치환적분

1. 부정적분

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1.1. 개요

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복잡한 합성함수를 적분할 때 사용되는 방법이다. 보통 합성함수를 적분할 때 먼저 치환적분을 해본 후 치환적분이 먹히지 않으면 부분적분법을 쓴다. 다만, 이 방법을 적용했을 때 초등함수로 결과가 나오지 않는 함수들이 있다. 단적인 예로 $$\dfrac{\sin x}{x} $$라거나 $$e^{-x^2} $$이라거나..[2] 만약 초등함수로 나타나지 않는다면 급수로 나타내서 적분하거나 수치해석을 이용할 수 있다.
$$x=g(t) $$ 이고 $$g(t) $$가 미분 가능할 때, 치환적분법은 다음과 같다.

$$\displaystyle \int f(x) \,\mathrm{d}x = \int f\{g(t)\} \,g'(t) \,\mathrm{d}t $$[3]

[1] 이 예제에서 $$a=2$$, $$b=0$$이면 $$e^x$$의 곡선의 길이를 구하는 함수가 된다.

[2] 이런 함수를 이른바 초등함수 표현이 불가능한 부정적분이 있다고 한다. 전자는 사인 적분 함수, 후자는 오차함수라는 특수함수를 이용해서 적분을 표현해야 한다.

[3] 보통 $$t=$$($$x$$에 관한 함수)꼴로 두는데, 이럴 때에 다시 양변에 $$x$$에 관한 함수의 역함수를 먹여도 된다. 그러면 이 꼴이 된다.

대부분의 고등학생이라면 '''분명 기호에 불과하다고 배웠던 $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} $$를''', 마치 분수처럼 계산해서 $$\mathrm{d}x = g'(t) \,\mathrm{d}t$$와 같은 식으로 $$\mathrm{d}x$$나 $$\mathrm{d}y$$라는 단독표현을 써서 치환적분법을 배웠을 것이다. 이것은 사실 $$\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} $$가 단순한 기호가 아닌 미분형식이라는 엄연한 연산자[4]이기 때문이다. 그런데 이 미분형식은, 해당 문서를 들어가보면 알겠지만 여러 가지 미분 개념을 미리 마스터한 뒤에 배운다. 즉, 대학교를 가도 공업수학을 배우는 공대생이나, 수학과 신입생까지는 대게 고등학교와 마찬가지로 그냥 그런 게 있다 정도로만 알려준다. 이런 판국이니 고교 교육과정 입장에선 저 기호를 제대로 알려줄 수가 없는 것. 물론 지나치게 어려운 내용은 아니고 맘만 먹으면 고교 수준에서도 충분히 정의할 수 있는 개념이긴 하다. 여튼 교육 과정에는 벗어나는 방법이지만, 위 방법도 수학적으로는 문제가 없다.
추가로 치환적분법이 한 참고서[5]에 따르면 '$$x=g(t) $$가 일대일 대응이어야 한다'라고 고교과정에서 배운다고 하는데, 이는 잘못된 내용이며 고등학교 교과서에서도 $$x=g(t) $$라는 말 밖에 없다. Thomas 미적분학 교재에서도 $$x=g(t) $$가 미분가능해야 한다고 설명하지, 절대로 일대일 대응 관련 이야기는 없다.
위와 같은 말이 나온 이유는, $$x=g(t) $$가 일대일대응이 아닐경우, $$x=g(t) $$의 증감에 따라 구간을 나눠야 하는 경우가 생기기 때문이다. 따라서 모든 경우를 생각하여 오류 없이 구간을 잘 나눈 경우에는 $$x=g(t) $$의 일대일대응 여부는 치환적분과 상관이 없다.

1.1.1. 예제 1

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다음 부정적분을 구하시오.

$$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x $$

[4] 쉽게 말하면 함수

[5] 숨마쿰라우데 미적분2 4단원 적분법 360쪽

1. 일단 $$t=f(x) $$로 둔다.
2. 그러면 $$f'(x)=\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} $$이다.
3. 따라서 $$\displaystyle \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x = \int \frac1t \,\mathrm{d}t$$이다.
4. 이것의 부정적분은 $$\displaystyle \int \frac{f'\left( x \right)}{f\left( x \right)}\,\mathrm{d}x=\ln\left| f\left( x \right) \right|+ \mathsf{const.}$$이다. (단, $$\mathsf{const.}$$는 적분상수이다.)
5. 위에서 $$t=f(x) $$라 하였으므로, 그대로 대입하면 최종적으로 $$\ln{|f(x)|}+C$$이 된다.

$$\displaystyle \therefore \int \frac{f'(x)}{f(x)} \,\mathrm{d}x = \ln{|f(x)|}+C $$

1.1.1.1. 예제 1-1

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다음 부정적분을 구하시오.

$$\displaystyle \int \tan x \,\mathrm{d}x $$

'''[풀이 1]'''

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \tan x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sin x}{\cos x} \,\mathrm{d}x \\
&= -\int \frac{(\cos x)'}{\cos x} \,\mathrm{d}x \\
&= -\ln{\left|\cos x\right|}+C
\end{aligned} )]

'''[풀이 2]'''

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \tan x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sec x \tan x}{\sec x} \,\mathrm{d}x \\
&= \int \frac{(\sec x)'}{\sec x} \,\mathrm{d}x \\
&= \ln{\left|\sec x\right|}+C
\end{aligned} )]

이 때 $$\displaystyle \ln{\left|\sec x\right|} = \ln{\left|\frac1{\cos x}\right|} = \ln{\left|\cos x\right|^{-1}} = -\ln{\left|\cos x\right|} $$이므로 두 결과는 일치한다.

1.1.2. 치환 적분을 두 번 이상하는 경우

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1.1.2.1. 예제 2[6]

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다음 부정적분을 구하시오.

$$\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x $$

[6] 이 예제에서 $$a=2$$, $$b=0$$이면 $$e^x$$의 곡선의 길이를 구하는 함수가 된다.

$$e^{ax+b}=t$$라고 두면 $$\dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x} = ae^{ax+b} = at$$이므로 $$\mathrm{d}x= \dfrac{\mathrm{d}t}{at} $$로 바꾸어 대입하면

$$\displaystyle \int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x = \frac1a \int \frac{\sqrt{1+t}}t \,\mathrm{d}t $$

$$\displaystyle \sqrt{1+t}=k$$라고 두면, $$t=k^2-1$$이고 $$\mathrm{d}t = 2k\,\mathrm{d}k$$이므로 이를 대입하면

$$\displaystyle \begin{aligned}\int \sqrt{1+e^{ax+b}} \,\mathrm{d}x &= \frac1a \int \frac{\sqrt{1+t}}t \,\mathrm{d}t \\&= \frac1a \int \frac k{k^2-1} \cdot 2k \,\mathrm{d}k \\&= \frac1a \int \frac{2k^2}{k^2-1} \,\mathrm{d}k \\&= \frac1a \int \biggl( 2+\frac1{k-1}-\frac1{k+1} \biggr) \mathrm{d}k \\&= \frac1a \biggl( 2k + \ln{\biggl| \frac{k-1}{k+1} \biggr|} \biggr) +C \\&= \frac1a \biggl( 2\sqrt{1+t} - \ln{\biggl| \frac{\sqrt{1+t}-1}{\sqrt{1+t}+1} \biggr|} \biggr) +C \\&= \frac1a \biggl( 2\sqrt{1+e^{ax+b}} - \ln{\biggl| \frac{\sqrt{1+e^{ax+b}}-1}{\sqrt{1+e^{ax+b}}+1} \biggr|} \biggr) +C\end{aligned} $$

셋째줄에서 넷째줄로 넘어갈 때 부분분수분해법을 사용했다.

1.1.3. 삼각 치환

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변수를 삼각함수로 치환하여 적분하는 방법이다.
대개 $$\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x$$는 $$x = a\sin t$$로, $$\displaystyle \int \sqrt{a^2+x^2} \,\mathrm{d}x$$는 $$x = a\tan t$$로 치환하여 적분한다.
$$\displaystyle \int \sqrt{x^2-a^2} \,\mathrm{d}x$$는 $$x>0$$일 땐 $$x = a\sec t$$로, $$x<0$$일 땐 $$x = a\csc t$$로 치환하거나 아크시컨트, 아크코시컨트의 도함수를 이용하여 적분한다. 삼각치환을 할 때는 범위를 지정하는 것이 중요하다.

1.1.3.1. ∫ √(a²-x²) dx 꼴

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다음 부정적분을 구하시오.

$$\displaystyle \int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x $$

일단 $$\displaystyle x = a\sin t$$로 두고, $$t$$의 범위는 $$-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2$$로 둔다. 양 변을 $$t$$에 대해서 미분하면 $$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = a\cos t$$이고, 이 식을 $$\mathrm{d}x = a\cos t \,\mathrm{d}t$$로 바꾸어 본래의 적분에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.

$$\displaystyle \begin{aligned}\int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \int \sqrt{a^2-a^2\sin^2t} \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\&= \int \sqrt{a^2(1-\sin^2t)} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\&= \int a\cos t \,\sqrt{a^2\cos^2t} \,\mathrm{d}t \\&= a \int \cos t \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \qquad \biggl( \because -\frac{\pi}2 \le t \le \frac{\pi}2 \Rightarrow \cos t \ge 0 \biggr) \\&= a^2 \int \cos^2t \,\mathrm{d}t \\&= a^2 \int \frac{1+\cos{2t}}2 \,\mathrm{d}t \\&= \frac{a^2}2 \biggl( t + \frac12\sin{2t} + C \biggr) \\&= \frac{a^2}2 (t + \sin t\cos t) + C \\&= \frac{a^2}2 \biggl( \arcsin{\frac xa} + \frac xa\cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) \biggr) + C \\&\quad \biggl( \because x=a\sin t \Rightarrow \frac xa=\sin t \Rightarrow t=\arcsin{\frac xa}\biggr)\end{aligned} $$

$$\cos\biggl( \arcsin \dfrac xa \biggr) $$를 구하기 위해 $$\sin^2t+\cos^2t=1$$에 $$t=\arcsin{\dfrac xa} $$를 대입하면

$$\displaystyle \begin{aligned}\sin^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) + \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 \\\biggl(\frac xa\biggr)^2 + \cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 \\\cos^2\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= 1 - \frac{x^2}{a^2} \\\therefore \cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) &= \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} \\\quad \biggl( \because -\frac{\pi}2 \le t=\arcsin{\frac xa} \le \frac{\pi}2 &\Rightarrow \cos\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr) \ge 0 \biggr)\end{aligned} $$

이 식을 위의 적분 결과에 대입하면 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned}\int \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \frac{a^2}2 \biggl( \arcsin{\frac xa} + \frac xa\cos{\biggl(\arcsin{\frac xa}\biggr)} \biggr) + C \\&= \frac{a^2}2 \arcsin{\frac xa} + \frac{ax}2 \sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}} + C \\&= \frac{a^2}2 \arcsin{\frac xa} + \frac x2 \sqrt{a^2-x^2} + C\end{aligned} $$

1.1.4. ∫ f(lnx)/x dx 꼴

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1.1.4.1. 예제 4

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다음 부정적분을 구하시오.

$$\displaystyle \int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x $$

$$\ln x=t$$로 두면 $$x=e^t$$이고, $$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=e^t$$이므로 $$\mathrm{d}x=e^t\,\mathrm{d}t$$가 된다. 이를 위의 적분식에 대입하면 아래처럼 진행할 수 있다.

[math(\displaystyle \begin{aligned}
\int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x &= \int \frac{\sin{(t)}}{e^t} \cdot e^t\,\mathrm{d}t \\
&= \int \sin t \,\mathrm{d}t \\
&= -\cos t + C
\end{aligned} )]

$$\ln x=t$$로 치환했었으니 다시 $$x$$에 관한 식으로 나타내면 다음 결과를 얻을 수 있다.

$$\displaystyle \therefore \int \frac{\sin{(\ln x)}}x \,\mathrm{d}x = -\cos{(\ln x)}+C $$

2. 정적분

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2.1. 개요

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닫힌 구간 $$\left[a,\,b\right] $$에서 연속인 함수 $$f(x) $$에 대하여 미분가능한 함수 $$g(t) $$ 의 도함수 $$g'(t) $$가 닫힌 구간 $$[\alpha,\,\beta] $$에서 연속이고 $$a=g(\alpha),\,b=g(\beta) $$이면

$$\displaystyle \int_a^b f(x) \,\mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} f(g(t)) \,g'(t) \,\mathrm{d}t $$

2.1.1. 예제 1

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다음 정적분을 구하시오.

$$\displaystyle \int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x $$

$$\displaystyle x = a\sin t$$로 두고 $$t$$의 범위는 $$-\dfrac{\pi}2 \le t \le \dfrac{\pi}2$$로 두자. 그러면 $$x=0$$일 때 $$t=0$$이고, $$x=a$$일 때 $$t=\dfrac{\pi}2 $$이다. 또한 $$\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=a\cos t$$이므로 위의 정적분은 아래와 같이 진행 가능하다.

$$\displaystyle \begin{aligned}\int_0^a \sqrt{a^2-x^2} \,\mathrm{d}x &= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2-a^2\sin^2t} \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\&= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2(1-\sin^2t)} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\&= \int_0^{\pi/2} \sqrt{a^2\cos^2t} \,a\cos t \,\mathrm{d}t \\&= \int_0^{\pi/2} a\cos t \cdot a\cos t \,\mathrm{d}t \\&= a^2 \int_0^{\pi/2} \cos^2t \,\mathrm{d}t \\&= a^2 \int_0^{\pi/2} \frac{1+\cos{2t}}2 \,\mathrm{d}t \\&= \frac{a^2}2 \biggl[ t + \frac12\sin{2t} \biggr]_0^{\pi/2} \\&= \frac{a^2}2 \biggl[ \biggl( \frac{\pi}2 + \frac12\sin{\pi} \biggr) - (0+0) \biggr] \\&= \frac{a^2}2 \cdot \frac{\pi}2 \\&= \frac{\pi a^2}4\end{aligned} $$

참고로, 이 정적분 값은 반지름이 $$a$$인 사분원의 넓이와 같으므로[7], 이를 4배하면 반지름이 $$a$$인 원의 넓이가 $$\pi a^{2}$$이 됨을 알 수 있다.

[7] $$\displaystyle y=\sqrt{a^2-x^2} $$이라고 두고 양변을 제곱하면 $$x^2+y^2=a^2 \, (y\ge0) $$이 되므로