각운동량
1. 개요
SI 단위 || $$\mathrm{kg \cdot m^2 \cdot s^{-1}}$$ ||
角運動量 / angular momentum각운동량은 운동량을 회전 운동에 적용한 것으로, 물체의 현재 운동#s-2 상태를 나타내는 벡터량이다.
2. 정의
각운동량 L은 물체의 운동량이 p일때 기준점으로부터의 위치 r에 의해 $$\vec{ L } = \vec{ r } \times \vec{ p }$$로 정의된다.
$$\vec{p} = m \vec{v}$$이므로 $$\vec{ L } = m \vec{ r } \times \vec{ v }$$ 로 나타낼 수도 있다.
원운동의 경우로 한정시키면 $$\vec{ L } = I \vec{ \omega }$$ 로 각속도로 표현할 수 있다.
뉴턴 방정식 F=ma 에서 기준점에 대한 위치 r을 외적하면 토크와 각운동량에 대한 식을 얻을 수 있다.
$$\displaystyle \vec{ \tau } = {d \vec{ L } \over dt}$$
적분으로 나타내면 다음과 같다.
$$\displaystyle \Delta \vec{ L }= \int _t \vec{ \tau } dt $$
회전운동에서 오른손 엄지손가락을 각운동량의 방향에 두고 나머지 손가락을 말면, 나머지 손가락들이 말리는 방향이 회전의 방향이다.3. 각운동량 보존 법칙
선운동량과 비슷하다. 어떤 물체가 회전하고 있을 때, 외부에서 가해지는 힘으로 발생하는 토크의 합이 0인 경우, 한 물체의 각운동량은 보존된다.
참고로 각운동량 보존법칙으로 케플러 법칙의 '면적 속도 일정의 법칙'을 설명할 수 있다.
쉽게 말해 운동량 보존 법칙이 질량과 속도의 곱이 일정한 것 처럼, 각운동량 보존 법칙은 관성 모멘트와 각속도의 곱이 일정함을 말한다.[1] 실제 물리학을 가르치는 현장에서는 피겨선수 김연아가 워낙 저명인사라서 김연아에 빗대 비유를 많이 한다. 예를 들어 김연아가 피겨스케이팅 공연 도중에 팔을 뻗고 회전을 하다가 팔을 오므리면서 회전속도가 빨라지는 현상으로 설명하는 것이다. 이는 팔을 오므리면서 김연아의 관성모멘트가 줄어드는 대신 관성모멘트와 각속도의 곱은 일정하므로 각속도(회전속도)가 빨라지는 원리이다.
[1] 정확히는 아니다. L(각운동량,벡터) = r(위치벡터) X p(운동량 벡터)가 일정함을 말하는데, 일반적으로 L 과 각속도의 방향은 같지 않다. 회적축이 변하지 않는 등 특수한 경우에만 L=(관성모멘트)X(각속도)로 나타낼 수 있다.