포물선

1. 개요

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parabola · 拋物線[1]
기하학에서 나오는 도형의 일종으로, 정의는 다음과 같다.

'''평면 상의 어떤 직선과의 거리와 정점으로부터의 거리가 서로 같은 점들의 집합'''

위에서 나온 "어떤 직선"은 '''준선'''이라 하며, "정점"은 '''초점'''이라 부른다.

2. 포물선의 방정식

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아래는 하위 문단의 내용을 요약한 것이다.

• 포물선 $$\boldsymbol{y^2=4px}$$
  • 그래프

• 조건: $$\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}}$$
• 초점의 좌표: $$\mathrm{F}( p,\,0) $$
• 준선의 방정식: $$ x=-p $$
• 포물선 위의 점 $$(x_{1},\,y_{1})$$을 지나는 접선의 방정식: $$\displaystyle yy_{1}=2p(x+x_{1}) $$
• 특정한 기울기 $$m$$의 접선의 방정식: $$\displaystyle y=mx+\frac{p}{m}$$

• 포물선 $$\boldsymbol{x^2=4py}$$
  • 그래프

• 조건: $$\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}}$$
• 초점의 좌표: $$\mathrm{F}( 0,\,p) $$
• 준선의 방정식: $$ y=-p $$
• 포물선 위의 점 $$(x_{1},\,y_{1})$$을 지나는 접선의 방정식: $$\displaystyle xx_{1}=2p(y+y_{1}) $$
• 특정한 기울기 $$m$$의 접선의 방정식: $$\displaystyle y=mx-m^{2}p $$

2.1. 유도

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'''[1] 준선이 $$ \boldsymbol{x=-p} $$이고, 초점이 $$ \mathbf{F}\boldsymbol{(p,\,0)} $$인 포물선의 방정식'''

포물선의 정의에 따라 $$\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}}$$를 만족해야 한다. 이때, $$\mathrm{H}(-p,\,y)$$, $$\mathrm{P}(x,\,y)$$임을 이용하면,

$$\displaystyle \sqrt{(x-p)^{2}+y^{2}}=|x+p| $$

[1] 일본어에서는 '拋'가 상용한자에 포함되어 있지 않아서 '放物線'이라고 대체한다. 한국 한자음으로는 '방물선'으로 달라지지만 일본 한자음으로는 ほうぶつせん으로 동일하다. 사실 이 '던질 포'자는 한국에서도 잘 안 쓰이는 한자로, 흔히 아는 단어 중에서는 '''이 단어''' 말고는 거의 쓰이지 않는다.

양변을 제곱하면,

$$\displaystyle (x-p)^{2}+y^{2}=(x+p)^{2} $$

위 식을 정리함으로써 포물선의 방정식을 얻는다:

$$\displaystyle y^{2}=4px $$

'''[2] 준선이 $$ \boldsymbol{y=-p} $$이고, 초점이 $$ \mathbf{F}\boldsymbol{(0,\,p)} $$인 포물선의 방정식'''

포물선의 정의에 따라 $$\overline{\mathrm{FP}}=\overline{\mathrm{PH}}$$를 만족해야 한다. 이때, $$\mathrm{H}(x,\,-p)$$, $$\mathrm{P}(x,\,y)$$임을 이용하면,

$$\displaystyle \sqrt{x^{2}+(y-p)^{2}}=|y+p| $$

양변을 제곱하면,

$$\displaystyle x^{2}+(y-p)^{2}=(y+p)^{2} $$

위 식을 정리함으로써 포물선의 방정식을 얻는다:

$$\displaystyle x^{2}=4py $$

그런데 이 형태는 이차함수임을 알 수 있고, 결국 이차함수의 그래프는 포물선임이 여기서도 증명된 것이다.
만약 초점이 $$(x_{0},\,y_{0})$$인 포물선을 고려한다면, $$x$$축으로 $$x_{0}$$, $$y$$축으로 $$y_{0}$$만큼 평행 이동하면 된다. 이때, 접선이나 준선 또한 모두 평행 이동 됨에 유의하여야 한다. 또한, 이 경우 준선이 $$y$$축과 평행할 경우, 방정식의 일반형은

$$\displaystyle y^{2}+Ay+Bx+C=0 $$

꼴이며, 준선이 $$x$$축과 평행할 경우, 방정식의 일반형은

$$\displaystyle x^{2}+Ax+By+C=0 $$

꼴이다. 이때, $$A \sim C$$는 상수이다.

3. 포물선과 직선

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3.1. 포물선의 초점을 지나는 직선

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위 그림과 같이 포물선 $$y^2=4px$$ 위의 두 점 $$\rm R$$, $$\rm S$$를 고려하고 이 두 점과 초점은 한 직선에 있다고 하자. 또, $$\rm R$$, $$\rm S$$에서 해당 포물선의 준선 $$l$$에 내린 수선의 발을 각각 $$\rm P$$, $$\rm Q$$라 하자. $$\overline{\rm RF} \equiv a$$, $$\overline{\rm FS} \equiv b$$라 하고, $${\rm F}(p,\,0)$$이라 하면

$$\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} $$

가 성립한다. 다만 위 그림에서는 $$b>a$$인 경우만 나타내져있지만 위 식은 $$b<a$$일 때도 성립한다.
증명은 사다리꼴 $$\rm PRSQ$$를 사용하여 한다. 꼭짓점 $$\rm R$$에서 $$\overline{\rm QS}$$에 내린 수선의 발을 $$\rm H$$라 하고, 이 수선이 $$x$$축과 만나는 점을 $$\rm G$$라 하자. 이때, 두 직각삼각형 $$\rm RGF$$, $$\rm RHS$$는 닮음비가 $$\overline{\rm RF}:\overline{\rm RS}$$인 닮은 삼각형이고, 포물선의 성질에 의하여 $$\overline{\rm FS}=\overline{\rm QS}=b$$이므로 $$\overline{\rm HS}=b-a$$이다. 따라서

$$\displaystyle \begin{aligned} \frac{\overline{\rm GF}}{b-a}=\frac{a}{a+b} \quad \to \quad \overline{\rm GF}=\frac{a(b-a)}{a+b} \end{aligned} $$

이므로

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm TF}&=\overline{\rm TG}+\overline{\rm GF} \\ &=a+\frac{a(b-a)}{a+b} \\&=\frac{2ab}{a+b} \end{aligned} $$

이다. 한편, 포물선의 정의에 따라 $$\overline{\rm TO}=\overline{\rm OF}$$이므로

$$\displaystyle \begin{aligned} \overline{\rm OF}&=\frac{\overline{\rm TF} }{2}\\&=\frac{ab}{a+b} \\&=\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} \right)^{-1} \end{aligned} $$

이다. 여기서 $$\rm T$$는 준선과 $$x$$축의 교점이다. 그런데 $$\overline{\rm OF}=p$$이므로

$$\displaystyle \frac{1}{p}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b} $$

이 성립한다.

3.2. 포물선과 직선의 위치 관계

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우리는 임의의 직선

$$\displaystyle y-mx-n=0 $$

이 포물선과 어떤 관계에 있는지 조사해보고자 한다. 이것은 다음의 순서를 따른다.

1. '''우선 직선의 방정식을 한 변수에 대하여 정리하자.''' 1. 1'''에서 정리한 직선을 원의 방정식에 대입하고, 적절히 이항하여, 이차 방정식을 만든다.''' 1. 2'''에서 나온 이차방정식에 판별식 $$\boldsymbol{D}$$을 적용한다.'''

3의 과정에서 판별식의 부호에 따라 다음을 얻는다:

• 판별식의 부호가 양이다 : 포물선과 직선은 두 점에서 만난다.
• 판별식이 0이다 : 포물선과 직선은 접한다.(즉, 포물선과 직선은 한 점에서 만난다.)
• 판별식의 부호가 음이다 : 포물선과 직선은 만나지 않는다.

아래의 그림을 참조하자:

3.3. 포물선의 접선

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3.3.1. 포물선 위의 점에서의 접선

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'''[1] 준선이 $$ \boldsymbol{x=-p} $$이고, 초점이 $$ \mathbf{F}\boldsymbol{(p,\,0)} $$인 포물선'''
포물선 위의 점 $$(x_{1},\,y_{1})$$위에서 접선의 방정식이 어떻게 되는 지 구해보자. 음함수의 미분법을 사용하면,

$$\displaystyle 2y \frac{dy}{dx}=4p \,\to\, \frac{dy}{dx}=\frac{2p}{y} $$

이상에서 해당 점 위에서 접선의 방정식은

$$\displaystyle y-y_{1}=\frac{2p}{y_{1}}(x-x_{1}) $$

식을 정리하면,

$$\displaystyle yy_{1}-2p(x+x_{1})=y_{1}^{2}-4px_{1} $$

그런데, 우변은 0이 됨에 따라

$$\displaystyle yy_{1}=2p(x+x_{1}) $$

으로 구해진다.
'''[2] 준선이 $$ \boldsymbol{y=-p} $$이고, 초점이 $$ \mathbf{F}\boldsymbol{(0,\,p)} $$인 포물선'''
포물선 위의 점 $$(x_{1},\,y_{1})$$위에서 접선의 방정식이 어떻게 되는 지 구해보자. 음함수의 미분법을 사용하면,

$$\displaystyle 2x=4p \frac{dy}{dx} \,\to\, \frac{dy}{dx}=\frac{x}{2p} $$

이상에서 해당 점 위에서 접선의 방정식은

$$\displaystyle y-y_{1}=\frac{x_{1}}{2p}(x-x_{1}) $$

식을 정리하고, 다시 쓰면,

$$\displaystyle 2p(y+y_{1})=x_{1}x-x_{1}^{2}+4py_{1} $$

그런데 우변에서 $$-x_{1}^{2}+4py_{1}=0$$임에 따라 접선의 방정식은

$$\displaystyle xx_{1}=2p(y+y_{1}) $$

으로 구해진다.

3.3.2. 특정한 기울기의 접선

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우선 구하는 접선의 방정식을 $$y=mx+n$$이라 놓고, 포물선의 방정식에 대입하여, $$x$$에 관한 이차 방정식을 만들고, 이 이차 방정식이 중근을 가지면, 포물선과 직선은 접한다는 것을 이용하면 된다. 즉, 해당 이차 방정식에 대해 판별식이 0이 돼야 한다.
'''[1] 준선이 $$ \boldsymbol{x=-p} $$이고, 초점이 $$ \mathbf{F}\boldsymbol{(p,\,0)} $$인 포물선'''
이 경우엔

$$\displaystyle n=\frac{p}{m} $$

이어서

$$\displaystyle y=mx+\frac{p}{m} $$

이다.
'''[2] 준선이 $$ \boldsymbol{y=-p} $$이고, 초점이 $$ \mathbf{F}\boldsymbol{(0,\,p)} $$인 포물선'''
이 경우엔

$$\displaystyle n=-m^{2}p $$

이어서

$$\displaystyle y=mx-m^{2}p $$

이다.

3.4. 포물선과 직선에 대한 성질

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3.4.1. 준선 위의 한 점에서 그은 접선

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위 그림과 같이 준선 $$l$$ 위의 한 점 $$\rm P$$에서 포물선 $$y^2=4px$$에 그은 두 접선을 고려해보자. 점 $${\rm P}(-p,\,k)$$ (단, $$k$$는 상수)라 놓고, 포물선의 기울기 $$m$$의 접선의 방정식은

$$\displaystyle y=mx+\frac{p}{m} $$

이고, 이 직선이 $${\rm P}(-p,\,k)$$을 지나므로

$$\displaystyle k=-mp+\frac{p}{m} $$

이다. 이때, 위 방정식을 $$m$$에 대하여 정리하면

$$\displaystyle pm^2-km-p=0 $$

이고, 이 방정식을 만족하는 두 근이 결국 두 접선의 각각의 기울기가 된다. 한편, 이 방정식에서 이차방정식의 근과 계수와의 관계에 의하여 두 근을 $$m_1$$, $$m_2$$라 놓으면,

$$\displaystyle m_{1}m_{2}=-1$$

을 알 수 있고, 직선 문서에서 다뤘듯, 각각의 기울기의 곱이 -1인 두 직선은 직교한다. 따라서 이상의 결과는 아래와 같이 정리할 수 있다.

'''포물선의 준선 위의 한 점에서 그은 포물선의 두 접선은 직교한다.'''

추가적으로, 접선의 접점 $$\rm A$$, $$\rm B$$와 포물선의 초점 $$\rm F$$는 한 직선 상에 있다.
접점의 좌표는 포물선의 방정식과 접선의 방정식을 아래와 같이 연립하면 구할 수 있다.

$$\displaystyle \left( mx+\frac{m}{p} \right)^{2}=4px $$

따라서 두 접점은

$$\displaystyle {\rm A}\left( \frac{p}{m_{1}^{2}}, \, \frac{2p}{m_{1}} \right), \qquad {\rm B}\left( \frac{p}{m_{2}^{2}}, \, \frac{2p}{m_{2}} \right)$$

임을 알 수 있다. 따라서 직선 $$\rm AB$$의 방정식은

$$\displaystyle y-\frac{2p}{m_{1}}=\frac{\dfrac{2p}{m_{1}}-\dfrac{2p}{m_{1}} }{\dfrac{p}{m_{2}^{2}}-\dfrac{p}{m_{1}^{2}} }\left( x-\frac{p}{m_{1}^{2}} \right) $$

이고, 이 방정식의 $$x$$절편을 $$X$$라 놓으면

$$\displaystyle X=\frac{p(m_{1}^{2}+m_{1}m_{2}+1)}{m_{1}^{2}} $$

으로 구해진다. 한편, 위에서 $$m_{1}m_{2}=-1$$이었으므로 결국

$$\displaystyle X=p $$

로 초점 $${\rm F}(p, \,0)$$을 지난다는 것을 알 수 있다.

3.4.2. 포물선의 접선에 생기는 마름모

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위 그림과 같이 포물선 $$y^2=4px$$와 초점 $$\rm F$$와 포물선 위의 임의의 점 $$\rm R$$을 지나는 직선 $$\rm FR$$을 고려하고, 점 $$\rm R$$에서 준선 $$l$$에 내린 수선의 발을 $$\rm P$$라 하자. 또한, 접선과 $$x$$축의 교점을 $$\rm Q$$라 하자. 이때, 결정되는 사각형 $$\rm PRFQ$$의 종류를 결정해보자.
점 $${\rm R}(x_{1},\,y_{1})$$, $${\rm F}(p,\,0)$$이라 놓으면, $$\overline{\rm PT}=p$$이고, 포물선의 정의에 따라

$$\displaystyle \overline{\rm PR}=\overline{\rm RF}=x_{1}+p $$

한편, $${\rm R}(x_{1},\,y_{1})$$을 지나는 접선의 방정식은 $$yy_{1}=2p(x+x_{1})$$이므로 $$x$$절편인 $${\rm Q}(-x_{1},\,0)$$임을 알 수 있고, 이에 따라

$$\displaystyle \overline{\rm PR}=\overline{\rm FQ}=x_{1}+p $$

그런데 $$\overline{\rm PR} \parallel \overline{\rm FQ} $$이므로 사각형 $$\rm PRFQ$$는 평행사변형임과 동시에 $$\overline{\rm PR}=\overline{\rm RF}$$이므로 '''마름모'''임을 얻는다.
따라서 $$\rm PRFQ$$의 대각선 $$\overline{\rm PF}$$, $$\overline{\rm RQ}$$를 고려해보면 두 선분은 마름모의 성질에 따라 직교함을 알 수 있다. 또한 두 대각선의 교점 $$\rm S$$는 $${\rm P}(-p,\,y_{1})$$, $${\rm R}(x_{1},\,y_{1})$$, $${\rm F}(p,\,0)$$, $${\rm Q}(-x_{1},\,0)$$를 고려해보면, $$y$$축 위에 있음을 알 수 있다.
이상에서 삼각형 $$\rm PRF$$는 $$\overline{\rm PR}=\overline{\rm RF}$$인 이등변 삼각형이고, 마름모의 대각선은 다른 하나를 수직 이등분하고, 이등변 삼각형의 밑변에 대한 수직이등분선은 밑변의 양끝각이 아닌 한 각을 이등분하므로 $$\angle {\rm PRS}=\angle {\rm FRS}$$이 성립한다. 또한, $$\overline{\rm PR} \parallel \overline{\rm FQ} $$에서 엇각으로 $$\angle {\rm PRS}=\angle {\rm RQF}$$임을 확인할 수 있다.

3.4.3. 포물선의 광학적 성질

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위 그림과 같이 윗 문단과 거의 같은 상황에서 $$\overline{\rm RF}$$의 연장선과 그 위에 있는 점 $$\rm M$$, $$\overline{\rm PR}$$의 연장선과 그 위에 있는 점 $$\rm N$$, 접선 $$\rm QR$$ 위의 점 $$\rm U$$를 고려하자.
사각형 $$\rm PRFQ$$가 마름모인 것은 위 문단에서 증명했고, $$\angle {\rm PRQ}=\angle {\rm FRQ}$$인 것도 증명했다. 따라서 맞꼭지각으로 $$\angle {\rm MRU}=\angle {\rm URN}$$임도 자동적으로 나오게 된다.
이것의 성질을 광학에 빗대어보자. 만약 $$\rm N \to \rm R$$로 광선이 들어왔다면, $$\angle {\rm UNR}=\angle {\rm FRQ}$$이므로 입사각과 반사각[2]은 같게 되어 반사 법칙에 의해 광선은 $$\rm R \to \rm F$$ 즉, 초점으로 향하게 된다. 또, 광선이 $$\rm M \to \rm R$$로 들어왔다면, $$\angle {\rm MRU}=\angle {\rm PRQ}$$이므로 입사각과 반사각은 같아져 $$\rm R \to \rm P$$로 향하게 된다. 따라서 이 두 결과는 아래와 같이 정리할 수 있다.

* '''포물선의 내부에서 평행하게 입사한 빛은 모두 초점으로 모인다.''' * '''역으로 초점에서 방사한 빛은 모두 평행하게 반사되게 된다.''' * '''포물선 외부에서 초점을 향하게 입사한 빛은 평행하게 반사되게 된다.'''

아래의 그림은 위 결과를 표현한 것이다.

따라서 위 성질을 이용한 안테나(일명 파라볼라 안테나) 등이 있다.

4. 기타

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• 물리학에서 행성과 항성, 전자와 핵이 속박된 상황 등 중심력장에서 일정 조건을 만족하면 포물선 운동을 하게 된다.
• 또한, 지표면 근처의 균일한 중력장 등에서 물체를 비스듬히 던지면 포물선 운동을 하게 된다. 이는 역제곱법칙을 만족하는 보존적 벡터장 하에서의 한 궤도인 타원 운동의 근사적인 기술이다.
• 얼핏 보면 비슷해 보아지만 현수선과는 다르다.[비교]

5. 관련 문서

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• 수학 관련 정보
• 기하학
• 원뿔곡선

[2] 다만, 해당 각들이 입사각 혹은 반사각이 아니라는 점에 유의해야 한다. 이는 입사각 혹은 반사각은 접선에 수직이면서 접점을 지나는 직선과 광선이 이루는 각으로 측정되기 때문이다. 해당 각들이 같으면 입사각 혹은 반사각은 같을 수밖에 없다.(위 그림에서 추론해보라.)

[비교]