넓이

'''2차원'''에서의 크기. 면적이라고도 한다. 간혹 너비를 넓이로 잘못 알고 있는 사람이 있는데, '''넓이는 너비와는 차원부터가 다르다(너비는 1차원, 넓이는 2차원)'''.
길이와 마찬가지로 일상 생활에서 자주 쓰이는 크기의 단위이지만, 여기서부터는 제곱의 개념을 사용하기 때문에 직관적인 크기 비교가 까다로워지기 시작한다. 너비와 높이가 두 배인 경우, 넓이는 이의 제곱인 4배가 된다. 3×3=9, 4×4=16, 5×5=25, 6×6=36, 7×7=49, 8×8=64, 9×9=81... 등으로 외워 두면 좋다. 이런 제곱으로 늘어나는 넓이를 원하지 않는 경우, 한쪽 길이만 늘리든가, 아니면 제곱수가 아닌 이상 나누어 떨어지지도 않는 제곱근을 동원해야 한다.
적분이 고대 이집트 시절부터 생겨난 것은 나일강으로 인해 주기적으로 범람해서 개판(...)이 되곤 하는 토지의 넓이를 구하기 위해서이다. 나일강이 직선으로 흐를 리는 없기 때문에 한 면 이상이 곡선으로 이루어진 도형의 넓이를 구해야 했는데, 곡선은 직선과는 달리 정확하게 길이를 구하기가 힘든지라 이를 직선으로 최대한 근사시켜서 넓이를 구했다.[1]
넓이라는 용어는 수학적으로 한 도형에서 음이 아닌 실수로 가는 함수를 뜻한다. 다만 임의의 함수가 되는것은 아니고 넓이라는 용어에 대한 기본적인 성질을 만족해야만 한다. 가령 안겹치게 쪼갠 도형들의 넓이의 값이 원 도형의 넓이와 같다거나, 포함되는 도형이라면 넓이가 더 작다는 등... 사실 넓이보다는 측도라는 표현을 쓴다. 정적분의 정의를 이용한 조던 측도 방법이 있었고 그 후에 르벡이 이를 일반화 시켜 측도론이 탄생했다.
넓이는 직사각형을 기준으로 하여, 직사각형의 넓이를 '가로×세로'로 '약속'한 것이다. 삼각형, 사다리꼴, 원 등등의 넓이 공식도 결국 이러한 약속 아래 정해진 것이다. 그런데 이러한 약속은 어디까지나 약속일 뿐이지 무조건 그래야 하는 것은 아니다. 이를테면 삼각형을 기준으로 하고 삼각형의 넓이를 '밑변×높이'로 약속할 수도 있다. 그러면 직사각형의 넓이는 '가로×세로×2'가 될 것이다. 이런 수학의 세계를 만드는 것도 결코 불가능하지 않다. 인간이 쓰고 있는 넓이 계산 방법은 어디까지나 그것이 가장 간단하기 때문에 널리 쓰이게 된 것이지 그렇게 되어야만 하는 필연적인 이유는 어디에도 없다.

1.1. 넓이의 단위

1.1.1. SI 단위계

$$ \mathrm{m}^2 $$
통칭 '제곱미터(square meter)'. 옛날 교과서나 서적 등에서는 '평방미터'라고 되어있는 경우도 있는데 같은 단위이다. 건축이나 산업 현장에서는 일본식 표현에서 온 단위로 ‘회배’를 많이 사용하기도 한다. (1회배 = 1제곱미터)

1.1.2. 비SI 단위계

SI 단위계와 호환되는 단위
- $$ \mathrm{a} $$ (아르)
- $$ \mathrm{ha} $$ (헥타르)
척관법 계열
- 평
야드파운드법 계열
- 에이커

1.2. 넓이를 재는 여러가지 방법

1.2.1. 특정한 모양의 넓이를 구하는 방법

1.2.1.1. 삼각형, 사각형, 원

1.2.1.1.1. 삼각형

삼각형의 넓이 = 밑변 × 높이 × $$\frac {1}{2}$$
$$\frac{1}{2}$$$$ab$$

1.2.1.1.2. 사각형

직사각형 넓이 = 가로 × 세로, 정사각형 넓이 = (변의 길이)²

서로 마주보는 두 점을 이어 대각선을 그린다.
모든 사각형은 이 대각선을 밑변으로 하는 삼각형 2개를 구할 수 있다. 이때 1. 에서 선택되지 않은 두 점과 밑변을 이어 높이 a,b를 구한다.
- 1.에서 그린 대각선이 사각형 안에 있을때;

사각형의 넓이 = $$\frac {1}{2}$$ × (대각선의 길이) × (a+b)

1.에서 그린 대각선이 사각형 밖에 있을때;

사각형의 넓이 = $$\frac {1}{2}$$ × (대각선의 길이) × |(a-b)|

1.2.1.1.3. 원

원의 넓이 = 원주율 × 반지름²
중학교 1학년 수학에서 가르치기는 하지만 고등학교 2학년 과정인 미적분Ⅰ, 미적분Ⅱ 中 '구분구적법'과 '정적분' 을 이해해야 이 공식을 이해할 수 있다. 초등학교에서 하는 증명[2]도 구분구적법이다. 초등학생 위키러는 이게 이해가 안된다면 그냥 외울 것. 나중에 자세하게 배운다.

1.2.1.1.4. 부채꼴

부채꼴의 넓이 = 원주율 × 반지름² × (육십분법 중심각/360º)
호도법을 쓸 경우 식이 간단해진다.
부채꼴의 넓이 = $$\frac {1}{2}$$ × 반지름² × 라디안 각

1.2.1.2. 타원

타원의 넓이 = $$\frac {1}{4}$$ × 원주율 × 장축의 지름 × 단축의 지름 = 원주율 × 장축의 반지름 × 단축의 반지름[3]

1.2.1.3. 입체도형의 겉넓이

입체도형의 경계가 면이므로 해당 도형의 겉넓이를 구할 수 있다.

1.2.1.3.1. 직육면체

직육면체의 겉넓이 = (2 × 너비 × 높이) + (2 × 너비 × 깊이) + (2 × 높이 × 깊이)

1.2.1.3.2. 정육면체

정육면체의 겉넓이 = 6 × 한 변의 길이² = 6 × 한 면의 넓이

1.2.1.3.3. 원기둥

원기둥의 겉넓이 = 밑면들의 넓이 + 옆면의 넓이 = (2 × 원주율 × 반지름²) + (2 × 원주율 × 반지름 × 높이) = 2 × 원주율 × 반지름 × (반지름 + 높이)

1.2.1.3.4. 원뿔

원뿔의 겉넓이 = (원주율 × 반지름²) + (원주율 × 반지름 × 모선 길이[4]) = 원주율 × 반지름 × (반지름 + 모선 길이)

1.2.1.3.5. 구

구의 겉넓이 = (4 × 원주율 × 반지름²)
원과 마찬가지로 정적분을 동원해야 증명을 할 수 있다. 원과는 달리 '''입체'''도형이므로 중적분을 해야 한다.[5]

1.2.1.3.6. 원환체

토러스의 겉넓이 = 원주율² × (바깥 반지름² - 안 반지름²)

2. 모든 모양의 넓이를 구하는 방법

구분구적법 참고.

3. 부동산에서의 면적

대지면적: 건물이 대지와 맞닿은 면의 수평 너비를 뜻한다.
연면적: 대지면적 × 층계수
영업면적: 상업시설의 연면적에서 실제 영업이 이루어지는 공간만의 면적. 주차장, 창고 등은 제외되어 소비자가 직접 체감할 수 있는 상업시설 규모의 지표다.

[1] 이를 구분구적법이라고 한다.[2] 원을 최대한 미세하게 가위로 잘라내서 부채꼴들의 호가 위아래로 번갈아 오도록 이들을 붙여 근사시킨 직사각형의 넓이가 (원주의 절반 × 반지름)이라는 사실을 통해 알 수 있다.[3] 타원을 원으로 정사영시켜 넓이 비교를 통해 증명할 수 있다.[4] √(반지름² + 높이²)[5] 회전체의 부피 공식을 이용하면 한 번만 적분해도 된다.

넓이

1. 수학에서의 넓이