파스칼의 삼각형
Pascal's triangle
1. 개요
[image]
이항계수를 삼각형 모양으로 나열한 것. 블레즈 파스칼이 '''13살''' 때 발견하여 이항계수를 구할 때 써먹었다.
삼각형을 그리는 규칙은 다음과 같다.
- 숫자가 들어갈 칸을 첫 번째 줄에는 1개, 두 번째 줄에는 2개, 세 번째 줄에는 3개 이런 식으로 한 줄씩 내려가면 한 칸씩 늘어나게 정삼각형 모양으로 만든다.
- 첫 번째 줄과 두 번째 줄의 3칸에는 1을 쓴다.
- 세 번째 줄부터는 줄의 양쪽 끝 칸에는 1을 쓰고 나머지 칸에는 바로 윗줄에 위치한 칸 중 해당 칸과 인접해 있는 두 칸의 숫자를 더해서 그 값을 쓴다.
다만 차수가 커지면 삼각형을 그리는 것보다 이항정리를 사용하여 직접 구하는 쪽이 좀 더 빠르다. 삼각형을 수학 공식으로 나타내면 아래와 같으며, 이를 '''파스칼 항등식'''이라고 한다.
$$n,r$$가 음이 아닌 정수이고, $$1\leq r\leq n-1$$일 때, $$\displaystyle \binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}$$[1]
2. 파스칼 항등식의 증명
2.1. 조합론적 증명
$$n$$개의 물체에서 $$r$$개를 고른다하자. 먼저 $$n$$개중 1개를 고정시킨다. 그럼 구하고자하는 경우의 수는 그 1개가 포함되는 경우와 포함되지 않는 경우 2가지로 나눌 수 있다.
전자의 경우 $$n-1$$개 중 $$r-1$$개를 고르면 되므로 가짓 수는 $$\binom{n-1}{r-1}$$. 후자의 경우 $$n-1$$개 중 $$r$$개를 고르면 되므로 가짓 수는 $$\binom{n-1}{r}$$. 합의 법칙에 의해, $$\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}$$.
2.2. 대수적 증명
$$\displaystyle \binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}=\frac{\left(n-1\right)!}{\left(r-1\right)!\left(n-r\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!}{r!\left(n-r-1\right)!}=\frac{\left(n-1\right)!r}{r!\left(n-r\right)!}+\frac{\left(n-1\right)!\left(n-r\right)}{r!\left(n-r\right)!}=\frac{n!}{r!\left(n-r\right)!}=\binom{n}{r}$$
3. 여러가지 성질
맨 처음 줄을 0번째 줄이라고 정의한다.
- 같은 줄의 연속된 두 수를 더한 값은 아랫줄의 더한 두 수 사이에 있다.[2]
- $${(a+b)}^{n}$$을 전개한 각 항의 계수는 숫자들이 나온 순서대로다.
- 짝수행은 항의 개수가 짝수개이고, 좌우대칭이며 홀수행은 항의 개수가 홀수개이고, 가운데 숫자를 중심으로 좌우대칭이다.
- 파스칼 삼각형에서 '2'는 딱 한 번 나온다.
- 파스칼의 삼각형에서 2,4,6번 등장하는 수는 무수히 많다. 반면 8번 이상 등장하는 수는 1, 3003외에 알려진 바가 없다.[3]
- $$p$$가 소수이면 $$p$$행의 수는 양 끝의 1을 제외하고 $$p$$의 배수이다.
- $$n$$번째 줄까지의 1의 개수는 $$2n+1$$개이다.[4]
- 홀수만 음영 처리하면 시어핀스키 삼각형이다.
- 모서리의 1부터 대각선 방향으로 쭉 더한 값은 다음 줄의 같은 방향 숫자 옆에 있다 (하키스틱 모양처럼 생겨서 하키스틱 패턴이라고 부른다).
- 특정한 사선 방향(45도 이하)으로 더하면 피보나치 수가 나온다. (이를 쉽게 보기 위해서는 칸이 참조 링크의 것처럼 칸이 육각형으로 되어있어야 편하다)
- $$n$$번째 행의 수들의 합은 $${2}^{n}$$과 같다. 즉 각 행의 수들의 합은 2의 거듭제곱이다.[5]
- 첫 번째 항에서 두 번째를 빼고 다시 세 번째를 더하고 네 번째를 빼고... 이 과정을 계속하면 0이 나온다. 즉 짝수 번째 항의 합은 홀수 번째 항의 합과 같다. [6]
- $$n$$번째 행에서 오른쪽부터 $$r$$번째 항에 $${10}^{r-1}$$을 곱한 값을 모두 더하면 $${11}^{n}$$이 된다(이항정리로 증명이 가능하다)[7][8]
- $$n$$행의 수에 차례로 열번호에서 1을 뺀 값을 곱한 후 다 더하면 $$n\cdot2^{n-1}$$이다. [9]
- v자로 더하면 그 아래에 있는 숫자와 같다.[10]
- $$n$$행의 수를 모두 제곱하여 더하면 $$2n-1$$행의 가운데 수가 나온다.
- 어떤 수 주위의 6개의 숫자를 번갈아 가며 3개씩 곱한 값은 같다.[11]
4. 파스칼이 처음 발견했는가
파스칼의 삼각형은 파스칼(1623~1662)이 최초로 발견한 것은 아니다. 동양에선 그보다 훨씬 전부터 알려져 있었다. 중국에서는 송나라의 양휘(?1238~?1298)가 2의 6제곱까지, 원나라의 주세걸(1270~1330)이 2의 8제곱까지의 이항계수를 삼각형 모양으로 배열한 그림을 소개하였다. 또한 서양에서도 16~17세기의 많은 수학자들의 저서에 나타난다.
뿐만 아니라 조선의 수학자 홍정하는 파스칼 삼각형을 단순히 발견한 것을 넘어 시대를 뛰어넘는 통찰을 한 것으로 알려져 있다. 현대 조합론의 측면에서 보아도 홍정하의 통찰은 가히 천재적이며 '''이산수학이 어느 나라보다도 발달했던 조선의 수학적 성과'''를 엿볼 수 있다. 여담으로, 미적분학은 영국 등지에서 발달하였으나 미적분학과 대등한 위치에 있는 수학분야인 이산수학은 동양, 특히 조선에서 발달하였다. 미적분학은 증기기관, 열기관 등에 산업적으로 응용되어 산업혁명이 일어나기까지 100여 년의 시간이 걸렸지만 영국의 경우 정부 차원에서 연구 지원을 이어갈 수 있었기에 산업혁명의 발생지가 될 수 있었지만, 조선은 학문의 산업적 발전이 식민지배 등으로 퇴보하였으며 그러한 학문적 성과도 현재에 이르러서도 과소평가되고 있는 실정이다. 이산수학은 인공지능의 핵심 이론적 기반으로서 4차 산업혁명 시대 그 산업적 활용이 비약적으로 진행되고 있는 수학 분야이다.
파스칼은 스피노자와 함께 서양 근대 철학의 문을 연 프랑스의 철학자이자 확률론을 창시한 수학자이다. 파스칼의 삼각형은 그가 확률 연구 도중 발견한 것이며 이후 파스칼은 이 삼각형의 여러 가지 성질을 발견한 뒤 수삼각형론에 발표했는데, 이런 업적으로 그의 이름이 붙여진 것으로, 발견한 방법론을 어디에 써먹을지 '''적절한 곳에 적절하게 집어넣는 것''' 또한 학계에서의 덕목인 것이다.
5. 관련 항목
[1] 행렬이랑 헷갈릴 수 있는데, 세계적으로는 조합을 표현할 때 괄호를 더 많이 쓴다.[2] 사실 이게 파스칼의 삼각형의 정의이다.[3] 이 둘을 제외할 때 8번 이상 등장하는 수가 존재하는 지 조차 미해결 문제이다.[4] 5번째 줄:2×5+1=11[5] $$\displaystyle \sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}=\sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}1^{n-r}1^{r}=(1+1)^{n}=2^{n}$$[6] $$\displaystyle \sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}1^{n-r}(-1)^{r}=(1-1)^{n}=0$$[7] $$\displaystyle \sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}10^{r}=\sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}10^{r}1^{n-r}=(10+1)^n=11^n$$[8] 이를 이용하여 $$11^{n}$$을 쉽게 계산할 수 있다. 예를 들어 $$11^{4}$$의 경우 파스칼 삼각형의 4번째 줄에 있는 1,4,6,4,1을 그대로 붙여 만든 14641이 된다.[9] $$\displaystyle \frac{d}{dx}x^{n}=\sum_{r=1}^{n}\binom{n}{r}1^{n-r}\frac{d}{dx}(x-1)^{r}=\sum_{r=1}^{n}(r-1)\binom{n}{r}1^{n-r}(x-1)^{r-1}=n\cdot x^{n-1}$$에서 $$x=2$$ 대입[10] 예를 들어 1+3+6+6+3+1=20[11] 예를 들어 3 주위의 수를 곱하여 2x1x6=1x3x4라는 등식을 얻을 수 있다.