근과 계수의 관계
1. 개요
根과 係數의 關係
계수가 실수인 $$n$$차방정식의 근과 계수 사이에는 수학적 관계가 성립한다. 이를 대한민국 수학과 교육과정에서는 '''근과 계수의 관계'''라고 하는데, 보통 '근과 계수의 관계'라고 하면 '''이차방정식의 두 근의 합 또는 곱을 방정식의 계수로 나타내는 것'''을 말한다.[1] $$n$$중근일 경우에는 '''같은 값의 근이 $$\boldsymbol n$$개'''인 것으로 보아 '$$n$$개의 근'의 합과 곱을 따지면 되며, 실근이든 허근이든 상관없이 성립한다.
대학 이상의 과정에선 일반적인 $$n$$차방정식에 대한 버전을 '''비에타 정리, 비에타 공식(Vieta's formula)'''이라고 하며, 영미권 교육과정에서는 이차방정식 및 삼차방정식의 경우도 이 이름으로 지칭한다.
2. 이차방정식
이차방정식 $$ax^2+bx+c=0 \,\, (a\neq 0)$$의 두 근을 각각 $$\alpha$$, $$\beta$$라 하면
- 두 근의 합: $$\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a}$$
- 두 근의 곱: $$\alpha\beta=\dfrac{c}{a}$$
- 두 근의 차: $$|\alpha-\beta|=\biggl|\dfrac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\biggr|$$
2.1. 증명 1
이차방정식의 근의 공식에 의하여
$$\begin{aligned} \alpha&=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \beta&=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \end{aligned}$$
$$\begin{aligned} \alpha+\beta&=\biggl( \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr)+\biggl( \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr)\\&=-\dfrac{b}{a} \\ \\ \alpha\beta&=\biggl( \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr)\biggl( \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr) \\&=\biggl(-\frac{b}{2a} \biggr)^{2}-\biggl(\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr)^{2} \\&=\frac{c}{a} \\ \\ |\alpha-\beta|&=\biggl| \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} - \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \biggr| \\&=\biggl|\displaystyle\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\biggr| \end{aligned}$$
2.2. 증명 2
이차방정식 $$ax^2+bx+c=0$$의 좌변을 인수분해하여 전개하면
$$\displaystyle a\{x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha\beta\}=0$$
한편,이므로 계수비교법에 의하여 위의 관계가 성립한다.
2.3. 증명 3
두 근의 합과 곱 부분이 증명된 상태에서, 두 근의 차는 다음과 같은 곱셈 공식으로 유도할 수 있다.
$$\begin{aligned}(\alpha-\beta)^2&=(\alpha+\beta)^2-4\alpha\beta\\&=\left(-\dfrac{b}{a}\right)^2-\dfrac{4c}{a}\\&=\dfrac{b^2-4ac}{a^2}\end{aligned}$$
여기에서 양변에 제곱근을 취하면 위의 관계가 유도된다.3. 삼차방정식
삼차방정식 $$ax^3+bx^2+cx+d=0 \,\,(a\neq 0)$$의 세 근을 $$\alpha$$, $$\beta$$, $$\gamma$$라 하면
- 세 근의 합: $$\alpha+\beta+\gamma=-\dfrac{b}{a}$$
- 두 근끼리의 곱의 합: $$\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=\dfrac{c}{a}$$
- 세 근의 곱: $$\alpha\beta\gamma=-\dfrac{d}{a}$$
3.1. 증명
삼차방정식 $$ax^3+bx^2+cx+d=0$$의 좌변을 인수분해하여 전개하면
$$\displaystyle a\{x^3-(\alpha+\beta+\gamma)x^2+(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)x-\alpha\beta\gamma\}=0$$
이 된다. 한편,$$\displaystyle ax^3+bx^2+cx+d=a\left(x^3+\displaystyle{\frac{b}{a}}x^2+\displaystyle{\frac{c}{a}}x+\displaystyle{\frac{d}{a}}\right)=0$$
삼차방정식의 근의 공식을 이용하여 증명할 수도 있겠으나, 이차방정식과 달리 지나치게 복잡하므로 생략한다.
4. n차방정식
사차 이상의 방정식에 대해서도 같은 방법으로 근과 계수의 관계를 유도할 수 있으나, 갈수록 식이 매우 복잡해지고 고등학교 수준에서는 필요도 없다. 다만 모든 차수의 방정식에 대하여 성립하는 근과 계수의 관계가 존재하는데, 어느 정도 도움이 될 수 있다. '''$$\boldsymbol n$$차방정식을 $$\boldsymbol {f(x)=0}$$의 꼴로 놓고 설명한다.'''
대학에서 제대로 배우는 내용은 비에타 정리를 참고.
4.1. 모든 근의 합
$$n$$차방정식에서, $$f(x)$$의 $$(n-1)$$차항의 계수를 $$f(x)$$의 $$n$$차항(최고차항)의 계수로 나눈 값은 그 방정식의 모든 근의 합에 $$-1$$을 곱한 값과 같다.
4.1.1. 증명
$$n$$차방정식의 $$n$$개의 근(중근 생략 금지)을 $$\alpha_{1}$$, $$\alpha_{2}$$, $$\alpha_{3}$$, $$\cdots$$, $$\alpha_{n}$$이라고 하자. 그러면 $$n$$차방정식은
$$\displaystyle a(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)+\cdots+(x-\alpha_n)=0 \quad (a\neq 0)$$
$$(n-1)$$차항의 계수는 $$n$$차방정식의 인수 중에서도 $$(x-\alpha_1)$$, $$(x-\alpha_2)$$, $$\cdots$$, $$ (x-\alpha_n)$$의 수많은 조합들의 합으로 만들어지는데, 그 개별적인 조합이란 $$n$$개의 인수 $$(x-\alpha_k)$$(단, $$k$$는 $$n$$ 이하의 자연수)에서 오직 한 번만 $$-\alpha_k$$ 쪽을 선택하고 나머지 $$(n-1)$$번은 $$x$$ 쪽을 선택하여 그것들을 모두 곱한 값이다. $$(n-1)$$차식이 되기 위해서는 $$x$$ 쪽을 $$(n-1)$$번 선택하여 $$(n-1)$$번 곱해야 하기 때문이다.
그러면 오직 한 번 $$-\alpha_k$$를 선택할 경우 나오는 조합은 $$-\alpha_kx^{n-1}$$이며, 이렇게 나올 수 있는 모든 조합의 총합에 $$n$$차항의 계수 $$a$$를 곱한 값
$$-a(\alpha_1+\alpha_2+\cdots\alpha_n)x^{n-1}=-ax^{n-1}\displaystyle{\sum_{k=1}^n \alpha_k}$$
곧, $$(n-1)$$차항의 계수는
$$-a(\alpha_1+\alpha_2+\cdots\alpha_n)=-a\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha_k$$
$$\begin{aligned} b&=-a\displaystyle\sum_{k=1}^n \alpha_k \quad \to \quad -\dfrac{b}{a}=\sum_{k=1}^n \alpha_k \end{aligned}$$
4.2. 모든 근의 곱
또한, $$f(x)$$의 상수항을 $$f(x)$$의 $$n$$차항의 계수로 나눈 값은 그 방정식의 모든 근의 곱과 같다.
4.2.1. 증명
$$x$$에 관한 방정식의 상수항은 그 항에 $$x$$를 포함하지 말아야 하므로, $$n$$차방정식의 인수 $$(x-\alpha_k)$$(단, $$k$$는 $$n$$ 이하의 자연수) 중에서 $$x$$ 쪽을 한 번도 선택하지 말아야 한다. 다시 말해서, $$-\alpha_k$$ 쪽만 $$n$$번 선택하여 그것들을 모두 곱해야 한다.
그러면 $$n$$차방정식의 상수항이란 $$(-1)^n\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n$$에 $$n$$차항의 계수 $$a$$를 곱한 $$(-1)^na\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n$$이다.
한편, $$n$$차방정식의 상수항을 $$c$$라고 하면
$$\begin{aligned} c&=(-1)^na\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n \quad \to \quad \dfrac{c}{a}=(-1)^n\alpha_1\alpha_2\cdots\alpha_n \end{aligned}$$
5. 예제
근과 계수의 관계를 활용하는 문제는 고등학교 1학년 과정[2]에서 처음으로 다루며, 곱셈 공식을 활용하도록 하는 문제가 대표적이다. 이런 문제는 방정식의 근이 정수가 되지 않도록 출제하는 것이 중요하다. 방정식이 근이 정수가 되면 아래와 같은 문제를 근과 계수의 관계로 푸는 것이 아니라 단순히 방정식을 직접 풀어서 쉽게 풀어버릴 수 있기 때문이다. 따라서 출제자 입장에선 근이 무리수나 허수가 되도록 출제하여 방정식을 직접 풀면 계산이 매우 복잡해지도록 하는 것이 포인트이다.
5.1. 이차방정식
[풀이 보기]
곱셈 공식이 아니면서 근과 계수의 관계로 값을 구하는 식으로는 $$1/\alpha+1/\beta$$이라는 재미있는 형태가 있다. $$1/\alpha$$과 $$1/\beta$$의 값을 각각 구하기는 매우 번거롭지만 통분을 하면 절묘하게 분모는 두 근의 곱이 되고 분자는 두 근의 합이 되어 값을 간단히 구할 수 있기 때문이다. }}}
5.2. 삼차방정식
[풀이 보기]
$$ \displaystyle \begin{aligned} \alpha^2+\beta^2+\gamma^2&=(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha) \\& =\displaystyle\left(\frac{1}{2}\right)^2-2 \cdot (-2) \\& =\displaystyle\frac{17}{4} \\ \\ \alpha^3+\beta^3+\gamma^3&=(\alpha+\beta+\gamma)\{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2-(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)\}+3\alpha\beta\gamma \\&=\displaystyle{\frac{1}{2}}\left\{\displaystyle{\frac{17}{4}}-(-2) \right\}+3 \cdot \left(\displaystyle-\frac{5}{2}\right)\\& =\displaystyle-\frac{35}{8} \end{aligned} $$ }}} ||}}}
6. 기타
- 수학과 교육과정에 대한 교육부 공식 보고서를 보면 '근과 계수와의 관계'라는 말도 혼재하는데 용어를 통일해야 한다.[3] '근과 계수와의 관계'라는 말에서는 '와'가 불필요하므로 '근과 계수의 관계'로 쓰는 편이 더 자연스럽다.
- 중학교 3학년 때 처음으로 이차방정식과 이차방정식의 근의 공식을 배우는데, 이때는 '방정식과 부등식에 대한 지나치게 복잡한 활용 문제는 다루지 않을 것'과 함께 '이차방정식의 근과 계수의 관계는 다루지 않을 것'을 '교육부 고시 제2015-74호
별책 8[
' 31쪽에서 명시하고 있다.]
- 이차방정식의 근과 계수의 관계는 고등학교 1학년 때 유도 과정과 함께 배우는데[4] 두 근의 합과 곱만을 다루고 위에서 참고로 설명한 두 근의 차는 아예 교육과정에서 다루지 않는다. 또한, 삼차 이상의 방정식의 근과 계수의 관계 역시 교과서에 명시되어 있지 않다. 그렇다고 해서 교육부 방침으로서 명시적으로 이 내용들을 다루는 것을 금지하지도 않는다. 다만 이차방정식의 근과 계수의 관계를 지나치게 복잡하게 활용하는 문제를 내지 않을 것만을 지시하고 있다.
- 시중에 출시된 문제집이나 사설 학원에서는 이차방정식의 두 근의 차 및 삼차 이상의 방정식의 근과 계수의 관계를 좋은 팁으로 소개해주곤 한다. 이 내용들은 교과서에서는 명시적으로 다루지 않아도, 내신에서건 수능에서건 긴요하게 써먹을 수 있으니 상위권을 노린다면 웬만하면 익혀두자.
[2] 2015 개정 교육과정 기준[3] '이차방정식의 근과 계수와의 관계는 다루지 않는다.' 교육부 고시 제2015-74호
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