불완전 감마 함수
1. 정의
불완전 감마 함수(a,b)는 다음과 같이 정의된다.
$$\displaystyle \Gamma\left ( a,b \right )\equiv\int_{b}^{\infty}x^{a-1}e^{-x}\,{\rm d}x$$
감마 함수는 여기서 b=0인 경우로, 불완전이라는 이름이 붙은 게 적분구간이 감마함수보다 좁으므로 '불완전'하기 때문이다. 비초등함수로 분류되긴 하지만 a가 1 이상의 정수면 초등함수의 유한한 결합으로 표현이 가능하다.
2. 미분
$$\dfrac{\partial}{\partial x}\Gamma\left( a,x\right)=-x^{a-1}e^{-x}$$이다.
3. 위 정의를 이용하여 부정적분 구하기
3.1. 1탄:$$\displaystyle \int \frac{e^{x}}{x} {\rm d}x$$
우선 $$\displaystyle x=-t$$로 두면,
$$\displaystyle \frac{\rm d\it x}{\rm d\it t}=-1$$.
$$\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{t}{\rm d}t$$
$$\displaystyle - - \int \frac{e^{-t}}{t}{\rm d}t$$
위 정의에서 $$a=0,b=t$$를 대입하면 그 함수가 위 함수의 부정적분이 된다.
$$\displaystyle - \Gamma\left ( 0,t \right )+{\sf const.}$$
$$t=-x$$이므로,
$$\displaystyle - \Gamma\left ( 0,-x \right )+{\sf const.}$$
여기서 적분상수를 제외한 부분을 [math({\rm Ei}(x)\equiv - \Gamma\left ( 0,-x \right ))]로 정의한다.
3.2. 2탄:$$\displaystyle \int \frac{1}{\ln x} {\rm d}x$$
$$\displaystyle \ln x=t$$로 치환.
그러면,
$$\displaystyle x=e^{t}$$
$$\displaystyle \frac{\rm d\it x}{\rm d\it t}=e^{t}$$
$$\displaystyle \int \frac{e^{t}}{t} {\rm d}t$$
$$\displaystyle - \Gamma\left ( 0,-t \right )+{\sf const.}$$
$$\displaystyle - \Gamma\left ( 0,-\ln x \right )+{\sf const.}$$
마찬가지로 [math({\rm li}(x)\equiv - \Gamma\left ( 0,-\ln x \right ))]로 정의한다.
3.3. 3탄:$$\displaystyle \int e^{-x^2} {\rm d}x$$
$$\displaystyle x=\sqrt t$$로 두면,
$$\displaystyle \frac{\rm d\it x}{\rm d\it t}=\frac{1}{2\sqrt t}$$.
$$\displaystyle \int \frac{e^{-t}}{2\sqrt t}{\rm d}t$$
$$\displaystyle - \frac{1}{2} \cdot -\int t^{\frac 12 -1}e^{-t}{\rm d}t$$
위 정의에서 $$a=\dfrac 12$$인 경우가 위의 적분식과 동일하므로
$$\displaystyle -\frac 12 \Gamma\left ( \frac 12,t \right )+{\sf const.}$$
$$t=x^2$$이므로,
$$\displaystyle -\frac 12 \Gamma\left ( \frac 12,x^2 \right ) +{\sf const.}$$
한편 [math({\rm erf}(x)\equiv -\dfrac{1}{\sqrt{\pi}} \Gamma\left ( \dfrac 12,x^2 \right ))]로 정의할 수 있는데, 위 둘과는 다르게 곱해지는 상수가 다르다.[1]
4. 자매품
하부 감마 함수가 있는데 이렇게 정의된다.
$$\displaystyle \gamma\left ( a,b \right )\equiv\int_{0}^{b}x^{a-1}e^{-x}{\rm d}x$$
5. 관련 문서
[1] 정확히는 위 계산식에 $$\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$$를 곱한 것이다.