 $$M_p(x_1, \cdots, x_n) = M_{-p}(x_1^{-1}, x_2^{-1}, \cdots, x_n^{-1})^{-1}$$을 관찰한다. 우변이 $$p$$에 대해 단조증가이므로 좌변도 단조증가여야 한다.
3. 마지막으로 특수값 $$p=\infty, 0, -\infty$$에 대해 $$M_p$$의 극한값이 원하는 값으로 수렴함을 보인다.
(a) 최대값: 최대값을 $$M$$이라고 하면 $$p>0$$일 때 $$M^p \le (x_1^p + \cdots + x_n^p) \le nM^p$$가 성립한다. 양변을 $$n$$으로 나누고 p제곱근을 씌운 뒤, $$p \rightarrow \infty$$의 극한을 보내고 샌드위치 정리를 사용한다.
(b) 최소값: 최소값을 $$m$$이라 하면 $$p<0$$일 때는 비슷하게 $$m^p \le (x_1^p + \cdots + x_n^p) \le n m^p$$가 성립한다. 방법은 대동소이하지만 $$p$$가 음수이므로 p제곱근을 씌울때 부등호방향이 바뀌는 것만 유의하면 된다.
(c) 기하평균: 로그형태 $$\log M_p = \frac{ \log (x_1^p + \cdots + x_n^p)- \log n}{p}$$로 바꾸어 극한 $$p \rightarrow 0$$을 취하면 되는데, 늘 그랬듯이 로피탈의 정리 혹은 미분계수의 정의식을 사용하면 된다. 분자를 $$p$$로 미분하면 $$\frac{x_1^p \log x_1 + \cdots + x_n^p \log x_n}{x_1^p + \cdots + x_n^p}$$이고 $$p=0$$일 때의 이 값은 $$\frac{\log x_1 + \cdots + \log x_n}{n} = \log \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$$이므로 $$M_0(x_1, \cdots, x_n) = \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$$이 증명된다.
2.4. 횔더 부등식을 이용한 증명
실수 $$\alpha>\beta$$에 대해 $$\mathbb{E}[X^\alpha]^{1/\alpha} \ge \mathbb{E}[X^\beta]^{1/ \beta} $$을 보이면 된다.
(a) $$\alpha>\beta>0$$일 경우: 횔더 부등식의 기본형태 $$\mathbb{E}[x^p]^{1/p} \mathbb{E}[y^q]^{1/q} \le \mathbb{E}[xy]$$에서 $$x = X^\beta, y = 1, p = \alpha/\beta$$로 놓자. 그러면 $$ \mathbb{E}[X^{\alpha}]^{\beta/\alpha} \le \mathbb{E}[X^\beta] $$를 얻을 수 있다.
(b) $$\alpha>0>\beta$$일 경우: $$ \gamma = (\alpha^{-1} - \beta^{-1})^{-1}$$에 대해 $$x = X^\gamma, y = X^{-\gamma}, p = 1 - \alpha/\beta , q = 1 - \beta/ \alpha$$로 맞춰주자.
(c) $$ 0 > \alpha > \beta$$일 경우: $$X^{-1}$$을 대신 생각하면 (a)의 경우가 된다.
3. 예제
양의 실수 $$a,b,c$$에 대하여, $$\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq9$$가 성립한다. AM-HM에 의해, $$\frac{a+b+c}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}$$이 성립하고, 이를 정리해주면 구하고자 하는 부등식이 증명된다. 등호는 $$a=b=c$$일 때 성립한다. [5]
4. 관련 문서
[1] 원칙적으로는 음이 아닌 실수여도 된다. 조화평균의 경우 $$\frac{1}{0}=\infty$$로 간주하여 0으로 취급하면 문제없다. 다만 확장된 실수 개념의 모호함으로 교과과정에선 다루지 못한다[2] 책에 따라서는 SQM (Square-root Quadratic Mean)이라 부르기도 한다.[3] 수학보다는 화학이나 물리학에서 주로 쓰이는데, 고전역학적으로 질량 $$m$$과 운동에너지 $$E_{k}$$가 주어지면, 운동에너지에서 스피드 $$v$$를 구하는건 $$\displaystyle{E_{k}=\frac{1}{2}mv^{2}}$$를 이용해서 구할 수 있다. 분자의 운동에너지의 총 합이 바로 온도가 되는데, 문제는 이상 기체 분자의 운동속력은 맥스웰-볼츠만 분포를 따르게 된다. 즉, 분포가 주어지게 되므로, 이것만으로는 분자의 운동속력을 구할 수는 없다. 하지만, 그 대표값으로 삼는게 바로 RMS. 즉, $$\displaystyle{E_{k}=\sum_{v\in AREA}\frac{1}{2}mv^{2}}=\frac{3}{2}kT=\frac{1}{2}m\bar{v}^2$$라는 공식을 이용하여 구할 수 있는 $$\bar{v}$$가 바로 맥스웰-볼츠만 분포를 따르는 기체분자의 평균 운동속력이다.[4] 수학적 귀납법을 사용해 증명한다.[5] 애초에 부등식은 푸는 방법이 매우 다양하며, 특히 KMO 고등부나 IMO로 올라갈수록 그 경향이 더욱 심해진다. 결국 부등식을 풀 때는 여러 가지 해법 중 본인에게 가장 쉬운 해법을 선택하여 풀면 되는 것이다.