삼각수
1. 개요
Triangle number · 三角數
정삼각형 모양을 만들기 위해 사용되는 숫자의 수를 말한다.
맨 윗줄부터 1개, 2개, 3개, ...를 나열한 결과로 도출되는 개수이기 때문에, n번째 삼각수는 1부터 n까지의 수를 모두 합한 수이다. 가령 10번째 삼각수면 1+2+3+…+8+9+10=55와 같은 식이다.
2. 구하는 법
구하고자 하는 삼각수를 2로 나눈 수에 0.5를 더해, 그 수를 삼각수와 곱해주면 된다. 또는 삼각수에 1을 더한 뒤 삼각수의 절반(삼각수 나누기 2)을 곱해줘도 되는데, 홀수 번째 삼각수를 구할 때는 전자를, 짝수 번째 삼각수를 계산할 때에는 후자를 쓰면 편리하다.
이를 공식으로 나타내면 $$n$$번째 삼각수를 $$a_n$$이라고 할 때, 전자는 $$\displaystyle a_n=\left(\frac{n}{2}+0.5\right)\times n$$, 후자는 $$\displaystyle a_n=\frac{n(n+1)}{2}$$이라고 할 수 있는데, 전자의 공식을 변형하면 후자의 공식을 만들 수 있으며, 후자가 보다 간단하기 때문에 많이 쓰인다.
몇 가지 예를 들어 보면 다음과 같다.
- 3번째 삼각수 : 3×2 = 6 또는 4×1.5 = 6
- 4번째 삼각수 : 4×2.5 = 10 또는 5×2 = 10
- 5번째 삼각수 : 5×3 = 15 또는 6×2.5 = 15
- 6번째 삼각수 : 6×3.5 = 21 또는 7×3 = 21
- 7번째 삼각수 : 7×4 = 28 또는 8×3.5 = 28
- 8번째 삼각수 : 8×4.5 = 36 또는 9×4 = 36
- 100번째 삼각수 : 100×50.5 = 5050 또는 101×50 = 5050
- 101번째 삼각수 : 101×51 = 5151 또는 102×50.5 = 5151
2.1. 가우스의 일화
천재 수학자 가우스가 10살 때 있던 일로, 당시 가우스의 선생님이 학생들에게 1부터 100까지의 수를 모두 더하라는 문제를 냈다. 당시 선생님은 모든 학생들이 계산을 하려면 시간이 오래 걸릴 것이라고 예상했지만, 가우스는 빠르고 정확한 방법으로 삼각수를 구해냈다.
1부터 100까지의 수를 절반인 1~50, 51~100으로 쪼개고 1+100=101, 2+99=101, 3+98=101… 48+53=101, 49+52=101, 50+51=101. 이런 식으로 계산을 했다. 101이 50개 있으니 101×50=5050.
이런 공식이라면 1000번째 삼각수[1], 10000번째 삼각수[2], 1억번째 삼각수[3] 1조번째 삼각수[4]도 쉽게 구할 수 있다.
소설 수학 귀신의 결말 부분에 주인공 로베르트가 이걸 이용하는 장면이 나온다.
3. 삼각수의 합
$$n$$번째 삼각수 $$a_n$$의 값은 $$\displaystyle a_n=\sum^{n}_{k=1}k=\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}$$이라는 점과 $$\displaystyle \sum^{n}_{k=1}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$$이라는 것을 이용하면 1번째부터 $$n$$번째까지의 삼각수의 합 $$\displaystyle \sum^{n}_{k=1}a_k$$는 $$\displaystyle \frac{n(n+1)(n+2)}{6}$$이다. 예를 들어 1번째부터 4번째까지의 삼각수의 합은 1+3+6+10=(4×5×6)/6=20이다.
4. 기타
- 중복조합과 조합을 계산할때 유용히 쓰여진다.
- 파스칼의 삼각형에도 이 수열이 들어있다.
- 6 이상의 모든 삼각수는 합성수다. n번째 삼각수가 있다고 가정할 때 n이 홀수면 n으로 나누어떨어지며, n이 짝수일 때는 n+1로 나누어떨어진다. 예를 들어 76번째인 2926은 77로 나누어 떨어지며, 69인 2415는 69로 나누어떨어진다. 894인 400065, 9625 - 46325125와 같이 큰 수로도 쉽게 증명해낼수 있다.
- 수열의 N번째 값을 구하는것은 쉬운데, 이에 대한 공식을 카를 프리드리히 가우스가 세웠기 때문.
(N+1)×(N÷2)로 하면 된다.
- 메르센 소수 번째 삼각수는 모두 완전수이며, 현재까지 알려진 범위 내에선 역 또한 성립한다.
- 이름과는 달리 삼각함수와는 전혀 관계 없다.
- 삼각수이면서 메르센 수인 수는 1, 3, 15, 4095뿐이다. 이는 Trygve Nagell에 의해 증명되었다.