흑체복사
1. 개요
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黑體輻射, black body radiation
흑체에서 온도에 따라 빛이 나오는 현상. 방출량은 절대온도의 네제곱에 비례하며, 온도가 높아질수록 평균적으로 더 높은 진동수의 빛을 방출한다.
2. 배경
19세기 말 독일은 알자스-로렌 지방에서 제철공업을 일으켰다. 철광석을 코크스 등으로 연소시켜서 고온으로 만들 때 그 빛깔로 온도를 파악하려 했다. 붉은색보다 파란색일 때 온도가 더 높다는 것은 경험적으로는 알았지만, 빛깔과 온도와의 관계에 대해 이론 설명이 필요해졌다.
3. 레일리-진스 법칙
레일리는 흑체복사를 고전적인 관점에서 연구하여, 흑체 속의 전자가 무질서한 운동을 하고 있지만 결국 진공 속의 전자기파와 마찬가지로 취급한다. 즉 흑체 양끝을 마디로 하는 정상파라고 하면 이때 어떤 속이 빈 물체 안에서 수없이 여러 번 반사되어 기벽과 열적 평형을 이룬 복사선이 바늘 구멍으로 나온다라고 이상적인 물체를 가정했는데, 이것을 흑체라고 한다.
$$ \displaystyle \lambda = 2L, L, 2L/3, L/2, 2L/5, L/3 ... $$
이 된다.
진동수 $$ \nu=\dfrac{c}{\lambda} $$에 적용하면
$$ \nu=\dfrac{c}{2L}n (n=1,2,3...) $$ 과 같이 쓸 수 있다.
$$ \nu $$보다 작은 상태수는
$$\displaystyle G(\nu)=\frac{4}{3}\pi(\frac{c}{2L})^3\nu^3 $$
이고
$$ \nu $$ 와 $$ \nu+d\nu $$ 의 사이에 있는 상태수는
$$\displaystyle g(\nu)d\nu=\frac{dG}{d\nu}d\nu=4\pi(\frac{c}{2L})^3\nu^2d\nu $$
가 된다.
따라서 상태밀도 $$ \displaystyle g(\nu)=4\pi(\frac{c}{2L})^3\nu^2$$ 가 된다.
에너지 등분배 법칙에 따라 하나의 진동은 평균적 의미로 $$ kT $$의 에너지를 갖는다. 따라서 $$ E(\nu) $$는 $$g(\nu)$$에 $$ kT$$를 곱한 것이고 $$ \displaystyle E(\nu)=4\pi(\frac{c}{2L})^3\nu^2kT$$ 와 같이 나타 낼 수 있다.
이 설명은 불행하게도 낮은 진동수에서는 맞지만 도리어 높은 진동수에서는 전혀 맞지 않는다. 이 이론에 따르자면 자외선이나 x선으로 가득찬 어둠 속에서도 물체가 밝게 보여야 하는 것이다[1]. 이 터무니 없는 결과를 자외선 파탄이라고 부른다. 이 식이 잘못되었다는 것은 에너지 밀도를 적분해 봐도 알 수 있다.
$$ \displaystyle E=\int_{0}^{\infty} E(\nu)\, d\nu \rightarrow \infty $$
4. 빈의 변위 법칙
여기서 $$ \lambda_{max} $$ 는 파장에 대한 에너지 밀도식에서 에너지 밀도가 최대가 되는 지점을 말한다.$$ \lambda_{max}=\dfrac{2.898\times 10^{-3}\, m\cdot K}{T} $$
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이 도표를 보면 온도가 낮으면 파장이 긴 적외선이나 붉은 빛이 많이 나오고 온도가 높으면 파장이 짧은 파란색이나 자외선이 많이 나오는 걸 알 수 있다. 더욱 온도가 높아지면 최대 피크가 가시광선 영역을 크게 벗어나 자외선 영역이 되기 때문에 가시광 영역만 보면 붉은 색 성분이나 파란색 성분의 차이가 적어져서 시각적으로는 하얀색으로 보이게 된다. 더욱 고온이 되면 자외선 영역도 넘어 X선이나 감마선을 내게되고 반대로 온도가 낮으면 마이크로 파 밀리미터 파 등 전파의 영역의 최대 파장이 나온다. 우주 배경복사는 저온에서 이런 전파가 나오는 것. 태양의 표면온도는 6000도 정도이고 파장으론 455~500 nm 정도가 가장 강한 피크를 이룬다. 피크의 절반의 세기가 되는 파장은 각각 350 nm 와 840 nm 정도이다.
이 법칙은 빈의 변위 법칙이라 불리며 고온 물체의 색으로부터 그 온도를 추정하는 실용적인 목적으로 매우 많이 쓰인다. 달아오른 금속이나 불꽃의 온도 측정, 태양이나 먼 별의 표면 온도추정 같은 고온 온도 측정에도 널리 쓰이고 적외선 카메라 등을 이용해 체온 정도의 낮은 온도도 측정가능하다.
5. 막스 플랑크 법칙
플랑크는 기존 빈의 법칙을 아래와 같이 변형하였다.
$$ \displaystyle{\frac{d^2 S}{dU^2}=\frac{\mathsf{const.}}{U}}$$
(단, S는 엔트로피이다.)
그는 실험값과 이론값의 간극을 해결하기 위해서 위 식을 살짝 수정해 아래의 식을 얻었다.
$$ \displaystyle{\frac{d^2 S}{dU^2}=\frac{\mathsf{const.}}{U(\beta +U)}}$$
이러한 가정을 통해 그는 아래의 결과를 얻었다.
$$ E = \displaystyle{\frac{C\lambda^{-5}}{e^{\frac{c}{\lambda T}} - 1}} $$[2]
그런데, 이렇게 변형된 엔트로피에서 플랑크는 통계역학과의 유사점을 찾고, 각 에너지 진동자가 진동수의 정수배 [3] 만큼의 에너지를 가진다고 주장하였다.[4] 즉, $$E=nh\nu $$ 라는 가설을 얻은 것이다. 이를 플랑크의 양자가설(Quantum hypothesis)라고 부른다. 이 양자가설을 사용하면 새로운 유도과정을[5] 얻을 수 있다.
통계역학에서 어떤 에너지 상태에 있을 확률은 $$ e^{-\frac{E}{kT}} $$에 비례한다.
이때, 어떤 기본에너지 양자를 하나 생각하고 두 사실을 종합하여 확률밀도함수 $$P(E)$$ 는 다음과 같이 쓸 수 있다.
$$ \displaystyle{P(E)=P(nh\nu)=Ae^{-\frac{E}{kT}}} $$ (단, A는 어떠한 상수이다)
따라서 진동수가$$\nu$$일 때의 에너지 평균값과, 그 계산 결과는[6] 아래와 같다.
$$\displaystyle \left\langle E\right\rangle =\sum_{n=1}^{\infty} E\cdot P(E)=\left( \sum_{n=1}^{\infty} nh\nu e^{-\frac{nh\nu }{kT}}\right) /\left({\sum_{n=1}^{\infty} e^{-\frac{nh\nu }{kT}}}\right) $$[7] $$ =\displaystyle{\frac{h\nu }{e^{\frac{h\nu }{kT} -1}}}$$
여기에 단위체적당 방식 밀도 $$g(\nu)d\nu=8\pi{{\nu^2}\over{c^3}}d\nu $$를 곱하면 에너지 밀도에 관한 플랑크 법칙
$$ \displaystyle{u(\nu)=\frac{8\pi h}{c^3}{{\nu^3}\over{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}}d\nu} $$ 를 얻는다.
이 결과는 올바르지만, 공식 유도에 결함이 내포되어 있다고 한다.[8] 사실 오늘날에는 광자의 스핀이 1이므로 보스-아인슈타인 분포에 대입해서 아래와 같이 간단하게 구할 수 있다.
$$ u(\lambda )=\displaystyle{\frac{2\pi c^2 h}{\lambda ^5 } \frac{1}{e^{\frac{hc}{\lambda kT} }-1}} $$[9]
이 법칙이 또 중요한 것은, 이 법칙으로 빛이 순수한 '파동'이 아닌 '입자', 즉 양자의 성격을 띄고 있음을 강하게 시사하였기 때문이다. 이로 인해양자라는 개념이 본격적으로 등장하기 시작하였고, 이후 양자역학이 등장하는 계기 중 하나가 되었다.
6. 슈테판-볼츠만 법칙
1884년 오스트리아의 루트비히 볼츠만이 1879년 슬로베니아 출신의 요제프 슈테판이 실험한 흑체복사 실험 데이터를 근거로 다음과 같이 유도한다.
공동 속의 에너지 밀도 u는 에너지 밀도를 모든 진동수에 대해 적분하여 얻을 수 있다. 여기서의 에너지 밀도함수는 막스 플랑크 법칙에 의해 주어진다.
$$\begin{aligned} u&=\int_{0}^{\infty} u(\nu)d\nu \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &=\int_{0}^{\infty}\frac{8\pi h\nu^3}{c^3}\cdot\frac{1}{e^{\frac{h\nu}{kT}}-1}d\nu \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} &=\frac{8\pi^5k^4}{15c^3h^3}T^4 =\sigma T^4 \end{aligned}$$
여기서 $$\sigma$$ 는 보편적인 상수이다. 총 에너지 밀도는 동공 벽의 절대온도의 4제곱에 비례한다. 그러므로, 어떤 물체가 단위 시간당, 단위 면적당 복사하는 에너지 R 역시 $$T^4$$에 비례한다고 기대할 수 있을 것이다. 이를 슈테판-볼츠만 법칙이라고 한다.
7. 여담
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[1] 잘못된 서술이다. 에너지가 진동수의 제곱에 비례하게 되므로 높은 진동수인 빛의 에너지가 무한대로 커지는 것이 문제이다. 즉 아무리 온도가 낮은 물체라도 높은 진동수에서는 무한대의 에너지를 뿜어낸다는 것이다. 쉽게 말하면 X-선, 감마선등이 무한대로 뿜어져 나온다는 것.[2] 1900년 10월 9일[3] 정확히는 (정수)*(플랑크 상수) 배[4] 1900년 12월 14일[5] 일반적으로 알려진 유도과정[6] 등비급수의 합과, 등비급수에 x를 대입하고 미분한 식을 이용하면 된다.[7] 뒤의 나누는 부분은 확률이 총합이 1이라는 것으로부터 A를 구하였을때 나오는 값이다.[8] https://ko.wikipedia.org/wiki/%ED%9D%91%EC%B2%B4#%EC%8A%88%ED%85%8C%ED%8C%90_-_%EB%B3%BC%EC%B8%A0%EB%A7%8C_%EB%B2%95%EC%B9%99 에서 다른 유도과정과 그 이유를 볼 수 있다.[9] 변수만 바뀌었을 뿐 동일한 식이다.