푸리에 해석
Fourier analysis
주의: 이 내용을 이해하려면 미적분, 선형대수학, 해석학 등에 대한 전반적인 이해가 선행되어야 한다.
'''(이 분야에 대한 전문적인 학습을 원하시는 분들은 공업수학, 해석학 책을 참고할 것.)'''
1. 정의
프랑스의 수학자이자 물리학자인 장바티스트 조제프 푸리에(Jean-Baptiste Joseph Fourier) 남작이 정립한 수치해석 이론. '퓨리에'가 아닌 '푸리에'가 맞는 발음이다.
주어진 임의의 함수를 삼각함수 또는 지수함수의 일차결합으로 나타내는 것, 혹은 그 사고방식을 응용하는 해석학의 한 분야. 선형대수학의 언어를 빌리자면, 내적(inner product)
을 가진 함수공간 ($$L^2$$ 공간이라고 한다)에 대한 정규직교기저로서 삼각함수 혹은 지수함수를 생각하는 것이다. 이러한 관점에서 함수 $$ u_k(x)=e^{ikx} $$ 는 직교기저를 이룬다고 할 수 있다. 즉 다음의 관계가 성립한다.
따라서 $$\left\{u_k\right\}_{k=-\infty}^{\infty}$$는 $$L^2$$ 공간의 정규직교집합이 되고, 이 함수들의 선형결합으로 임의의 함수를 표현하고자 하는 것이 푸리에 급수의 기본적인 목적이다. 실제 응용되는 학문에 따라 상수 $$2\pi$$를 무시하기도 하고, 또 $$e^{ikx} $$대신 $$e^{ik\omega x}$$ 와 같이 변수를 스케일링해서 사용하기도 한다.
2. 푸리에 급수
정의역이 구간 $$\left[-\pi, \pi\right]$$인 함수 $$f$$, 또는 주기가 $$2\pi$$인 함수 $$f$$를 다음과 같이 나타내는 것이다.
만약 푸리에 급수를 구하는 구간을 $$\left[x_0 , x_0 + P\right]$$로 잡으면 함수 $$\sin\left(n\omega x\right), \cos\left(n\omega x\right)$$를 이용한다.($$ \omega = 2\pi /P $$)
상수항이 $$b_0$$ 인 이유는, $$1 = \cos\left(0x\right)$$로 취급할 수 있기 때문이다. 계수 $$a_n$$과 $$b_n$$을 구하려면 위에서 사용한 내적을 이용한다. ($$m,n \in \mathbb{N} $$)
인데, 이는 $$\sin\left(nx\right)$$와 $$\cos\left(mx\right)$$의 집합들이 위에 서술한 내적에 대해 서로 직교한다는 것을 의미한다. 따라서 위의 식을 $$\sin\left(n\pi x\right)$$와 내적하면 $$a_n$$ 만이 살아남으므로,
를 풀어낼 수 있는 것이다. 코사인도 마찬가지.
물론 더욱 중요한 문제는 위 급수가 수렴하는가이다. 흔히 다루는 $$f$$가 조각적 미분가능(piecewise differentiable)이고 유계인 경우는 위의 급수가 [1] $$f\left(x\right)$$의 좌극한과 우극한의 평균으로 균등수렴한다. 물론 수학자들은 일반적인 경우로 골머리를 앓는다.
푸리에 급수를 설명하는 또다른 방법은 기저함수를 함수 $$e^{inx}$$($$i$$는 허수 단위) 로 놓는 것이다. $$n\in \mathbb{Z} $$일 때, 푸리에 계수 $$ \widehat{f \ } \! \left(n\right) $$를 다음과 같이 정의한다.
이때 $$f\left(x\right)$$의 푸리에 급수는 $$\displaystyle \sum_{n=-\infty}^{\infty} \widehat{f \ } \! \left(n\right) e^{inx} $$로 쓸 수 있다.
테일러-매클로린 급수가 단항함수를 다항함수로 근사시키는 것이라면 푸리에 급수는 함수를 삼각함수(또는 지수함수)로 근사시키는 것이다. 차이가 있다면 푸리에급수는 벡터공간의 직교기저의 좌표로 표현한 것이기에 벡터로서 다루기가 더 수월하다는 것이다
여담으로, 개그콘서트 도찐개찐 15년 3월 8일자에 주기가 $$2L$$인 경우의 일반적인 푸리에 급수의 식이 나온 바 있다(...).[2]
3. 푸리에 변환
함수 $$h\left(x\right)$$에 대해 $$F\left[h\right]$$라는 함수를
로 정의하고, 위 변환 $$F$$를 푸리에 변환이라 정의한다. [4]역시 위의 식을 언제 정의할 수 있는지가 문제가 된다. 예를 들어 위에서 $$h\left(x\right)=1$$인 경우는 적분이 전혀 의미가 없다. 따라서 보통 변환의 정의역과 공역을 먼저 정해준다. [5] 자주 쓰이는 정의역과 공역의 조합은 (정의역$$\rightarrow$$공역) $$L^{1} \rightarrow L^{\infty} , L^{2} \rightarrow L^{2} , S \rightarrow S $$등이 있다. 여기서 $$L^{p}$$ 공간은 적분 $$\int |h\left(x\right)|^p$$ 가 존재하는 함수들의 공간, $$L^\infty$$ 는 유계함수들의 공간, $$S$$는 슈바르츠 공간(Schwartz space)으로 모든 도함수들이 ($$x$$가 커짐에 따라) 빠르게 감소하는 공간이다.
이 푸리에 변환은 라플라스 변환과 매우 비슷하다. 당장 위의 $$t$$에 $$is$$를 넣어보시라. 함수의 미분은 푸리에 변환을 하면 변수와의 곱이 되고, 곱은 합성곱(컨볼루션, convolution)으로 옮겨진다. 따라서 미분방정식의 라플라스 변환 풀이는 그대로 푸리에 변환 풀이로 고칠 수 있다. 하지만 라플라스 변환보다 훨씬 좋은 점은 역변환이 매우 쉽다는 것이다. '''아니 자기 자신이 그냥 역변환이다!''' 엄밀하게는 $$F^{2} h\left(t\right) = F\left[F\left[h\right]\right]\left(t\right) = h\left(-t\right)$$ 가 성립. [6]
푸리에 변환의 역변환
에서 $$g = F\left[h\right]$$로 놓으면
가 되고, 이는 $$h\left(x\right)$$를 지수함수 $$e^{2\pi itx}$$ 들의 '연속적 일차결합'으로 나타낼 수 있다는 의미이다. 이러한 취지에서 푸리에 급수와 푸리에 변환을 같이 묶어 푸리에 해석이라 말할 수 있는 것.
3.1. 편미분방정식
미분방정식, 특히 편미분방정식의 해법에 매우 중요한 기법이다. 미분방정식의 편미분 항목에도 나와 있듯이 해석해를 도출할 수 있는 선형 편미분방정식은 일반적으로 변수분리법을 통해 편미분방정식을 상미분방정식 여러 개의 곱으로 표현한다. 문제는 편미분방정식이 경계값 문제이고, 분리해서 도출해낸 상미분방정식의 해가 대부분 sin, cos의 조합으로 표현되는 것부터 시작된다. 이 경우 경계값을 만족시키게 되는 해가 일정 주기로 무한 개가 쏟아져 나오게 되는 것.
이렇게 무한급수 형태로 나오는 사인, 코사인 조합은 바로 푸리에 급수로 나타낼 수 있으며, 여기에서 앞서 설명한 사인/코사인 직교성질을 이용해 잘 정리해 주면 경계조건을 만족시키는 편미분방정식의 해가 도출되는 것이다. 한편 앞서도 말했듯이 무한급수 형태로 해가 도출되기 때문에, 속칭 '모드' 내지는 '고유값(eigenvalue)'이라 불리는 해의 특정한 양상이 뽑아져 나올 수 있어 편미분방정식이 기술하는 특정 물리현상의 양상을 손쉽게 수식화할 수 있게 된다.
또 주로 사용되는 다른 곳은 유체역학이다. 나비에-스톡스 방정식 항목에 나와있듯, 이 방정식은 풀기 어려운 편미분방정식의 형태이지만 몇가지 물리적 조건을 더해서 위 방정식을 푸리에 해석을 통해 컴퓨터로 계산해내는 방법이 많이 쓰인다. 사실상 유체의 몇가지 단순한 경우를 제외하고는 거의 대부분 푸리에 해석을 이용해서 계산해낸다고 보면 된다. [7] [8]
이렇게 중요한 도구다 보니 여기저기에 많이 불려나와 써먹히는 공학인들의 필수요소지만... 배우기 까다롭다. 대충 이런 물건이란 것 정도야 본 위키나 한국어 위키피디아, 구글 검색 등을 통해 나온 자료를 잘 읽어만 봐도 알 수 있지만 이놈과 얽혀 나오는 편미분방정식이 유도부터 경계값 문제 풀이까지 끝도 없는 계산계산계산이라 열전달/유체역학 후반부 같은 공대생의 천적들과 맞먹는 과목. 아니 애초에 그 천적급 과목에서 나오는 편미분을 풀려면 이 놈들이 들어가야 한다. 어찌됐던 공업수학으로 묶어 배우는 각종 도구 중에서도 제일 중요한 툴 중 하나니 가르쳐줄 때 잘 배워두자.
4. 공학에서
4.1. 신호 처리
특정 신호에서 푸리에 해석의 결과는 주파수 영역에서의 신호 관찰이라고 할 수 있다. 이 결과와 가장 유사한 모습을 볼 수 있는것이 이퀄라이저인데, 이퀄라이저에서 표시하는 것처럼 어떤 신호는 어떤 주파수 성분을 갖고 있는 것을 확인 할 수 있다. 반대로 푸리에 역변환을 이용하면 특정한 주파수 성분의 구성을 갖는 신호를 만들 수 있는데, 이를 이용하여 특정 주파수 대역의 크기를 줄이거나 키우는 등의 디지털 필터 동작을 구성할 수 있다.
신호 처리를 많이 다루게 되는 통신공학에서도 사용하는데, 푸리에 변환을 사용해 시스템과 결정론적 신호(deterministic signal)를 주파수 영역에서 분석할뿐만 아니라, 광의의 정상성(wide-sense stationarity)이 성립하는 확률적 신호의 경우 자기상관함수(autocorrelation function)를 푸리에 변환해서 스펙트럼에 대한 정보를 얻을 수 있다. 이를 이용한 통신의 신호 분석 및 처리는 통신공학에서 기본 중의 기본이며, 아예 송신단에서 주파수 영역에서 보았을 때 디지털 데이터를 만든 다음 고속 푸리에 역변환을(IFFT) 하고 적절히 가공해서 전송하면, 수신단에서 고속 푸리에 변환을(FFT) 해서 데이터를 받는데, 이것이 바로 현재의 LTE, 무선랜, 디지털 방송 등에서 사용하는 OFDM(직교 주파수 분할 다중화, orthogonal frequency division multiplexing)이다
5. 물리학에서
양자역학과 고체물리학 이후의 모든 물리학의 수학적 근거.
임의의 공간에서의 모든 파동함수는 반드시 빈 공간의 슈뢰딩거 방정식의 해인 평면파 꼴의 선형 결합으로 표현이 가능하며, 이를 푸리에 공간에서 해석할 시 정량적으로 기술이 가능하기 때문. 여기에서 한 발 더 나아가서, 입자의 위치 및 시간에 대응하는 파동벡터 및 진동수를 입자-파동 이중성의 수학적 근거로 인정하여 정량적으로 기술한다. 학부 양자역학을 수강할 때 입자와 파동의 중간적인 형태로서 'wave packet'을 예제로 풀어보게 된다.
고체물리학에서는 아예 주기성을 갖고 반복되는 계를 풀게 되는데, 이 때의 파동함수를 Bloch wave라 부르며 파동벡터가 슈뢰딩거 방정식을 만족시키는 좋은 양자수가 된다. 이에 대응하는 수많은 물리적 예제들을 배우는 학문이 고체물리학이라 해도 과언이 아닐 정도.
[1] 조각적 연속조건만으로는 충분하지 않을 수 있다. 모든 점에서 연속이지만 특정한 점에서 푸리에급수가 발산하는 반례가 존재하기 때문이다. 물론 다른 더 약한 조건들도 존재하고, $$L^p$$ 공간에서의 수렴은 훨씬 약한 조건에서도 성립한다.[2] "내 얼굴이 수학 공식(푸리에급수) 도찐개찐" "음?" "뭐가 뭔지 모르겠다"[3] 적분구간은 $$i$$는 허수 단위[4] 주의: 푸리에변환을 $$\displaystyle\ \int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-itx} h\left(x\right) dx$$로 정의하는 수학자들도 있다. 역시 절반 정도의 비율.[5] 마치 역삼각함수의 정의역 공역 정하는 걸 생각해 보면 되겠다.[6] 주의: 앞에서 말한 $$e^{-itx} dx$$ 를 사용하는 다른 버전에서는 이렇게 두 번 합성을 하면 상수 $$2\pi$$ 가 붙는다. 이것을 해결하기 위해 푸리에 변환과 역변환 모두에 $$1/\sqrt{2\pi}$$ 를 곱해주거나, 역변환만 $$1/2\pi$$ 배를 해주는 서로 다른 관습이 있다.[7] 물론 쉬운 유체역학 시뮬레이션 (CFD-전산유체역학이라고 함)에 한해서 나비에-스톡스 방정식의 이류나 확산부분만을 계산할 때는 방정식이 극단적으로 단순해지기 때문에 푸리에 변환까지 필요없고 단순한 차분($$dx$$대신 $$\Delta x$$를 사용한 컴퓨터에서의 계산)만으로도 쉽게 계산해낼 수 있다.[8] 일반적으로 DNS(Direct Numerical Simulation)기법을 통해서 나비에-스톡스 방정식을 풀경우, Homogeneous, isotropic turbulence를 가정할 때 많이(finite difference method의 경우보다 훨씬 더 정확도가 높다.) 사용된다.