포물선 운동
1. 개요
중력장에서 물체를 투사했을 때, 포물선 궤도를 그리며, 운동하는 것을 '''포물선 운동(Projectile motion, 抛物線運動)'''이라 한다.
초급 수준의 물리학에서 1차원 등가속도 운동 다음으로 차원을 높일 때 거론되는 것이 이 포물선 운동으로, 포물선 운동은 대표적인 2차원 운동이다.
이 문서는 가속도 개념과 등가속도 운동 문서의 결과를 모두 숙지하고 있다는 가정 하에 작성되었다. 가속도 개념이나 등가속도 운동에 미숙한 위키러들은 선수학습으로, 해당 문서의 내용 먼저 파악하고 오길 바란다.
2. 분석
우선 공기 저항을 포함한 모든 마찰을 무시한 경우를 보고자 한다. 분석의 용의성을 위해 3차원 상에서 분석을 할 수도 있지만, 2차원으로만 분석하였다.
아래와 같이 $$\mathbf{v}_{0}$$의 속도로 $$x$$축[1]과 $$\theta$$의 각으로 물체가 투사된 상황을 고려하자. 이때, 모든 마찰을 무시한다면, 물체는 포물선 궤도로 나아가게 된다. $$\mathrm{A,\,B}$$는 각각 궤도의 최고점, $$\mathrm{O}$$에서 투사된 후 다시 $$x$$축에 도달한 점이다. $$\mathrm{H}$$는 점 $$\mathrm{A}$$에서 $$x$$축에 내린 수선의 발이다.
[image]
질량 $$m$$의 물체는 $$y$$축 방향으로 알짜힘인 중력 $$\mathbf{g}=-mg \hat{\mathbf{y}}$$만을 받는다. 따라서 물체는 $$y$$축으로 가속도 $$\mathbf{a}=-g \hat{\mathbf{y}}$$인 등가속도 운동하며, $$x$$축 방향으로의 알짜힘은 없으므로 등속도 운동할 것이다.
물체는 $$\mathrm{O}$$에서 투사되고, 최고점 $$\mathrm{A}$$에 도달한 후 다시 $$\mathrm{B}$$로 떨어지는 시간 동안만 포물선 운동한다. 그런데 물체에 작용하는 비보존력이 없기 때문에 물체의 역학적 에너지는 보존되고, 결국 이는 물체의 속도 크기는 $$\mathrm{O}$$와 $$\mathrm{B}$$에서 같아야 함을 의미한다. $$x$$축 방향은 등속도 운동하기 때문에 $$\mathrm{O}$$와 $$\mathrm{B}$$에서 속도의 $$x$$성분은 같다. 그런데, $$y$$축으로는 중력 가속도의 크기로 등가속도 운동하기 때문에 결국 $$\mathrm{B}$$에서 속도의 $$y$$성분은 크기는 같으나, 부호는 반대가 된다. $$\mathrm{O}$$에서 투사될 때, 초기속도의 $$y$$ 성분은
임을 고려하면, 결국 구하는 시간 $$T$$는
$$\displaystyle -v_{0}\sin{\theta}=-gT+v_{0}\sin{\theta} $$
$$\displaystyle T=\frac{2v_{0}\sin{\theta}}{g} $$
다음으로, 수평 도달 거리라 부르는, 물체가 투사된 후 다시 $$x$$축에 닿을 때까지 이동한 $$x$$축 상의 거리 $$\overline{\mathrm{OB}} \equiv R$$를 구해보자. 물체는 $$x$$축으로 등속도 운동하고, 투사될 때 초기속도의 $$x$$ 성분은
$$\displaystyle \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{x}}=v_{0}\cos{\theta} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} R&=v_{0}T\cos{\theta} \\ &=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g} \end{aligned} $$
또, 최고점 높이 $$\overline{\mathrm{AH}} \equiv H$$를 구하자. 이것은 $$\mathrm{O \to A}$$로 운동할 때, $$y$$축 방향의 운동만 고려함으로써 쉽게 구할 수 있다. 점 $$\mathrm{O}$$에서 물체는 초기속도 $$y$$ 성분 $$\displaystyle v_{0}\sin{\theta} $$을 가지고 있었고, 최고점 $$\mathrm{A}$$에 도달하면, 여기서 속도의 $$y$$ 성분은 없다. 따라서
$$\displaystyle -2gH=0-v_{0}^{2}\sin^{2}{\theta} $$
$$\displaystyle H=\frac{v_{0}^{2}\sin^{2}{\theta}}{2g} $$
마지막으로는 궤도 방정식을 구하자. 이상의 내용을 잘 이해했다면, 물체의 위치는 시간의 매개변수로,
$$\displaystyle \begin{aligned} x(t)&=v_{0}t\cos{\theta} \\ y(t)&=v_{0}t\sin{\theta}-\frac{1}{2}gt^{2} \end{aligned} $$
$$\displaystyle y(x)=x\tan{\theta}-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}} $$
또한, 속도는 위치의 미분이므로, 포물선 운동 중 물체 속도의 $$x$$축, $$y$$축 성분은 각각의 좌표의 시간 미분이므로
$$\displaystyle \begin{aligned} \dot{x}&=v_{0}\cos{\theta} \\ \dot{y}&=v_{0}\sin{\theta}-gt \end{aligned} $$
$$\displaystyle v=\sqrt{\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}} $$
아래는 이상의 내용을 요약한 것이다.
- 포물선 운동 시간
- 수평 도달 거리
- 최고점 높이
- 궤도 방정식
첨언하면, 위의 포물선 운동은 가장 초급적이고, 이상적인 경우를 다뤘음에 유의하여야 한다. 실제론 $$\mathrm{B}$$에 도달했을 때, 물체의 운동을 방해하는 요소가 없다면, 물체는 궤도 방정식을 따라 계속 포물선 운동한다. 아래의 그림을 참조하자.
[image]
또한, 위의 공식들은 최고점을 기준으로 궤도가 대칭적일 때만 쓸 수 있다는 것에 유의해야 한다. 예를 들어, 위 상황에서 $$\mathrm{B}$$ 이후의 운동은 위의 공식들로 분석할 수 없으며, 포물선 운동 특징인 $$y$$축으로 중력 가속도 크기로, 등가속도 운동하며, $$x$$축 방향으로는 등속도 운동함을 이용하여 분석하여야 한다.
2.1. 심화 분석
여러 가지 수학적 분석을 통해 포물선 운동의 특성을 파악해볼 수 있다. 우선적으로, 초기 속력이 같게 투사되었을 때, 수평 도달 거리가 최대가 되는 각을 찾고자 한다.
$$\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g} $$
가 되고, 결국 찾는 $$\theta=\pi/4$$임을 얻는다.
또한, $$\theta+\theta'=\pi/2$$를 만족하는 두 각이 있다고 가정하자. 이때, $$\theta'$$로 투사한 경우, $$\theta'=\pi/2-\theta$$으로 쓸 수 있어, 해당 각으로 투사한 경우,
$$\displaystyle R'=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta'}}{g}=\frac{v_{0}^{2}\sin{(\pi-2\theta)}}{g} $$
$$\displaystyle R=\frac{v_{0}^{2}\sin{2\theta}}{g} $$
$$\displaystyle R=R' $$
궤도 방정식
$$\displaystyle y(x)=x\tan{\theta}-\frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}} $$
[3] 다만, 최고점 높이는 상이함에 유의하자.
$$\displaystyle \frac{gx^{2}}{2v_{0}^{2}\cos^{2}{\theta}} $$
[image]
이 궤도 방정식을 분석한 것을 쓰면, 쉽게 풀리는 문제가 수능 모의고사에 출제된 적있다. 아래는 2016년 6월 대학수학능력시험 모의고사 물리Ⅱ 20번 문항이다. 풀어볼 위키러들은 풀어보도록 하자.
2.2. 벡터 분석법
이제 3차원의 포물선 운동을 표현해보고자 한다. 삼차원 상은 벡터로 분석하는 것이 훨씬 효과적이며 표현하기도 쉽다.
아래와 같이 중력장 안에서 물체가 포물선 운동을 원점 $$\mathrm{O}$$에서 시작한 경우를 생각해보자. 단, 중력 가속도 벡터 $$\mathbf{g}=g\hat{\mathbf{g}} $$임에 유의하자.
[image]
그리고, 궤도 위의 한 점 $$\mathrm{P}$$인 경우에서 먼저 속도 벡터 $$\mathbf{v}$$를 분석하는 것으로 부터 시작하자. 이에 앞서 $$\mathbf{g} \cdot \mathbf{T}=0$$이 성립하는 $$\hat{\mathbf{T}} $$를 택하자. 편의 상 $$\hat{\mathbf{T}}$$는 포물선 운동하는 방향[4] 쪽이 되게 잡는다. 위 그림을 참고하자.
$$\mathrm{P}$$에서 속도 벡터는 아래와 같이 분해 가능하다.
여기서 $$\mathbf{v_{g}}$$는 중력장 벡터 $$\mathbf{g}$$와 평행한 성분, $$\mathbf{v_{T}}$$는 $$\mathbf{T}$$와 평행한 성분이다. 포물선 운동의 특성[5]을 생각한다면, 쉽게
$$\displaystyle \mathbf{v}=[(\mathbf{v}_{0} \cdot -\hat{\mathbf{g}})(-\hat{\mathbf{g}})+\mathbf{g} t] -(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{T}})\hat{\mathbf{T}} $$
[5] 중력 가속도와 평행한 축은 중력 가속도로 등가속도 운동, 중력 가속도와 수직인 축은 등속도 운동
$$\displaystyle \mathbf{v}=\hat{\mathbf{g}} (\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{g}}+gt)+\hat{\mathbf{T}}(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{T}}) $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{s}&=\int_{0}^{t} \mathbf{v} \,dt \\ &=\hat{\mathbf{g}} \left( \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{g}}t+\frac{1}{2}gt^{2} \right)+\hat{\mathbf{T}}(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{T}}t) \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} \mathbf{s}=&\hat{\mathbf{y}} \left( \mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{y}}t-\frac{1}{2}gt^{2} \right)+\hat{\mathbf{x}}(\mathbf{v}_{0} \cdot \hat{\mathbf{x}}t) \end{aligned} $$
3. 라그랑주 역학을 이용한 분석
라그랑주 역학을 이용한 분석을 해보도록 하자. 포물선 운동은 대표적인 2차원 운동이므로 두 일반화 좌표 $$x,\,y$$로 기술해도 무리가 없다. 이에 대한 일반화 속도는 $$\dot{x},\,\dot{y}$$이다.
물체의 퍼텐셜 에너지는 중력에 의한 것만 있으므로
$$\displaystyle U=mgy $$
$$\displaystyle T=\frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}) $$
$$\displaystyle \mathscr{L}=T-U = \frac{1}{2}m(\dot{x}^{2}+\dot{y}^{2}) - mgy$$
오일러 - 라그랑주 방정식을 이용해, 각 축의 운동 방정식을 나타낼 수 있다. 즉,
$$\displaystyle \frac{\partial \mathscr L}{\partial x_{i}} - \frac{d}{dt} \left( \frac{\partial \mathscr L}{\partial \dot{x}_{i}} \right) = 0$$
$$\displaystyle \begin{cases} \ddot{x}=0 \\ \ddot{y}=-g \end{cases} $$
4. 공기 저항을 고려한 분석
이제 현실과 가장 유사한 케이스를 고려할 것이다[6]. 즉, 공기 저항을 고려할 것이다. 우선적으로, 이러한 공기 저항이 물체의 운동량에 비례한다고 놓을 것이다. 즉, 마찰력을 $$-mk \mathbf{v}$$으로 놓는다. 여기서 $$k$$는 공기 저항 계수가 될 것이다. 이때, 속도는 각 축의 성분으로 분해할 수 있고,
$$\displaystyle \mathbf{v}=\dot{x} \hat{\mathbf{x}}+ \dot{y} \hat{\mathbf{y}}$$
[6] 저항력이 속도에 비례하는 꼴의 식은 물체가 상당히 작을때 적용되는 식이고, 야구공처럼 표면적 및 질량이 큰 물체라면 저항력이 속도의 제곱에 비례하는 식을 사용해야 한다. 2차원 포물선 운동 상황이라면 '''해석학적으로 해를 구할 수 없다'''.
다음의 초기 조건을 안다.
$$\displaystyle \begin{aligned} x(t=0)&=0 \\ y(t=0)&=0 \\ \dot{x}(t=0)&=v_{0}\cos{\theta} &&\equiv V \\ \dot{y}(t=0)&=v_{0}\sin{\theta} &&\equiv W \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} m\ddot{x}&=-mk \dot{x} \\ m\ddot{y}&=-mg-mk \dot{y} \end{aligned} $$
$$\displaystyle \begin{aligned} x&=\frac{V}{k} ( 1-e^{-kt} ) \\ y&=-\frac{gt}{k}+\frac{kW+g}{k^{2}} ( 1-e^{-kt} ) \end{aligned} $$
이 조건에서 물체가 포물선 운동하는 시간은 $$t=T\,(T \neq 0)$$일 때, $$y=0$$이 되는 시간을 찾으면 된다. 즉,
의 방정식을 풀면 된다. 그러나 이 방정식은 해석적인 해를 갖지 않기 때문에 수치계산이나 섭동법을 이용해야 한다.
만약, 우리가 수치계산이나 섭동법을 통해 포물선 운동 시간 $$T$$을 구했다고 하자. 그렇다면, 수평 도달 거리는 $$R=x(t=T) $$가 되므로
$$\displaystyle R=\frac{V}{k} ( 1-e^{-kT} ) $$
아래는 $$\theta=\pi/4$$, $$v_{0}=200\,\mathrm{m/s}$$일 때 여러 $$k$$에 대해 궤도를 시뮬레이션 해본 것이다.
[image]
$$k=0$$ 즉, 적색 궤도는 공기 저항을 고려하지 않았을 때이며, 공기 저항 계수가 커질 수록 수평 도달 거리는 줄어드는 것을 알 수 있다. 다음[8]을 참고하자:
[image]
참고로, $$k \ll 1$$일 때를 가정하여, 이 과정을 섭동으로 풀 수도 있다. 그러나 계산이 매우 복잡한 결과로 섭동으로 푼 결과를 보고 싶은 위키러들은 고전역학 책을 볼 것을 권한다.
5. 여담
- 중력장에서의 포물선 운동만 고려했지만, 실제론 전기장 등에서도 이러한 운동이 가능하다.
- 이 포물선 궤도는 중심력장에서도 가능한데, 일정 조건만 만족하면 소행성이 항성을 한 초점으로 하여 포물선 궤도로 운동할 수도 있다.
- 수능 등에서는 고난도 문항으로 출제되고 있으며, 항상 한 정보만 알면 쉽게 풀 수 있는데도 불구하고 그것을 주지 않아 어려워지거나 여러 운동 상황과 섞는 등으로 난이도가 급상승하는 경우가 많다. 더군다나, 포물선 운동 자체가 등가속도 운동과 등속도 운동 두 항목에 대한 이해도를 효율적으로 물을 수 있으므로 출제자 입장에서는 사랑할 수밖에 없고, 이에 난이도가 어렵게 출제될 수밖에 없다.
6. 관련 문서
[8] 조건은 위의 궤도를 구할 때와 같고, 수치계산을 이용하였다.