거짓말쟁이의 역설
1. 개요
'''나는 지금 거짓말을 하고 있다.'''
'''이 문장은 거짓이다.'''
'''임무: 이 임무를 거부하라.'''
''''낙서 금지''''라는 낙서
이 퀴즈의 정답은 '''없다'''이다.
거짓말쟁이의 역설(Liar Paradox)세계에서 가장 유명한 비밀조직
철학과 논리학에서 패러독스(모순)의 가장 대표적인 예. '''자기 언급의 패러독스'''라고도 한다.
'''이 명제가 사실이다 라는 전제는 이 명제가 거짓이다 라는 결론으로 이어지며, '이 명제가 거짓이다'라는 전제는 '이 명제가 사실이다'라는 결론으로 이어지는''' 논리의 무한순환이 이어진다. 말 그대로 답이 없는 문제.명제: '''이 문장은 거짓이다.'''
1. 이 명제가 사실이라고 한다면 이 명제가 주장하고 있는 '이 문장은 거짓이다'라는 것은 사실이다.
1. 즉 '이 문장이 거짓이다'라는게 사실이므로, '이 명제는 거짓'이라는 결론이 된다. 이는 이 결론을 이끌어낸 '이 명제가 사실이다'라는 전제와 모순된다.
1. 이 명제가 거짓이라고 한다면 이 명제가 주장하고 있는 '이 문장은 거짓이다'라는 것은 거짓이다.
1. 즉 '이 문장은 거짓이다'라는게 거짓이므로, '이 명제는 사실'이라는 결론이 된다. 이는 이 결론을 이끌어낸 '이 명제가 거짓이다'라는 전제와 모순된다.
2. 타르스키의 표준적 해결책
수학이나 철학에서 표준적으로 받아들이는 해결책은 현대 모형 이론의 창시자인 알프레트 타르스키(Alfred Tarski)이 1933년에 내놓은 해결책이다. 러셀과 화이트헤드의 분지 유형 이론(ramified type theory)에 영향을 받은 타르스키 이론의 핵심 발상은 다음과 같이 거칠게 요약될 수 있다.
분지 유형 이론이나 ZFC에서 러셀의 역설이 조기에 차단되는 것처럼 이런 타르스키식 해결책을 받아들인다면 '이 문장은 거짓이다' 같은 거짓말쟁이 역설은 애초에 발생할 수 없게 된다.1. ''''참' 술어는 언어-상대적으로 정의된다.'''
* e.g., 한국어 문장의 '참'과 영어 문장의 '참'은 별개의 술어다.
1. '''특정 언어에 적용되는 '참' 술어는 그 언어에 포함되지 않는다.'''
* e.g., '참이다'라는 술어를 한국어 문장에 붙임으로써 그 문장이 참임을 뜻할 수 있다고 해보자. 그렇다면 '참이다'는 한국어 어휘가 될 수 없다.
1. '''대상 언어와 메타 언어는 구분되어야 한다.''' - 한 대상 언어의 메타 언어는 그 대상 언어를 진부분으로 포함해야 한다.
* e.g., 한국어가 대상 언어일 경우, 한국어의 메타 언어는 한국어를 진부분으로 포함하며 추가적으로 '참이다' 같은 술어 또한 포함한다. 예를 들어 '눈은 하얗다'는 한국어 문장이 될 수도, 한국어의 메타 언어의 문장이 될 수도 있지만, ''눈은 하얗다'는 참이다'는 한국어의 메타 언어의 문장이지만 한국어 문장이 될 수는 없다.
1. '''한 대상 언어의 메타 언어는 그 자체로 또다른 메타 언어를 필요로 하며, 이처럼 언어들은 계층을 이룬다.'''
2.1. 타르스키식 해결책의 한계
수리 논리학과 거리가 먼 타 수학 분야나 진리론을 제외한 철학의 타 분야에서 이러한 타르스키의 해결책은 거의 문제를 빚지 않는다. 하지만 '참', '거짓' 등의 개념을 연구하는 전문 분야에서 이런 타르스키의 해결책은 그 자체로는 한계가 뚜렷하다고 여겨진다. 아주 간단한 반례로는 솔 크립키 덕분에 유명해진 다음 사례가 있다.
1번 문장이 대상 언어의 문장이라고 가정하자. 그렇다면 2번 문장은 그 메타 언어의 문장이 된다. 그런데 1번 문장은 2번 문장에 참 술어를 귀속시키는 문장이므로 1번 문장은 2번 문장이 속하는 언어의 메타 언어 문장이기도 하다. 하지만 이는 대상 언어가 메타 언어의 진부분이어야 한다는 전제를 위배한다. 따라서 타르스키의 해법을 해당 사례에 적용할 때엔 모순이 발생한다.1) '''2번 문장은 참이다.'''
2) '''1번 문장은 거짓이다.'''
이런 문제를 해결하기 위한 여러 해결책들이 현대 진리론의 주된 논쟁에 속한다.
3. 기타
- 에피메니데스의 역설[1]과 혼용되곤 하지만 이 둘은 같은 용어가 아니다. 에피메니데스는 자국을 자조적으로 일컫는, 헬조선과 같은 의미로 사용했다는 가능성이 크다.[2] 그가 의도적으로 거짓말쟁이의 역설을 노리고 글을 썼을 가능성은 매우 희박하며, 이것이 모순된다는 것도 아마도 후세에서야 발견되었을 것이다.
- 이 문장은 거짓이다가 참으로 가정해도 거짓으로 가정해도 가정과 모순되는 것과 다르게 이 문장은 참이다는 참으로 가정해도 모순이 없고 거짓으로 가정해도 모순이 없다.[3]
4. 더 볼 만한 글
5. 대중매체에서
포탈 2에서 글라도스가 휘틀리에게 이 명제를 이용한 '패러독스 공격'을 가했다.[4] 주변에 있던 기형 큐브터렛은 이 말을 듣자마자 전부 회로가 터졌지만, 정작 휘틀리는 너무 지능이 낮아서 이해하지도 못하고 멀쩡한 채로 ''' '어...참?'이라고 답했다.' ''' 글라도스가 황당해하며 "이건 패러독스야! 참이나 거짓이 없다고!"라고 지적한다. 그러자 휘틀리가 하는 말. ''' '어 그럼 거짓.' '''(...).
공각기동대 Stand Alone Complex에서 타치코마들은 오퍼레이터#s-5.1에게 역설을 말해서 무한 루프를 일으키고 오퍼레이터가 지키고 있던 프로토타입을 가져간다. 그리고는 거짓말쟁이의 역설조차 처리하지 못하는 깡통이라고 놀린다.
마음의소리에서는 추리게임을 할 때 거짓말 탐지기를 사용해서 범인을 판별하려 했는데, "거짓말을 하는 놈이 범인"이라는 전제로 탐지기를 썼는데 조석이 탐지기에 손을 대고 '''내가 범인'''이라고 했더니 소리가 안 나서 사건이 미궁에 빠지는 개그가 벌어졌다(...).