플랑크 길이
1. 개요
Planck length
플랑크 단위의 일종. 광속 $$c$$, 디랙 상수 $$\hbar$$, 중력 상수 $$G$$를 이용하여 차원 분석을 통해, 길이 단위가 곧 차원 단위가 되도록[1] 인위적으로 조합된 길이이다. $$l_{\rm P}$$로 나타내며[2] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.
2. 유도
$$c$$, $$\hbar$$, $$G$$의 단위 및 차원은 다음과 같다.
위 상수들을 조합해서 계산해보면 $$\dfrac\hbar c$$의 차원이 $$\sf ML$$이 됨을 쉽게 알 수 있다. 플랑크 질량 $$m_{\rm P}$$는 차원이 $$\sf M$$이며 $$m_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar c}G}$$이므로 $$l_{\rm P}$$는 $$\dfrac\hbar c$$를 $$m_{\rm P}$$로 나눈 값, 즉 $$l_{\rm P} = \dfrac\hbar{m_{\rm P}c} = \dfrac\hbar c\sqrt{\dfrac G{\hbar c}} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}$$로 정의된다.
3. 의의
우리 우주의 근간을 구성하는 물리 법칙[3]에 연관된 상수를 조합하여 차원이 $$\sf L$$이 되도록 조합된 길이이므로, '''우리 우주에서 측정 가능하며 유의미한 최소한의 길이'''라는 의미를 내포하고 있다.
또한, 플랑크 단위계를 쓰면 불확정성 원리에 따라 $$\sigma_x \sigma_p \ge \dfrac\hbar2$$이므로 플랑크 길이 수준의 정확도를 추구하면 필연적으로 운동량의 표준편차의 최솟값이 플랑크 운동량 $$p_{\rm P}$$의 절반이라는 결론이 얻어진다.[4] 소립자 수준에서 이런 오차가 나온다는 것은 터무니없는 수치나 다름없다.
질량이 플랑크 질량인 블랙홀의 슈바르츠실트 반지름은 정확히 플랑크 길이의 2배가 되며, 콤프턴 파장 $$\lambda_{\rm C}$$는 $$\lambda_{\rm C} = 2\pi l_{\rm P}$$라는 관계가 성립한다. 특히 $$\lambda_{\rm C} = \dfrac h{mc}$$를 $$2\pi$$로 나누면 $$\hbar = \dfrac h{2\pi}$$이므로 $$\dfrac{\lambda_{\rm C}}{2\pi} = \dfrac\hbar{mc}$$가 되는데, 마치 $$h$$와 $$\hbar$$의 관계처럼 이를 $$\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C}$$로 나타내며 환산 콤프턴 파장(reduced Compton wavelength)이라고 한다. 유도 항목에서 전술한 것처럼 $$l_{\rm P} = \dfrac\hbar{m_{\rm P}c}$$이므로 '''질량이 $$m_{\rm P}$$인 블랙홀의 환산 콤프턴 파장은 곧 플랑크 길이와 같다'''는 것을 알 수 있다.
[1] 즉 플랑크 길이는 그 자체로 차원#측정학이 $$\sf L$$인 물리 상수이다.[2] 리터와 마찬가지로 $$l$$의 손글씨가 숫자 $$1$$, 로마자 대문자 $$I$$와 혼동되는 것을 피하기 위해 $$\ell_{\rm P}$$로 표기하는 경우도 더러 있다.[3] $$c$$는 광속 불변성에 따라 어느 계에서든 일정한 값이며, $$\hbar$$는 불확정성 원리와 관련된 상수이고, $$G$$는 질량을 가진 모든 물질에 작용하는 만유인력의 비례상수이다.[4] $$\sigma_x = l_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}$$이므로 $$\sigma_p\ge\dfrac\hbar{2l_{\rm P}} = \dfrac\hbar{2\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}} = \dfrac12\sqrt{\dfrac{\hbar c^3}G} = \dfrac12\sqrt{\dfrac{\hbar c}G}c = \dfrac12m_{\rm P}c = \dfrac12p_{\rm P}$$이다. 여기서 $$m_{\rm P}$$는 플랑크 질량이다.