미분 기하학
1. 개요
differential geometry · 微分幾何學
미적분, 벡터해석, 미분방정식 등의 해석학적 툴을 이용하여 기하학적 대상을 연구하는 기하학의 분야이며, 현대 기하학 하면 가장 먼저 연상이 되는 분야이다. 미적분이 발달하면서 해석기하학의 좌표와 함수의 미적분적 접근과 18,19세기에서의 3차원 유클리드 공간에서의 평면, 곡면 그리고 곡선에 대한 이론들이 발전하면서 만들어졌고, 미분다양체 이론의 발전으로 현재에는 임의의 n차원 다양체에 대한 논의가 가능해 졌으며, 더 나아가 주어진 다양체를 탐구하는 여러가지 방법에 대해 연구를 하는 학문이다.
학부 과목 중 계산이 더럽고 공부할게 많기 때문에 수학과, 수학교육과 학생들에게 가장 어려운 과목을 꼽아보라고 하면 자주 지목되는 과목이다.[1] 편미분방정식과 함께 학부 과목 중 가장 계산이 많은 과목. 특히 곡선의 길이나 가우스 사상이 깔끔하게 떨어지지 않는 경우에는...
2. 교육
2.1. 학부
우선 대체로 벡터장과 벡터 다발을 다룬 뒤 곡선, 곡면을 직교좌표계에서 순수 미적분 등으로 다루는 법을 보통 선수코스인 다변수 해석학에서 배우고, 곡선, 곡면 등 임의의 미분다양체를 정의하기 위해 좌표계[2]를 다루는 법을 배운 뒤 좌표계 그 자체를 정의하며, 시간에 따른 벡터의 변화를 좌표계로 나타내는 법,[3] 출발점이 다른 두 벡터의 합성[4] 같은 기초적인 개념부터 미적분과 선형대수[5]등의 복잡한 계산을 필요로 하기 때문에 미적분학과 선형대수학 책을 옆에 두고 계속해서 연습해야 하며, 위상수학적인 배경 지식 역시 어느 정도 필요로 한다.
곡선론에서는 프레네 틀을 이용한 곡선의 주요 불변량, 예를 들면 곡률과 꼬임률, 곡선의 길이를 계산하는 법을 배운다. 그 후 등주부등식이나 tangent turning theorem과 같은 곡선의 대역적인 성질을 기초적으로 다룬다.
곡면론에서는 국소적으로는 가우스 곡률 쪽 토픽을 다룬다. 해당 점 근처에서 곡면이 어떻게 생겼는지 판정하기 위해 법곡률과 주곡률을 계산하는 법을 배우고 그 후 곡면을 분류한다. 최종적으로는 학부 미분기하학의 목표 중 하나라고도 할 수 있는 가우스-보넷 정리를 배운다. 이를 통해 곡면론에 대한 기초적인 아이디어를 학습하고 그 계산법과 주요 결과들을 학습한다. 대학원에서 학습할 걸 염두에 두고 기본적인 텐서 개념을 살짝 언급하기도 하지만 기본적으로는 가우스 시대에 곡면을 바라보던 아이디어를 배운다고 할 수 있다. 그 개념들을 숙지했다면 기하적으로 dx, dy와 같은 양들을 어떻게 벡터의 기저로 다룰 수 있는지에 대한 직관이 생기기 시작하면서 면적소와 같은 미분 개념들을 이용한 공식이 기하적으로는 어떤 의미를 갖고 어떻게 유도되었는지 이해할 수 있다.
2.2. 대학원
기초적인 미분다양체 이론과 미분위상수학에 대한 논의를 다룬 뒤, 전공에 따라 크게 리만기하학, 복소기하학, 사교기하학등의 순수 기하학과, 정보 이론(Information theory)등의 응용기하학 등을 세부전공으로 다루게 된다. 점점 파고들수록 편미분방정식이나 리대수, 호몰로지 대수, 변분법, 텐서해석학 등등이 쓰이기 때문에 그 쪽도 짬을 내서 배워야 한다.
3. 교재 목록
3.1. 학부
(1) Do Carmo - Differential Geometry of Curves and Surfaces
전세계적으로, 가장 많이 쓰이는, 학부 미분기하학 교과서이다. 설명이 매우 직관적이고, 실질적인 계산을 많이 다뤄서, 미분기하를 처음에 접하는 학생들이 볼 때 좋은 책이다. 정의도 매우 명확하게 제시한다. 부록에 해석학이나, 위상, 선형대수 내용도 소개하고 있다. 장점이자 단점은 최대한 쉽게, 계산으로 설명하는데, 정확하게 설명해 놓은 리만 기하학이 후반부에 등장하고, 앞쪽에서 적극적으로 활용하지 않는다. 특히 몇몇 정리들의 경우, 리만 기하학적인 관점에서 깔끔하게 접근하지 않고, 3차원의 구조만 이용해서, 무식한 계산으로 증명한다. 한편으로는 곡선의 열률 계산에서 오류인 듯 오류 아닌 오류 같은 ± 설정놀음(...)이 눈에 띈다. 사실 이는 계산 오류가 아니라, 저자 두 카르무 교수가 '''남반구 출신 브라질인'''이라 나선의 회전 방향을 흔한 북반구 교과서들과 달리 남반구 스타일로 설정하셔서 그렇다고 한다.
저자는 2018년 타계하였는데, 세상을 떠나기 1년 전에 제2판을 내놓았다.
(2) Andrew Pressley - Elementary Differential Geometry
이것도 꽤 많이 쓰이는 학부 미분기하학 교과서중 하나. 특히 수학교육과에서 많이 쓰인다. 이 책도 3차원 구조만 이용해서, 많은 결과들을 계산으로 끌어내지만, 꽤나 많은 양을 커버하는 책이다. 책 설명자체가 매우 쉽고 정확한 편. 두 까르무와 마찬가지로 필요한 선형대수, 해석학, 위상의 내용을 Appendix에 배치했다.
장점이자 단점은 전체 연습문제들에 대한 솔루션을 제공 해준다는 것이다. 또, 가독성에 초점을 맞추다보니 4차원 이상으로 쉽게 일반화되지 않는 계산법이나 개념들을 종종 동원하며, 이 점에 대해서 대놓고 저자가 초반에 주의를 준다. 마지막 챕터에서는 height function과 critical point를 이용한 오일러 지표 계산을 보여주는데, 이 접근은 추후, 대학원 미분기하학에서 접하는 모스 이론를 이해하는데 좋은 배경과 동기를 준다.
이 책을 볼 사람은 연습문제 솔루션이 있다고, 절대로 만만하게 보지 않길 바란다. 연습문제들이 절대로 쉬운편이 아니고, 다루는 내용들도 모스 이론 도입의 2차원 버젼을 다룰 정도로 수준이 높다.
(3) O' Neill - Elementary Differential Geometry
학부에서 꽤 쓰이는 편이지만, 장점과 단점이 매우 극단적으로 갈리는 서적이다. 이 책으로 미분기하를 독학한다고 하면 좀 아는 사람들은 뜯어 말리는 책이다. 단점 : 많은 오타와 잘못된 설명, 오해를 불러 일으키는 표현이 있다. 예전에 노란색 표지로 2판이 나왔음에도 이것 때문에 빨간 표지로 바꿔서 개정 2판(...)이라는 버전을 따로 내야 했지만, 그마저도 온전치가 않아서 문제. 리만 기하학을 제대로 다루기 위해 나름대로 다양체의 내용을 써 놨다. 접벡터를 제대로 다루는 방법이나 계산같은 걸 스스로 구축해 보길 권유하지만, 그것을 정확히 모르면 풀수 없는 연습문제도 실려 있다. 설명이 위의 교과서들과는 다르게 직관적인 설명을 많이 하지 않는 편이라 스스로 그림을 그려보고 이해해야 한다.
연습문제간의 난이도 편차가 적절하지 않고 매우 극심하다. (어떤 연습문제의 경우 해석학 2학기에서 제대로 다루는 계수 정리를 모르면 손도 못대는 문제도 있다.) 보통 다른 교과서에서 정리로 소개하는 것을 "증명"하라고 연습문제로 박아두는 경우가 많으므로 연습문제를 꼭 풀어봐야 한다.
후반부에서는, 곡선 위에서의 공변미분에 흔히 써먹는 $$\nabla_\gamma $$ 을 쓰지않고 벡터장의 윗부분에 '(prime)을 붙여 시간 미분과 혼동이 되게끔하는 표기법을 쓴다. 이 부분을 볼때는 반드시 표기법을 주의해야 한다.
위의 많은 단점들은 저자가 이미 고인이 되신 지 오래되어서(....) 알아서 커버해야 한다.
장점 : 위와 같은 많은 단점에도 불구하고 많은 학부에서 이 교과서를 포기할 수 없는 건 다음과 같이 무시할수 없는 장점이 있기 때문이다.
특히 후반부에서 빛을 발하는데, 초기에 적절히 도입한 리만 기하학적인 개념들을 활용해서 주요 정리들을 깔끔하고 매끄럽게 해낸다. 미분 형식과 접속을 초기에 도입하여 Gauss's theorema egregium (가우스의 놀라운 정리), Gauss-Bonnet theorem(가우스-보넷정리), Poincare-hopf theorem같은 정리들을 제 1 기본형식을 이용한 무식한 계산을 통하지 않고 매끄럽게 증명한다.
미분기하 교과서를 O'Neill로 꼭 써야하는 사정이 있으면 아래와 같은 대비책을 마련해두는 것이 좋다.
1. 두 까르무나 프레슬리의 저서들을 참고서로 확보하고, 뭔가 이상하다 싶으면 밍기적거리지 말고 바로바로 관련 내용들을 뒤져봐야 한다. 특히 Riemannian sense를 다루는 파트에선 대학원용 교과서도 뒤져볼 것을 추천한다.
2. 최대한 많은 오타 및 오류 목록을 무조건 확보해야 한다.
3, 오닐을 극복해낸 사람, 혹은 리만 기하학을 잘 알고 있는 사람을 잘 알아두자.
이 외에도, Form을 쓰지 않는 선에서 미분기하를 설명한 책인 Millman and Parker의 Elements of differential geometry, 2차원이 아닌 임의의 n차원 초곡면에 대한 미분기하까지 설명해 놓은 Thorpe의 Elementary topics in differential geometry 등의 교재들도 있지만, 학부 교재로 가장 선호되는 교재는 위에서 언급된 3권의 교재들이다.
3.2. 대학원
3.2.1. 미분다양체
미분다양체 교재는 학부때의 3대장과는 달리, Main reference로 채택되는 책이 상당히 많다. 여기서는 그래도 잘 알려져 있는 교재들 위주로 서술해 보려고 한다.
1. Spivak, Calculus on manifolds와 A comprehensive introduction to differential geometry
전자는 학교에 따라, 다변수 해석학/학부용 미분다양체 교과서로써 활용되는 책이기도 하며, 후자는 1권 정도가 미분다양체 교재로 활용이 된다. 특히 후자의 경우는 리만다양체 문단에서도 언급될 예정이다.
2. John M. Lee, Introduction to smooth manifolds.
초장에는 미분다양체 이론의 기초를 매우 친절하게 잘 설명해 주는 책이고, 후반부로 갈수록 미분다양체 이론이 어떤 분야에서 응용이 되는가를 설명하는 매우 좋은 저서이다만, 단점은 두께(...)와 너무 루즈한 전개라고 볼 수 있다.
3. 김강태, 미분다양체론
한국어로 되어 있다는 사실 하나만으로 압도적인 위엄을 자랑한다. 국내에서 독학을 하고자 하는 사람이라면 찾게 될 책. 해당 저자는 포항공과대학교의 수학과 교수로 본 책 이외에 리만기하학, 복소해석기하학 등 기하학을 공부하려는 학생을 위한 기하학연구서 시리즈를 저술했다.
3.2.2. 리만다양체
3.2.3. 그 외
[1] 그래서 '''미친기하'''라는 쌈박한 이름으로 많이 불린다.[2] 가장 유명한 좌표계의 예를 들자면, 2차원에는 극좌표계, 3차원에는 원통 좌표계, 구면 좌표계가 있다.[3] 단순히 좌표성분의 변화뿐만이 아닌, 기저 벡터의 변화까지 고려해야한다. 예를 들어, 사람의 키를 pres라는 단위로 재고, 1pres를 해당 시점의 대통령의 키로 정의한다고 해보자. 어떤 사람의 키가 150cm에서 300cm로 커졌을 때, 대통령의 키가 100cm에서 150cm가 되었다면, 그 사람의 키는 1.5pres에서 2.0pres로 증가한다. 그 사람의 실제 키는 2배가 되었지만, 키를 재는 단위인 pres가 100cm에서 150cm로 바뀌면서, 키의 수치만 보면 1.5에서 2.0으로 약 1.33배가 되었다.[4] 각 시점에서 기저 벡터의 방향을 확인해야 한다. 비유클리드 좌표계에서는 같은 벡터라도, 벡터의 출발점이 달라지면 표현 방식이 달라진다. 예를 들어, 같은 고기 1인분이더라도, 고기집마다 1인분에 해당되는 무게가 다르다. 그러므로 서로 다른 가게에서 고기를 1인분씩 산다면, 각각의 가게에서 1인분이 몇 그램인지 고려해서 계산해야 고기의 총 무게를 알 수 있다.[5] 학부 미분기하에서 다루는 선형대수는 대부분이 2변수인 경우이다. 행렬의 고유값을 써서 행렬을 대각화할 수 있어야 한다 또한 1차,2차 형식에서는 이중 선형성에 대한 이해를 요구하므로 이에 대한 공부도 충실하게 해야 한다.