통분
通分 / Reduction to common denominator
1. 개요
수학에서 분모가 다른 2개 이상의 분수의 분모를 같게 하는 작업을 말한다. 쉽게 말하면 분모가 다른 두 분수의 분모를 두 분모의 최소공배수로 바꾸는 일이다. 이렇게 바뀐 분모를 공통분모라고 한다. 여담이지만, 일상 생활에서는 두 대상의 공통점을 공통분모라고 하기도 한다.
굳이 꼭 최소공배수로만 할 필요는 없다. 굳이 복잡하게 그럴 필요는 없지만, 그냥 아무 공배수 중에 하나로 통분해도 상관은 없다. 다만, 최소공배수가 아니라면 필연적으로 약분을 해야만 기약분수가 된다.
2. 해야 하는 이유
약분과는 달리 항상 하는 건 아니다. 대개 분모가 다른 두 분수의 크기를 비교하거나 분수의 덧셈, 뺄셈을 해야 할 때[1]만 하는 정도다. 분모를 통일한 후 분자의 크기를 서로 비교하면 된다. 간혹 통분해야 하는 것을 모르고 $$\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{1}{x+y}$$ 같은 꼴로 잘못 계산하는 경우도 있다.
분모가 같고 분자가 다른 수는 분자가 큰 쪽이 크고 반대로 분자가 같고 분모가 다른 수는 분모가 작은 쪽이 크다는 것을 알 수 있지만, 분자와 분모 모두 다른 경우는 어느 쪽이 더 큰지 직관적으로 알기 어려울 수도 있다. 예를 들어 $$\displaystyle {3\over 5} $$ 와 $$\displaystyle { 4\over6 } $$ 중 누가 큰지 확인하기 위해서 통분하여 확인하면 $$\displaystyle {{18\over 30} \lt {20\over 30}} $$ 가 되므로 $$\displaystyle { 4\over6 } $$가 더 크다는 것을 쉽게 알 수 있다.
특히 분수의 계산엔 약분과 더불어 통분이 필수적이다. 사실 초딩 수포자의 8할은 이게 안 돼서 포기하는 학생들이다.
3. 기본적인 방법
b, d, f가 모두 0이 아닐 때,
- $$\displaystyle \frac{a}{b}, \frac{c}{d} \rightarrow \frac{a \times d}{b \times d}, \frac{c \times b}{d \times b} \rightarrow \frac{ad}{bd}, \frac{bc}{bd}$$ (분수 2개의 통분)
- $$\displaystyle \frac{a}{b}, \frac{c}{d}, \frac{e}{f} \rightarrow \frac{a \times d \times f}{b \times d \times f}, \frac{c \times b \times f}{d \times b \times f}, \frac{e \times b \times d}{f \times b \times d} \rightarrow \frac{adf}{bdf}, \frac{bcf}{bdf}, \frac{bde}{bdf}$$ (분수 3개의 통분)
한 분수의 분모가 나머지 분수의 분모의 배수일 때는 그 분수의 분모로 통분하면 된다. 예를 들어 3/5, 7/10, 9/20을 통분할 때 20은 5, 10의 배수이므로 공통분모를 20으로 하여 12/20, 14/20, 9/20과 같이 하면 된다.
4. 통분을 이용한 덧셈 공식
위에서 소개한 통분 공식을 이용한 후 각 분수를 더해 주면 된다. 즉 b, d, f가 모두 0이 아닐 때,
- $$\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \times d}{b \times d} + \frac{c \times b}{d \times b} = \frac{ad+bc}{bd}$$ (2개의 분수의 통분)
- $$\displaystyle \frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{a \times d \times f}{b \times d \times f} + \frac{c \times b \times f}{d \times b \times f} + \frac{e \times b \times d}{f \times b \times d} = \frac{adf+bcf+bde}{bdf}$$ (3개의 분수의 통분)
뺄셈의 경우는 a, c, e 중 적당한 것을 음수로 처리하여 위 공식처럼 계산하면 된다.
다르게 보면, $$-1$$제곱에 대한 곱셈 공식이라고 볼 수 있다.
5. 극한과 통분
2개 이상의 분수의 합 또는 차로 구성된 수열이나 함수의 극한을 구하려고 할 때, 각 분수가 극한을 구할 수 없는 꼴이지만 통분하면 극한을 구할 수 있는 경우가 있는데, 예를 들면 다음과 같다.
- $$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\left(\frac{2n^2+n+1}{n} - \frac{2n^2+1}{n+1}\right) = \lim_{n \to \infty}\left\{\frac{(2n^2+n+1) \times (n+1)}{n \times (n+1)} - \frac{(2n^2+1) \times n}{(n+1) \times n}\right\} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n^2+n+1}{n^2+n} = 3$$