2007 개정 교육과정/고등학교/수학과
1. 개요
7차 교육과정의 부분 개정이며 제대로 시행되기도 전에 2009 개정 교육과정으로 바뀌었다. [1]
2. 상세
2007 개정 교육과정은 지금까지의 교육과정과 달리 처음으로 수시개정 교육과정이라는 타이틀이 붙었다. 즉 원래 차수대로라면 8차 교육과정이 되어야 했지만 7차 교육과정의 큰 틀을 유지한 채로 몇년에 한 번씩 교육과정이 개정되는 체제로 변하면서 이제는 연도별 교육과정이라는 이름이 붙게 된다. 이 시기의 교육과정은 7차 교육과정 초기와 2009 개정 교육과정 사이의 과도기적 성격이 있었다.
그런데 이 교육과정은 시행도 되기 전에 폐기된다. 해당 교육과정이 만들어진 정부가 바로 참여정부 말기였기 때문이다. 시행의 적용연도가 2009년부터였으나 정권교체로 집권한 이명박 정부에서는 해당 교육과정을 폐기하고 2009 개정 교육과정을 만들게 된다. 그래서 일단 만들어진 책들의 경우 2009 개정 교육과정의 교과편제를 따르면서 2007 개정 교육과정에서 검정을 받은 내용을 교과서로 만들게 된다.
대표적으로 세계사의 경우 세계 역사의 이해라는 과목으로 2007 개정 교육과정에서 만들어졌으나 2009 개정 교육과정에서 다시 세계사로 변하게 되었고, 결국 세계사 교과서로 나오게 된다.
역사과목의 경우 2007 개정 교육과정에 의하면 7~9학년 즉 중학교 단계에서 전근대사 위주의 역사 1, 2를 배우게 되고, 10학년 즉 고등학교 1학년 단계에서 근현대사 위주의 역사를 배우게 되었으나, 2009 개정 교육과정으로 변하면서 고등학교에서 한국사 과목이 신설되었고, 이 한국사 과목의 편재를 우선적으로 고등학교 10학년 역사과에 맞추게 되어서 2009 개정 교육과정에서는 근현대사 위주의 한국사 과목이 이루어졌었다. 그러다 2011 개정 교육과정을 통해 전근대사와 근현대사 시수가 3:3으로 정리가 되었다.
초등학교에서는 2009년과 2010년의 1,2학년이, 2010년과 2011년의 3,4학년이, 2011년과 2012년의 5,6학년이 배운 뒤 2009 개정 교육과정으로 대체되었다. 중학교에서는 2009년에 수학과와 영어과에 적용되기 시작했고, 2010년부터 모든 과목에 적용되었으며, 2011년에는 총론과 사회과가 2009 과정으로 바뀌었고, 2013년부터는 모든 과목이 2009 과정으로 대체되었다. 고등학교의 경우 총론/체육·예술 영역/생활·교양 영역은 2011년부터 2013년까지, 수학과는 2009년부터 2013년까지, 영어과는 2009년부터 2012년까지 쓰였고, 국어과와 탐구 영역에서는 적용되지 못했다.[2]
2012학년도 대학수학능력시험이 2007 개정 교육과정으로 처음 실시되었다.
3. 수학
2007 개정 교육과정의 큰 특징은 수학 과목이 개정되었다는 점이다. 먼저 7차 교육과정 초기에는 인문계 학생들에게 없었던 미적분이 추가되었다.
3.1. 수학 I
지수함수와 로그함수, 수열의 극한에서 응시자 간 점수 차이가 확 난다. 이 동네는 개념을 하나라도 잘못 잡으면 그대로 망했어요이다.
지수함수와 로그함수는 주로 그래프를 써먹는 부분이나 상용로그의 지표, 가수를 이용하는 문제에서 중-고난도로 출제될 수 있다. 난이도는 내기에 따라 가장 쉬운 2점짜리 계산문제, 3점짜리 대입문제부터 극악한 4점까지 천차만별로 낼 수 있는 파트이다. 참고로 여기에서 2012 수능 공통 30번에 정답률 5% 짜리 문제가 지수함수로 출제됐던 적이 있다. 그래도 문제들이 다 비슷하기 때문에 이 구간은 무난하게 보낼 수 있다. 다만 수리 나형의 경우, 30번 문제가 이 구간에서 많이 나온다. 지수함수나 로그함수의 그래프와 범위 등을 알려주고 그 안에 있는 정수점들을 모두 세는 격자점 문제들. 그런데 사실 이런 문제들은 지수함수나 로그함수 자체보다는 그 안의 격자점들을 어떤 방법으로 규칙성을 찾아서 셀 것인가가 더 중요하다.
극한은 1학년 수학과 연계되어 문제가 나오기 때문. 맨날 나오는 것이 삼각함수, 원이나 닮음 등인데 사실 수포자 빼고 고3 수준이라면 당연히 어떻게 구하는지, 특징이 뭔지 알고 있는 것들이다. 모른다면 정말 망했어요.[3]
수1에서 수열과 같이 어려운 문제로 손꼽히는 행렬 ㄱㄴㄷ 문제가 자주 나온다. 반례만 찾는 문제라면 쉽겠지만 직접 증명해야 하는 문제이면 손 떼고 멍하니 있을 수도 있으니 조심. ㄱㄴㄷ대신 4점짜리 계산문제로 출제될 수도 있다.[4] 다만 ㄱㄴㄷ 문제는 많이 풀면 또 비슷하기 때문에 외우고 익숙해지는 것이 중요하다,
수열단원은 가장 꼬아서 내기 쉬운 파트로 확률과 통계처럼 문제가 쉬우면 쉬운데 난이도가 올라가면 끝도 없이 올라간다. 수1에서 행렬과 다르게 이 곳은 응용을 해야 하는 구간이 많이 때문에 가장 어렵게 여겨진다.
수열단원에서 개념을 고루 섞어서 내는 증명 완성형문제 역시 자주 등장한다. 복잡한 식의 증명과정을 빈칸을 뚫어 제시한 후 빈칸에 들어갈 식을 함수로 나타내어 특정 값을 구하는 유형이다. 이 유형의 문제는 대개 매우 복잡하고 긴 문제가 많으므로 제시된 식을 이해하려 하지 말고 이용하고 변형하는데 집중하여 문제를 해결해야한다.
그리고 연례행사로 나와주시는 도형+무한급수가 있다. 대부분 '초항 and 공비=답' 이지만 가끔씩 점화식 문제로도 나올 때가 있다.다만 점화식은 너무 어렵기 때문에 낸 사람이 욕 먹어서 요즘에는 잘 나오지 않는다. 이 문제는 길이가 길고 아름다운 경우가 많다. 문제를 다 읽으면 시간이 많이 낭비되니 적당히 규칙만 찾고 바로 정답을 구하자.[5](2012학년도 9월 모의수능 수리가형과 2015학년도 수능에서는 출제되지 않았다.) 다음 그림은 그 예. 그 유명한 눈깔그림이다.[정답]
[image]
3.2. 미적분과 통계 기본 / 적분과 통계
순열과 조합, 확률에서 응시자 간 점수 차이가 확 난다. 이 동네는 개념이 그렇게 많은 부분이 아니다.
순열과 조합은 일반적으로 개인차가 큰 단원인데 그 해 나오는 문제의 난이도와 풀이방법은 엿장수 맘대로다. 쉬울 때는 정말 쉽고 어려울 때는 대비가 소용없다. 다른 단원 다 잘해도 이 단원만 못하는 학생들도 존재하고, 다른 곳은 못하는데 이 곳은 잘 푸는 경우가 있다. 대체적으로 동의하는 해결법은 유형을 많이 접하고 자주 문제를 풀어보는 것. 이 곳도 기벡과 마찬가지로 '''중학교 수학의 응용'''이라고 생각하면 될 정도로 중학교 경우의 수 문제 심화나 경시문제를 풀어보는 것도 좋은 방법이다.
통계는 거저 주는 문제들이 많다.[6] 그러나 단원 끝 부분에 있기 때문에 여기까지 진도를 나가지 못하고 수능 공부를 치는 학생들도 굉장히 많다. 하지만 통계 문제들은 꼬아서 내는 문제가 거의 없고 그냥 개념을 확실하게 익히면 무조건 맞출 수 있는 문제이므로 필히 공부해야한다.
2010년 9월 모평의 경우 수리 가, 나 공통문제로 최악의 정답률을 기록한 문제가 확률 단원의 문제였다. 그냥 사건/확률이라 확률 단원이지 사실 경우의 수, 순열, 조합 쪽을 써야 하는데 너무 어려워서 문이과 모두 최악의 정답률을 보여줬다. 가형의 경우 특히나 다른 문제도 어렵게 나왔는데 이거마저 어려워서...
3.3. 수학 II
전체적 흐름을 가지고 있으며 종결점은 미분이다. 방정식과 부등식, 삼각함수, 함수의 극한들이 결국 모두 미분을 하기 위한 도구일 뿐이다. 따라서 수학 II에서 가장 중요한 파트는 미분이다.
1단원 방정식과 부등식 파트는 쉬엄쉬엄 학기초에 할만한 단원으로, 매우쉽기 때문에 학생들이 큰 어려움을 느끼지는 않는다. 이 단원에서는 무연근을 항상 염두해 두고 풀어야 하며 그것만 잘 해결할경우 다 맞춘다. 요즘은 방정식을 직접 주지 않고 그래프를 이용해서 문제를 내는데 이때도 역시 무연근만 조심하면 된다.
2단원 삼각함수 파트는 암기가 필요하다. 기본적인 덧셈정리, 2배각 공식, 반각공식등은 필히 외워야한다. 다만 곱을 합으로, 합을 곱으로 바꾸는 공식은 수능에서 쓸일이 없으므로 재수생이라면 패스해도 된다.[7] 합을 곱으로 바꾸는 공식을 써야만 할 것 같은 문제도 전부 덧셈정리, 2배각, 반각공식으로 풀리게끔 출제된다.[8][9] 공부할때는 덧셈정리로부터 2배각, 반각공식을 유도하는 과정을 한번쯤은 적어보며 공부하면 훨씬 도움이 된다. 이 파트에서 4점짜리가 나오더라도 단독적으로 어려운 문제가 나오는 경우는 드물고 3단원 함수의 극한과 연계하여 도형에서의 삼각함수 극한문제가 단골로 출제되고있다.
3단원 함수의 극한 파트는 기본적인 개념을 이해하고 문제를 풀면서 연습을 하는게 중요하다. 사실 이 개념이 이해하는데 큰 어려움은 없지만 막상 문제에서 적용하기 난감한 경우들이 많다. 이때는 다양한 문제를 풀어서 경험을 쌓으면 쉽게 해결된다. 단순 계산문제는 30문제만 풀어봐도 마스터 할 수 있다. 함수의 연속성 역시 중요하다. 이 문제는 실수를 하지 않는 것이 중요하다. 전술한 삼각함수와의 연계문제, 도형에서 θ가 주어지고 S(θ)의 극한값을 구하라 등의 패턴으로, 쉬우면 3점짜리, 주로 20, 27,28번 중 하나로 나오지만 난이도가 높게 출제되면 '''객관식 최고난도 21번 문제나 주관식 준최고난도 29번의 위치에 오를 정도의 위엄을 보인다.'''[10] 이러한 유형의 문제는 주어진 θ를 이용해서 도형의 변, 호의길이, 각도등을 모조리 θ로 표시한 뒤 문제를 해결해야 한다. 이 과정에서 중학도형, 고등수학에 해당하는 내용이 꽤 등장한다.
4단원 미분 파트. 처음에 극한을 통해 미분계수를 정의하는 것을 잘 익혀두어야 한다. 이 파트는 특히 학생들 사이에서 로피탈의 정리를 이용한 꼼수가 만연해 있는데, 잘못 쓰면 피보는 방법이다. 게다가 최근에는 교수님들이 로피탈의 정리가 먹히지 않도록 꼬아서 출제하는 경우가 빈번해졌다. 미분을 이용하여 함수의 그래프의 개형을 파악하는 문제가 자주 출제된다. 그래프의 개형을 파악하기 위해서는 우극한, 좌극한, 극소, 극대, 변곡점을 알아야 한다. 이 과정에 도함수, 이계도함수를 이용하여 문제를 해결한다. 방정식의 근의 개수를 도함수를 통해 판별하는 것, 시각에 따른 변화율에서는 변화율을 t로 나타내어 미분하고, 각도 θ는 t로 나타내기 어려운 경우가 많으므로 cosθ, sinθ등으로 나타내어 풀면 된다.
최근에는 최대, 최소의 정리를 사용하여 극대, 극소일 때 함수의 미분값이 0이란걸 이용하거나, 곡선의 접선과 미분을 다양하게 활용하는 부분에서 고난도로 출제되므로 주의해야한다.
사실 미분에서 나오는 문제는 딱 두 가지 - 정의를 확실히 알고있는지를 확인하는 문제와 그래프 그리는 문제 - 뿐이다.
최대최소 문제 역시 그래프 그리는 문제의 단편이다.
3.4. 기하와 벡터
이과 수학에서 1등급을 판가름내는 문제가 주로 출제되는 범위이다. 그만큼 내용들의 기본적인 난이도도 높고, 특히, 공간좌표와 정사영, 벡터 3가지가 합쳐지면 그야말로 손도 못대는 막강한 문제가 탄생해버린다.
난이도를 말하자면 1단원인 일차변환에서는 그야말로 행렬 복습하는 시간이다. 빨리 학습하고 넘어가자.
2단원인 이차곡선은 처음에는 마구 쏟아지는 공식에 모두들 ㅎㄷㄷ하지만 정의를 제대로 이해하고 공식 활용하는데 익숙해지면 별거 없다. 하지만 정의를 정말 오묘하게 활용해야 하고, 기본적으로 계산이 더럽게 많기 때문에 짜증유발이 쉬운 단원이다. 보통 3점짜리 1문제, 4점짜리 1문제 출제.
3단원인 공간도형과 공간좌표부터는 난이도가 급상승하기 시작하는데, 좌표평면에서 좌표공간으로 개념을 확장하는 것이 생각보다 어려울 것이다. 그리고 무엇보다도 공간도형을 어떻게 다룰줄 몰라서 쩔쩔매는 일이 많다. 하지만 반드시 공간에 익숙해져야만 할 것이다. 그렇지 않으면 앞으로 나오는 '''정사영, 공간좌표, 벡터를 손도 못 댄다.''' 좌표문제는 2점짜리에서 많이 출제된다.
4단원은 그야말로 기벡의 정점을 찍는 벡터. 벡터의 기본적인 덧셈, 뺄셈, 실수배 등은 제대로 이해하면 금방 익힐 수 있지만, 문제는 내분/외분점의 위치벡터와 내적. 내분/외분점을 꼬아놓는 벡터문제는 수능에서는 잘 안나오는 유형이지만 그렇다고 안해 놓으면 벡터의 활용에 있어서 애를 먹게 되니 익혀두는게 좋다. 오히려 수능에선 내적 등을 이용한 최대/최소 문제가 더 잘 나오는 편. 그리고 마지막으로 나오는 직선과 평면의 방정식은 사실 공간좌표만 배운 상태에서는 표현하기가 매우 골때려서 벡터에 집어놓은 것이다. 벡터의 내적관련 문제에 비하면 쉬운 편이지만 구나 타원같은 다른 도형들과 연계하여 나오게 되면 진짜 골때리는 문제가 나올 수도 있으니 열심히 해두자. 공간도형과 마찬가지로 단원별로 2문제씩 내기 때문에 킬러 4점짜리도 있지만 2점(2,3번), 3점짜리 단순 계산문제 혹은 쉬운 4점짜리(14~15번, 26번 정도) 1문제 출제한다.
이 문서를 보고 있는 이과생에게 이 부분에 대한 팁을 알려주자면 벡터는 꼭 분해해서 생각하는 것이 해법 발견에 굉장한 단서를 준다. 평소 공부할 때 적용해서 풀이해보도록 하자. 아울러 외적 안 나온다, 필요없다 하는데 외적 계산법 사용은 시간 단축에 아주 필수적이다.
한 가지 예로, 벡터의 외적에서 axb=|a||b|sinx 이런 공식이 나오는데, 이것은 평행사변형 넓이 공식이랑 똑같다. 이를 통해 두 벡터를 외적한 벡터의 크기는 두 벡터로 이루어진 평행사변형의 넓이와 같다는 사실을 확인할 수 있다. 외적의 성분은 여인수를 전개하는 행렬식을 사용하면 구할 수 있다.
또한 공간도형 파트에서는 항상 단면으로 바라보는 습관을 갖도록 하자.
이 부분에서 가장 좋은 방법은 '''단지 중학교 수학 응용문제라고 생각하고 하면 매우 쉬워진다.''' 그러기 위해서는 중학교 때의 기하 문제의 심화문제, 경시문제들을 많이 풀어보고 나면 매우 수월해지기 때문에 중학교 내용 학습은 무조건 필수다.
[1] 예를 들어, 수학·영어를 제외하고, 고등학교 신입생에게 2007 교육과정이 적용된 것은 2011년 3월 1일부터인데, 2009 과정이 적용되기 시작한 것도 2011년 3월 1일이다. [2] 사실 수학과 영어의 경우, 개정 전인 이미 2006년에 미리 개정되었기 때문에 시행할 수 있었다.[3] 하지만 이과생이라면 이쪽 극한이 문제가 아니라 수학2에 있는 도형+초월함수+극한이 문제다. 여기서는 진짜로 극한의 문제를 볼 수 있다.[4] 2010학년도 수능(가형), 2012학년도 9월, 2014학년도 6월, 2016학년도 6월[5] 하지만 적어도 구하고자 하는 값을 유심히 보도록 하자. 첫째항을 빼고 구하라는 값도 나올 수 있기 때문이다. 아직은 저런 트릭을 평가원이 부리진 않았지만...[정답] ④ $$9(\sqrt{2} + 1$$)[6] 초기에 통계가 도입되었을때는 쉽게 나오는 추세였으나 연도가 흐르면서 점점 어려워지고있다. 아직은 다른 파트의 킬러문제보다는 쉽게 나오지만 16,17학년도 수험생이라면 통계 킬러문제의 첫 희생자가 될 가능성은 충분히 있다. 1,2등급을 목표로 한다면 통계 고난도 문제도 대비하자.[7] 유명 강사 삽자루가 공인한 내용으로 출제될경우 은퇴하겠다고 한다.[8] 사설 모의고사는 해당되지 않는다.[9] 사실 엄밀히 말하면 곱-합 공식 자체가 덧셈정리의 응용이다.[10] 실제로 2013학년도 가형에서는 29번으로 출제되었고 정답률도 20%였다.