플랑크 질량

1. 개요

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Planck mass
플랑크 단위의 일종. 광속 $$c$$, 디랙 상수 $$\hbar$$, 중력 상수 $$G$$를 이용하여 차원 분석을 통해, 질량 단위가 곧 차원 단위가 되도록[1] 인위적으로 조합된 질량이다. $$m_{\rm P}$$로 나타내며[2] 관계식 및 구체적인 값은 다음과 같다.

$$\begin{aligned} m_{\rm P} = \sqrt{\dfrac{\hbar c}G} &= 2.176\,434(24)\times10^{-8}\rm\,kg \\ &= 1.220\,890(14)\times10^{19}{\rm\,GeV}/c^2\end{aligned}$$

2. 유도

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$$c$$, $$\hbar$$, $$G$$의 단위 및 차원은 다음과 같다.

'''물리 상수'''	'''단위 SI 기본 단위 표기'''	'''차원'''
$$c$$	$$\rm m\!\cdot\!s^{-1}$$	$$\sf LT^{-1}$$
$$\hbar$$	$$\begin{matrix}\rm J\!\cdot\!s\!\cdot\!rad^{-1} \\ \begin{aligned}&= \rm(kg\!\cdot\!m^2s^{-2})\!\cdot\!s\!\cdot\!rad^{-1} \\&=\rm kg\!\cdot\!m^2s^{-1}rad^{-1}\end{aligned}\end{matrix}$$	$$\sf ML^2T^{-1}$$
$$G$$	$$\begin{matrix}\rm N\!\cdot\!m^2kg^{-2} \\ \begin{aligned}&= \rm(kg\!\cdot\!m\!\cdot\!s^{-2})m^2kg^{-2} \\&=\rm kg^{-1}m^3s^{-2}\end{aligned}\end{matrix}$$	$$\sf M^{-1}L^3T^{-2}$$

위 상수들을 조합해서 계산해보면 $$\dfrac{\hbar c}G$$의 차원이 $$\sf M^2$$이 됨을 쉽게 알 수 있다. 플랑크 질량 $$m_{\rm P}$$는 이 식에 근호를 씌운 값 $$\sqrt{\dfrac{\hbar c}G}$$로 정의된다.

3. 상세

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밀리그램으로 환산하면 약 $$0.02\rm\,mg$$이다. [3]
천문학에서는 플랑크 길이 $$l_{\rm P}$$, 슈바르츠실트 반지름 $$r_{\rm S}$$와 더불어 중요한 물리 상수로 간주되는데, 블랙홀의 질량 $$m$$에 대해 $$r_{\rm S} = \dfrac{2Gm}{c^2}$$이므로 $$m=m_{\rm P}$$일 경우,

$$r_{\rm S} = \dfrac{2Gm_{\rm P}}{c^2} = \dfrac{2G}{c^2}\sqrt{\dfrac{\hbar c}G} = 2\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = 2l_{\rm P}$$

즉 플랑크 길이의 2배가 슈바르츠실트 반지름이 되기 때문이다. 나아가 콤프턴 파장 $$\lambda_{\rm C}$$는 $$\lambda_{\rm C} = \dfrac h{mc}$$이므로 $$m=m_{\rm P}$$인 블랙홀의 $$\lambda_{\rm C}$$는

$$\lambda_{\rm C} = \dfrac h{m_{\rm P}c} = \dfrac{2\pi\hbar}{\sqrt{\dfrac{\hbar c}G}c} = 2\pi\sqrt{\dfrac{\hbar G}{c^3}} = 2\pi l_{\rm P}$$

즉 플랑크 길이의 $$2\pi$$배가 된다. 여담으로 플랑크 상수 $$h$$와 디랙 상수(환산 플랑크 상수) $$\hbar$$의 관계처럼 $$\;\bar{}\!\!\!\:\lambda_{\rm C} = \dfrac{\lambda_{\rm C}}{2\pi} = \dfrac1{2\pi}\dfrac h{mc} = \dfrac{\hbar}{mc}$$를 환산 콤프턴 파장(reduced Compton wavelength)이라고 하며, 위 결과를 바꿔 말하자면 질량이 플랑크 질량인 블랙홀에서는 '''환산 콤프턴 파장 = 플랑크 길이'''라는 결론이 나온다.

[1] 즉 플랑크 질량은 그 자체로 차원#측정학이 $$\sf M$$인 물리 상수이다.

[2] 양성자의 정지 질량을 나타내는 $$m_{\rm p}$$와의 혼동에 주의. 이쪽은 아래첨자가 소문자($$\rm p$$)다.

[3] 실제로 비타민D의 일일 권장량이 0.5 플랑크 질량 정도이다.