쌍곡선 적분 함수

1. 개요

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특수함수의 하나로, 각각 $$\mathrm{Shi}(x)$$, $$\mathrm{Chi}(x)$$로 표기하며, 정의는 다음과 같다.

$$\displaystyle \begin{aligned} \mathrm{Shi}(x)&\equiv \int_{0}^{x}\frac{\sinh{t}}{t}\,\mathrm{d}t \\ \mathrm{Chi}(x) &\equiv \gamma+\ln x+\int_{0}^{x}\frac{\cosh{t}-1}{t}\,\mathrm{d}t \end{aligned}$$

유독 쌍곡 코사인 적분의 정의에 오일러-마스케로니 상수 [math(\gamma)]와 자연로그가 붙어 있는데, 쌍곡 코사인 함수가 특이한 녀석이라서 그런 듯하다.[1][2]
각 함수의 그래프는 아래와 같다.

친척인 삼각 적분 함수와 마찬가지로 $$\mathrm{sinh}$$, $$\mathrm{cosh}$$만 적분이 정의되고 그 외의 쌍곡선 함수에서는 정의되지 않는다. 이에 $${\mathrm{Shi}(x)}/{\mathrm{Chi}(x)}$$로 쌍곡 탄젠트 적분 함수를 만들 수 없는 것도 같다.
둘 다 대칭함수이다. $$\mathrm{Shi}(x)$$는 홀함수, 실수부를 취한 $$\Re(\mathrm{Chi}(x))$$는 짝함수이다.[3]

2. 관련 문서

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• 쌍곡선 함수
• 현수선

[1] 더 정확히 얘기하면 그대로 적분해서는 답이 안 나오니 부분적분을 한 것이다. 그냥 $$\dfrac{\cosh x}{x}$$를 0부터 적분하면 발산하니 $$x^{-1}$$를 빼고 그 부정적분인 로그를 더한뒤, 어차피 큰 의미 없는 상수를 더했다고 보면 이해가 편하다.

[2] 참고로 $$\text{Chi}(x) \approx \displaystyle \int_{0.5238}^x \frac{\cosh x}{x} \text{d}x$$이다.

[3] 실수부를 취하지 않을 경우 $$x<0$$ 범위에서 $$\mathrm{Chi}(x)=\Re(\mathrm{Chi}(x))+i\pi$$ 이므로 짝함수가 아니다.