부분적분/LIATE 법칙

 



1. 개요
2. 상세
2.1. 로다삼지
3. LIATE 법칙이 적용되지 않는 경우
3.1. 삼각함수
3.2. 지수함수
3.3. 삼각함수 + 지수함수 합성
4. 특수함수의 경우


1. 개요

부분적분을 할 때 쓰이는 방법론 중 하나로, 브래들리 대학의 Herbert Kasube가 제안한 '''LIATE 법칙'''을 설명한다.

2. 상세

'''L'''
'''L'''ogarithmic functions (로그함수)
$$\ln{x}$$, $$\log_{a}{x}$$ 등[1]
'''I'''
'''I'''nverse trigonometric functions (역삼각함수)
$$\sin^{-1}{x}$$, $$\tan^{-1}{x}$$ 등
'''A'''
'''A'''lgebraic functions (대수적 함수)
$$x^{2}$$, $$3x^{4}$$ 등
'''T'''
'''T'''rigonometric functions (삼각함수)
$$\sin{x}$$, $$\tan{x}$$ 등
'''E'''
'''E'''xponential functions (지수함수)
$$e^{x}$$, $$\sinh x$$[2][3] 등
표의 위쪽(LIATE 기준 왼쪽)으로 갈수록 '''미분 우선'''이고, 표의 아래쪽(LIATE 기준 오른쪽)으로 갈수록 '''적분 우선'''이다. 이러한 우선순위가 존재하는 까닭은 로그함수로 갈 수록 적분이 까다로워지기 때문이다. 다만, 로그함수와 역삼각함수의 경우에는 우선순위가 유동적인 경우가 많아 LIATE 법칙이 항상 옳은 것은 아니다. 때로는 ILATE 순이 더 적절할 수도 있다.

2.1. 로다삼지

한국의 교등학교 교육과정에서는 역삼각함수를 배우지 않고, 대수적 함수라는 표현 대신 다항함수[4]라는 표현을 쓰기 때문에 이 순서를 'LATE 법칙'이라고 하며, '로다삼지'라는 순서로도 흔히 외운다.

3. LIATE 법칙이 적용되지 않는 경우

다만 때에 따라서는 적분 우선이라는 삼각함수, 지수함수 적분이 단순 로그함수 적분보다 훨씬 어려워지기도 한다. 특수함수가 나오면 다행이고[5], 아예 대응 특수함수조차 없는 상황도 꽤 잦다. 이런 내막을 모른 채 로다삼지를 과신하면 계산이 안드로메다로 간다(...).
대응 특수함수 적분식이 없는 함수는 울며 겨자먹기로 (대학교 미적분학 과정에서) 테일러 전개 혹은 중적분의 극좌표 변환(가우스 적분)을 활용하여 적분하거나, (공업수학에서) 라플라스 변환/푸리에 변환[6]으로 돌아서 가는 방법을 사용해야 한다.

3.1. 삼각함수

  • $$\displaystyle \int \sin x^2\, \mathrm{d}x = S(x) + \mathsf{const.}$$ - 프레넬 사인 적분 함수를 사용해야 한다.[7]
  • $$\displaystyle \int \cos x^2\, \mathrm{d}x = C(x) + \mathsf{const.}$$ - 프레넬 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.[8]
  • $$\displaystyle \int \sin(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = -\mathrm{Ci}(x^{-1}) + x \sin(x^{-1}) + \mathsf{const.}$$ - 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \cos(x^{-1}) \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x^{-1}) + x \cos(x^{-1}) + \mathsf{const.}$$ - 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \sin |x| \, \mathrm{d}x = (1- \cos x) \ \mathrm{sgn}(x)+1 + \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \tan |x| \, \mathrm{d}x = - \ln \circ \cos (x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \csc |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \tan \left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \cot |x| \, \mathrm{d}x = \ln \circ \sin(x) \ \mathrm{sgn}(x) + \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \left|\sin x \right| \mathrm{d}x = - \mathrm{sgn} \circ \sin(x) \cos x+ \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \left|\cos x \right| \mathrm{d}x = \mathrm{sgn} \circ \cos(x) \sin x+ \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \left| \tan x \right| \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn} \circ \tan(x) \ln \left| \cos x \right| + \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \left| \sec x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\sec x\right) \ln \left|\sec x + \tan x\right| + \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \left| \csc x \right| \, \mathrm{d}x = -\mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x + \cot x\right| + \mathsf{const.} = \mathrm{sgn}\left(\csc x\right) \ln \left|\csc x - \cot x\right| + \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \left| \cot x \right| \, \mathrm{d}x = \mathrm{sgn}\left(\cot x\right) \ln \left|\sin x\right| + \mathsf{const.}$$ - 부호 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int x \tan x \, \mathrm{d}x = \frac{i}{2}(\mathrm{Li}_2(-e^{2ix})+x(x+2i \ln(1+e^{2ix})))+ \mathsf{const.}$$ - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int x \csc x \, \mathrm{d}x = -2 i \mathrm{Li}_2(e^{i x}) + \frac{i}{2} \mathrm{Li}_2(e^{2 i x}) - 2 x \tanh^{-1} e^{i x} + \mathsf{const.}$$ - 폴리로그함수와 역쌍곡선 탄젠트를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int x \sec x \, \mathrm{d}x = -i (\mathrm{Li}_2(i e^{i x}) - \mathrm{Li}_2(\sin x -i \cos x) + 2 x \tan^{-1}e^{i x}) + \mathsf{const.}$$ - 폴리로그함수와 역탄젠트를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int x \cot x \, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}(-i \mathrm{Li}_2(-e^{2ix})-ix^2+2x \ln(1-e^{2ix}))+ \mathsf{const.}$$ - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \frac{\sin x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(x) + \mathsf{const.}$$ - 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \frac{\cos x}{x} \, \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(x) + \mathsf{const.}$$ - 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \frac{\tan x}{x} \, \mathrm{d}x$$ - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • $$\displaystyle \int \frac{\csc x}{x} \, \mathrm{d}x$$ - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • $$\displaystyle \int \frac{\sec x}{x} \, \mathrm{d}x$$ - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • $$\displaystyle \int \frac{\cot x}{x} \, \mathrm{d}x$$ - 대응하는 적분식 자체가 없다.

3.2. 지수함수

  • $$\displaystyle \int e^{-x^2} \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{2} \mathrm{erf}(x) + \mathsf{const.}$$ - 오차함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \frac{e^x}{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ei}(x) + \mathsf{const.}$$ - 지수 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int e^{\frac{1}{x}} \mathrm{d}x = xe^{\frac{1}{x}} + \mathrm{Ei}\left(\frac{1}{x}\right) + \mathsf{const.}$$ - 지수 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int x^{x} \mathrm{d}x$$ - 대응하는 적분식 자체가 없다.

3.2.1. 쌍곡선 함수

  • $$\displaystyle \int x\tanh{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(-e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.}$$ - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int x\,\mathrm{coth}\,{x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2} \,\mathrm{Li}_2(e^{-2x}) + \frac{x^2}{2} + x\ln{(-e^{-2x}+1)} + \mathsf{const.}$$ - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int x\,\mathrm{sech}\,{x}\,\mathrm{d}x = i\,\mathrm{Li}_2(ie^{-x}) - i\,\mathrm{Li}_2(-ie^{-x}) + 2x\,\mathrm{arccot}{(e^x)} + \mathsf{const.}$$ - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int x\,\mathrm{csch}\,{x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Li}_2(\sinh{x}-\cosh{x}) - \mathrm{Li}_2(e^{-x}) - 2x\,\mathrm{arcoth}{(e^x)} + \mathsf{const.}$$ - 폴리로그함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \frac{\sinh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(x) + \mathsf{const.}$$ - 쌍곡 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \frac{\cosh{x}}{x} \,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(x) + \mathsf{const.}$$ - 쌍곡 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \sinh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Shi}(e^x) + \mathsf{const.}$$ - 쌍곡 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \cosh{e^x}\,\mathrm{d}x = \mathrm{Chi}(e^x) + \mathsf{const.}$$ - 쌍곡 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \sinh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \sinh(x^{-1}) - \mathrm{Chi}(x^{-1}) + \mathsf{const.}$$ - 쌍곡 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \cosh(x^{-1}) \,\mathrm{d}x = x \cosh(x^{-1}) - \mathrm{Shi}(x^{-1}) + \mathsf{const.}$$ - 쌍곡 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \sinh x^2\,\mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) - \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.}$$ - 오차함수, 복소오차함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \cosh x^2 \, \mathrm{d}x = \frac{\sqrt{\pi}}{4}(\mathrm{erfi}(x) + \mathrm{erf}(x)) + \mathsf{const.}$$ - 오차함수, 복소오차함수를 사용해야 한다.

3.3. 삼각함수 + 지수함수 합성

  • $$\displaystyle \int \sin e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Si}(e^x) + \mathsf{const.}$$ - 사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int \cos e^{x} \mathrm{d}x = \mathrm{Ci}(e^x) + \mathsf{const.}$$ - 코사인 적분 함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int e^{\sin x} \mathrm{d}x$$ - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • $$\displaystyle \int e^{\cos x} \mathrm{d}x$$ - 대응하는 적분식 자체가 없다.
  • $$\displaystyle \int e^x \tan x \, \mathrm{d}x = ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; -e^{2ix}) + \mathsf{const.}$$ - 초기하함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int e^x \csc x \, \mathrm{d}x = -(1 + i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; e^{2 i x}) + \mathsf{const.}$$ - 초기하함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int e^x \sec x \, \mathrm{d}x = (1 - i) e^{(1 + i) x} {}_2F_1(\frac{1-i}{2}, 1; \frac{3 - i}{2}; -e^{2 i x}) + \mathsf{const.}$$ - 초기하함수를 사용해야 한다.
  • $$\displaystyle \int e^x \cot x \, \mathrm{d}x = -ie^x {}_2 F_1 (-\frac{i}{2}, 1; 1 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) - \frac{2+i}{5} e^{(1+2i)x} {}_2 F_1(1, 1 -\frac{i}{2}; 2 -\frac{i}{2}; e^{2ix}) + \mathsf{const.}$$ - 초기하함수를 사용해야 한다.

4. 특수함수의 경우

수준이 올라가면 쌍곡선 적분 함수나 람베르트 W 함수, 브링 근호 등 특수함수를 적분하거나 특수함수와의 곱으로 이루어진 함수를 적분하는 일도 나오는데, 초등함수의 적분 또는 미분방정식의 해로 정의된 특수함수의 경우 '''로그함수/역삼각함수보다 더 미분우선이 된다.''' 즉 특수함수('''S'''pecial functions)까지 고려하면 SLIATE 또는 SILATE가 된다.
단, 아래 둘은 예외적으로 적분우선이다. 함부로 미분했다간 계산을 망치기 딱 좋기 때문이다.[9]


[1] 특히 로그함수가 역수 꼴로 들어오면 매우 난해해진다. ($$\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} {\rm d}x = \mathrm{li}(x) + \mathsf{const.}$$)[2] 쌍곡선 함수는 지수함수의 일종이다.[3] $$\cosh x = \dfrac{1}{2} (e^x+e^{-x}), \sinh x = \dfrac{1}{2} (e^x-e^{-x})$$[4] 다만, 대수적 함수와 다항함수는 완전히 같지 않다. 왜냐하면 다항함수 외에도 분수함수나 무리함수도 모두 대수적 함수이기 때문이다. 다만 적분 연산에서는 xr(r은 실수)꼴로 표현되는 모든 함수인 대수적 함수를 다항함수와 동치라고 퉁치기도 한다. r=-1일 경우 패턴이 달라지긴 하지만.[5] 오히려 특수함수를 알고 있으면 그대로 LIATE 법칙을 써도 무방하다.[6] 파서벌 정리(Parseval's theorem)를 이용하여 $$\dfrac {\sin^4x}{x^4}$$ 등을 적분하라는 문제가 나올 수 있다.[7] $$\displaystyle S(x)= \int_{0}^{x} \sin {\pi t^2 \over 2} \, \mathrm{d}t$$라 정의한 경우 $$\displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, S \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.}$$가 된다.[8] 마찬가지로 $$\displaystyle C(x)=\int_{0}^{x} \cos {\pi t^2 \over 2}\, \mathrm{d}t$$라 정의한 경우 $$\displaystyle \sqrt{\pi \over 2} \, C \left(\sqrt{\pi \over 2}x \right) + \mathsf{const.}$$가 된다.[9] 참고로 저 둘의 적분은 쉽다(각각 $$|x|+ \mathsf{const.}, \dfrac{x+|x|}{2}+ \mathsf{const.}$$).

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