플랑크 단위계
1. 개요
Planck Units
자연 단위계의 일종.
본질적으로 우리 우주의 자연 현상을 서술하는 물리 법칙들 중 근간이 되는 것들에 연관된 상수, 즉 광속 $$c$$, 디랙 상수 $$\hbar$$[1], 중력 상수 $$G$$, 볼츠만 상수 $$k_{\rm B}$$, 쿨롱 상수 $$k_{\rm e}$$의 차원을 분석하여, 기본 단위가 곧 차원 단위가 되도록 재구성된 단위계이다. 이 단위계를 이용하면 결과적으로 여러 물리 공식들에서 전술한 상수들이 $$1$$로 규격화 된 듯한 간단한 식으로 바뀐다.
2. 역사
우리 우주의 물리 법칙을 기술하는 수많은 공식에 쓰이는 물리 상수 중에는 근본적으로 다른 물리량으로 대체될 수 없는 개념의 기본 물리 상수들이 있다. 이를테면 광속 불변성을 지니는 광속 $$c$$나, 파동성을 갖는 입자의 에너지에 관한 비례 상수인 플랑크 상수 $$h$$, 만유인력의 비례 상수인 중력 상수 $$G$$, 진공에서의 유전율 $$\varepsilon_0$$ 및 투자율 $$\mu_0$$ 등이다.
막스 플랑크는 이 중 $$c$$, $$h$$, $$G$$에 주목하였다. 그는 세 상수가 질량 $$\sf M$$, 길이 $$\sf L$$, 시간 $$\sf T$$ 차원#측정학의 조합만으로 구성되어있으면서 서로 독립이라는 점에 주목하고, 어떤 물리학적인 고찰 없이 순수하게 차원 분석만으로 $$\sf M$$, $$\sf L$$, $$\sf T$$만을 각각 갖는 물리 상수를 얻고자 하였다.[2] 실제로 각 물리 상수의 단위 및 차원은 다음과 같다.
직관적으로 $$hc$$의 차원은 $$\sf ML^3T^{-2}$$이므로 이를 $$G$$로 나눈 식 $$\dfrac{hc}G$$은 차원이 $$\sf M^2$$이 된다. 따라서 차원이 $$\sf M$$인 상수는 $$\sqrt{\dfrac{hc}G}$$라 나타낼 수 있다.
마찬가지로 $$\dfrac hc$$는 차원이 $$\sf ML$$이므로 앞서 구한 차원 $$\sf M$$의 상수로 나눈 식 $$\dfrac hc\sqrt{\dfrac G{hc}} = \sqrt{\dfrac{hG}{c^3}}$$은 차원이 $$\sf L$$이 된다. 길이에 관한 상수가 얻어졌으므로 차원이 $$\sf T$$인 상수는 길이를 속도로 나눔으로써 얻어지며 이는 곧 광속으로 나눈 값 즉, $$\sqrt{\dfrac{hG}{c^5}}$$이다. 에너지는 $$E = mc^2$$이므로 위 값들을 조합하면 에너지 상수 $$\sqrt{\dfrac{hc^5}G}$$도 유도할 수 있다.
플랑크는 여기서 한발 더 나아가 온도에 관한 상수도 유도했다. 볼츠만 상수 $$k_{\rm B}$$를 이용하여 에너지를 나타내면 절대온도가 $$T$$라고 할 때 $$E = k_{\rm B}T$$인데 앞서 에너지의 상수가 $$\sqrt{\dfrac{hc^5}G}$$라 하였으므로 이를 볼츠만 상수로 나누면 차원이 $$\sf\Theta$$인 온도의 상수 $$\sqrt{\dfrac{hc^5}{G{k_{\rm B}}^2}}$$가 얻어진다.
여기까지가 플랑크 본인이 제시한 기본 단위계의 규격화에 쓰이는 물리 상수들인데, 오늘날에는 저 플랑크 상수 $$h$$가 디랙 상수 $$\hbar$$로 모조리 대체된 값을 쓴다.[3] 양자역학의 여러 공식과의 관련성을 따졌을 때, $$\hbar$$를 쓰는 것이 좀 더 깔끔하며 자연스럽기 때문이다. 이를테면 불확정성 원리에 따라 슈바르츠실트 반지름 $$r_{\rm S}$$의 오차 $$\Delta r_{\rm S}$$와 반지름 $$r$$의 오차 $$\Delta r$$의 곱의 최솟값은 플랑크 길이 $$l_{\rm P}$$의 제곱, 즉
인데 만약 $$\hbar$$가 아닌 $$h$$를 쓴다면 위 식의 우변이 $$\dfrac{{l_{\rm P}}^2}{2\pi}$$가 되어 식의 형태가 지저분해진다. 디랙 상수를 씀으로써 우변이 플랑크 길이의 제곱이 된다는 것에는 다른 의미도 있는데, '''플랑크 길이가 물리학적으로 측정 가능하고 유의미한 최소 단위'''가 된다는 것이다. $$\hbar = \dfrac h{2\pi\rm\,rad}$$이므로 디랙 상수의 단위는 $$\rm J\!\cdot\!s\!\cdot\!rad^{-1}$$이지만, 라디안이 무차원량이므로 차원 분석상으로도 아무런 영향이 없다. 그리고 오늘날에는 저 네 개의 물리 상수 외에도 기본 전하량 $$e$$도 단위화하여 포함시킨다. 전하에 의한 위치 에너지는 $$E = k_{\rm e}\dfrac{e^2}r = \dfrac1{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{e^2}r$$이므로 $$e^2 = 4\pi\varepsilon_0rE$$에서 $$r = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}$$(플랑크 길이), $$E = \sqrt{\dfrac{\hbar c^5}G}$$(플랑크 에너지)를 대입하고 근호를 씌운 것을 플랑크 전하 $$q_{\rm P} = \sqrt{\hbar c4\pi\varepsilon_0}$$로 정의한다. 기본 전하량 $$e$$를 이용해서 미세구조상수 $$\alpha$$를 $$\alpha=\dfrac{e^2}{\hbar c4\pi\varepsilon_0}$$로 나타낼 수 있으므로 $$q_{\rm P} = \dfrac e{\sqrt\alpha}$$로도 나타낼 수 있다. 어느 경우에서도 다른 네 개의 단위와 달리 중력 상수 $$G$$와 무관한 식으로 표현된다는 것이 특징적이다.
이를 정리하면 플랑크 단위계에서 각 기본 단위는 다음과 같다.
차원#측정학과 비교해보면 양자역학과 그다지 관련성이 깊지 않은 물질량의 차원 $$\sf N$$과 광도의 차원 $$\sf J$$을 제외하고 모두 대응이 되는 것을 알 수 있다.
3. 규격화
$$c$$, $$\hbar$$, $$G$$, $$k_{\rm B}$$, $$k_{\rm e}$$를 플랑크 단위계의 각 기본 단위를 이용하여 나타내면 다음과 같이 된다. $$E_{\rm P}$$는 플랑크 에너지 $$F_{\rm P}$$는 플랑크 힘이며, 분야에 따라 다양한 기호를 도입하여(플랑크 밀도 $$\rho_{\rm P}$$, 플랑크 가속도 $$a_{\rm P}$$ 등) 아래에 나타낸 표보다 훨씬 다양하게 표현할 수 있다.
이제 기존 물리 공식에 대입해보자. 질량-에너지 동등성의 식 $$E = mc^2$$에 $$c^2 = \dfrac{E_{\rm P}}{m_{\rm P}}$$를 대입하면
양변을 $$E_{\rm P}$$로 나누면
이제 에너지와 질량을 규격화하여 $$\dfrac E{E_{\rm P}} = E_{\rm N}$$, $$\dfrac m{m_{\rm P}} = m_{\rm N}$$으로 나타내면 위 식은 다음과 같이 된다.
즉, 마치 원래의 식에서 $$c = 1$$이 된 듯한 식으로 바뀌었다.
빛의 에너지에 관한 식 $$E = h\nu = \dfrac h{2\pi}(2\pi\nu) = \hbar\omega$$에 $$\hbar = E_{\rm P}t_{\rm P}$$를 대입하고 식을 변형한 뒤 마찬가지로 규격화를 하면 $$\hbar = 1$$이 된 듯한 식의 형태가 된다.
다른 예도 살펴보자. 만유인력 역시 위 표의 중력 상수를 대입하고 규격화를 하면 $$G = 1$$이 된 듯한 꼴이 된다.
다른 공식에도 마찬가지로 위 플랑크 단위계 표기를 대입하면 각 상수들이 $$1$$이 된 듯한 식으로 바꿔줄 수 있다. 규격화된 물리량들은 전부 차원이 $$\sf1$$(무차원량)이므로[8] 수식적으로도 아무런 하자가 없다. 이처럼 플랑크 단위계는 기존 물리 공식에 붙어있는 각종 상수들을 없애준다는 점에서 매우 간편한 표기인데, 나중에 실제 값을 대입할 때에는 일일이 환원하는 작업을 거쳐야하는 데다 매우 번거롭기 때문에 구체적인 수치를 요하지 않는 이론 물리학에서 주로 쓰인다. 게다가 저렇게 일일이 규격화 표시를 따로 하지 않는 경우가 다반사라서 이를 잘 모르는 사람들이 보면 갑자기 차원이 다른 물리량들이 같아졌다는 식으로 오해하기 쉽다.
4. 의의
높은 레벨의 상대론적인 양자역학을 다루는 거의 모든 교과서가 플랑크 단위계를 채택하고 있으므로 물리학 공부를 끝까지 따라가다 보면 자연스럽게 습득하게 된다. 일부 이론물리학자들은 한번 쓰기 시작하면 너무 편해서 일반 단위계로 돌아올 수 없다고까지 말하기도 한다.
물론 단점도 있다. 플랑크 단위계를 사용한 계산결과는 별다른 단위 없이 기호와 숫자로만 나오는데, 그게 실제로 몇 쿨롬이냐, 몇 볼트냐, 몇 줄이냐 하는 식의 질문을 하면 꿀먹은 벙어리가 될 수밖에 없다. 실제의 엔지니어링 문제에 대한 답을 주는 데는 별 쓸모가 없는 도구. 그래서 이 단위계가 쓰이는 분야는 한정되어 있다.
다만 이론적인 계산을 다 해 놔도 결국 실험 데이터와 비교는 해 봐야 하기에 보통 쓰는 좌표계(SI 단위계 등)로 도로 바꿀 일이 많다. 일반 좌표계로 환산할 때에는 위의 규격화 과정을 거꾸로 거슬러 올라가면 된다. 즉 $$E \to E_{\rm N} = \dfrac E{E_{\rm P}}$$, $$F \to F_{\rm N} = \dfrac F{F_{\rm P}}$$ 등으로 고친 다음 $$E = \sqrt{\dfrac{\hbar c^5}G}$$, $$F = \dfrac{c^4}G$$ 등 물리 상수로 표현한 식을 대입해주고 식을 정리하면 된다.
5. 예시
몇 개의 유명한 공식들의 플랑크 단위계 및 일반 단위계로 표현한 예는 다음과 같다. 엄밀히는 각 물리량에 규격화를 의미하는 표기가 들어가야 하지만 편의상 생략하였다.
6. 속하는 단위
- 기본 단위
- 유도 단위: 이하는 SI 단위의 유도 단위처럼 기본 단위들의 조합으로 나타낼 수 있는 것들이다.
- 플랑크 에너지 $$E_{\rm P} = \dfrac{m_{\rm P}{l_{\rm P}}^2}{{t_{\rm P}}^2}$$
- 플랑크 힘 $$F_{\rm P} = \dfrac{m_{\rm P}l_{\rm P}}{{t_{\rm P}}^2}$$: 우리 우주에서 존재할 수 있는 힘의 최댓값. 이보다 큰 힘이 작용하는 것은 상정하지 않으며, 보통 일반적인 물리 법칙이 성립하지 않는다고 알려진 블랙홀의 사건의 지평선 내부에 있는 상황으로 해석된다.
- 플랑크 밀도 $$\rho_{\rm P} = \dfrac{m_{\rm P}}{{l_{\rm P}}^3}$$
- 플랑크 일률 $$P_{\rm P} = \dfrac{m_{\rm P}{l_{\rm P}}^2}{{t_{\rm P}}^3}$$
- 플랑크 가속도 $$a_{\rm P} = \dfrac{l_{\rm P}}{{t_{\rm P}}^2}$$
[1] 플랑크 상수 $$h$$에 대해 $$\hbar = \dfrac h{2\pi}$$이며 '에이치 바('h' bar)' 혹은 독일어식으로 '하 크베어('h' quer)'라고 읽는다. 역사 항목을 보면 알 수 있지만 막스 플랑크 본인은 사실 $$h$$를 규격화했었다. 그러나 양자역학과의 관련성을 고려했을 때 $$\hbar$$를 규격화 하는 것이 더 자연스럽기 때문에 후에 디랙 상수를 규격화하는 것으로 수정되었다.[2] 선형대수학에서 서로 다른 세 관계식이 세 개 이하의 독립 변수로 이루어져있으면, 각 변수의 값을 구체적으로 구할 수 있다는 점을 떠올리면 된다.[3] 디랙 상수는 단순히 플랑크 상수를 $$2\pi$$로 나눈 것이라는 관계 외에도, 불확정성 원리에 관련된 상수이므로 우리 우주의 물리 법칙의 근간에 관련된 상수라고 할 만하다.[4] 질량이 $$m$$인 블랙홀은 $$r_{\rm S} = \dfrac{2Gm}{c^2}$$이며 $$l_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}}$$이므로 대입하면 $$\Delta\left(\dfrac{2Gm}{c^2}\right)\Delta r\ge\dfrac{\hbar G}{c^3}$$이 된다. 양변에 공통된 상수를 제거하고 적절히 식을 정리하면 $$\Delta(mc)\Delta r = \Delta p\Delta r\ge\dfrac\hbar2$$가 되고 이는 정확하게 불확정성 원리의 식과 똑같다.[5] 종종 $$\sf Q$$로 표현되기도 한다.[6] 만유인력의 법칙 $$F = G\dfrac{Mm}{r^2}$$에 각 기본 단위를 대입해서 유도된다.[7] 정전기력 $$F = k_{\rm e}\dfrac{q_1q_2}{r^2}$$에 각 기본 단위를 대입해서 유도된다.[8] 이를테면 $$E_{\rm N} = \dfrac E{E_{\rm P}}$$로서 에너지의 비이기 때문에 차원이 모두 약분되어 $$\sf1$$이 된다.